微积分如何帮我们理解世界？牛顿、莱伯尼茨

对 于 学 理 科 的 朋友 来 说 呢, 微 积 分 并 不 陌 生 但 作 为 一个 文 科 生, 我 都是 在 30 岁 以 后 才

知道 微 积 分 是 干 嘛 用 的。 它

的。 它 表 面 上 看 起 来 是 很 复 杂 的 数 学 以 至 于 我在 很 长 的 时间 里 面 都 错 过 了 认 识 它的

机 会。

但 实 际 上, 微 积 分 是 每 个 人 都 可以 理 解 的 概 念, 它 就 像 宇 宙 的 说 明 书 不 仅 能 够 帮

助 我们 更 好的 去 认 识 这个 世界, 而且 呢 日 常 生活 当 中 的 很多 事情 都 离 不 开 它, 包括 像 天 气 预 报,

地 图 导 航, 甚 至 很多 疾 病 的 治 疗, 背 后 都有 微 积 分 在 起 作 用。

那 微 积 分 到底 是 干 嘛 的 呢?

这个 世界 不是 静 止 的, 而 是 在 不 停 的 变 化 的。 在

的。 在 微 积 分 发 明 以前, 数 学 主 要 是 用 来 描 述 静 止 的 世界, 那 时候 的人 是 可以 计 算 三

角 形 和 圆 的 面 积, 或者 柱 体 的 体 积。

但是 呢, 你要 问 他们 如果 一个 圆 在 膨 胀, 它的 面 积 是 怎么 变 化 的?

古 人 就 没有 办 法 回 答。

同 样, 古 代 的 数 学 也是 可以 算 速 度 的, 但是 呢 只 能 算 一 段 时间 里 的 平 均 速 度。

比如 你 十 分 钟 跑 了 一 千 米, 每 分 钟 的 平 均 速 度 就是 一 百 米。

但是 在 现 实 的 生活 里 面, 运 动 通 常 都 不是 匀 速 的。

可能 是 你 第一 分 钟 只 跑 了 五 十 米, 最 后 一 分 钟 跑 了 两 百 米, 用 平 均 速 度 就 没有 办 法 精

准 地 描 述 整 个 运 动 的 状 态。

所以 你看, 古 代 数 学 可以 处 理 静 态 的 图 形, 但是 没有 办 法 处 理 动 态 的 世界。

它 可以 计 算 结 果, 但 没有 办 法 描 述 中 间 的 过 程。 而

程。 而 微 积 分 要 做 的, 就是 把 这个 变 化 本 身 变 成 一 种 可以 计 算 的, 可以 理 解 的, 可以 预 测 的

东 西。

它 第一 次 发 明 了 一 套 语 言, 能 够 精 准 地 去 表 达 每 一个 瞬 间 是 如何 发 生 变 化 的。 它

的。 它 包 含 微 分 和 积 分 两 个 部分。

微 分 是 把 世界 切 成 无 数 个 瞬 间, 看 这 一 瞬 间 是 怎么 变 化 的。

积 分 呢 是 把 所有 的 瞬 间 拼 装 成 一个 完 整 的 结 果。

没有 微 积 分, 我们 就 没有 办 法 理 解 风 速 是 怎么 变 化 的, 人 口 是 怎么 增 长 的 行 星 是 怎么 运 动 的,

温 度 是 怎么 扩 散 的, 等等 的 一 系 列 的 问题。

科 学 最 重要 的 职 能 就是 做 预 测 既 然 要 预 测 下一 刻 会 发 生 什么, 那么 我们 势 必 要 知道 此

时 此 刻 的 状 态 是 什么, 以及 此 时 此 刻 的 变 化 趋 势 是 什么, 势 必 在 这里 就 要 处 理

瞬 间 的 概 念。

但是 在 古 典 的 数 学 里 面 是 没有 对 瞬 间 的 合 法 定 义 的。

如果 瞬 间 的 时间 长 度 等 于 0, 你 用 距 离 除 以 0 在 数 学 上 是 不 允 许 的。

如果 瞬 间 的 时间 长 度 不 等 于 0 假 设 我们 把 瞬 间 定 义 为 0.

01 秒 或者 更 短 的 时间, 那 你 算 的 还是 这 0.

01 秒 的 平 均 速 度 严 格 来 说 也 不是 瞬 间 的 速 度。

所以 啊, 如果 你要 去 纠 结 瞬 间 到底 有 多 长, 那么 你就 会 陷 入 一个 哲 学 和 数 学 的 双 重 矛

盾, 这是 一个 无 解 的 问题。

微 分 的 革 命 就 在 这里 诞 生 了 他 没有 去 定 义 瞬 间 是 什么, 而 是 完 美 地 绕 开 了 这个 无

解 的 问题, 发 明 了 极 限 的 概 念, 让 瞬 间 变 成 了 一个 可以 被 计 算 可以 被 推 理 的 对 象。 那

象。 那 到底 什么 是 极 限 呢? 既

呢? 既 然 我们 永 远 无 法 到 达 瞬 间, 但是 呢 我们 可以 去 观 察 逼 近 瞬 间 这个 过 程 的 趋 势, 于 是

我们 可以 让 时间 的 间 隔 del ta t 不 等 于 0, 而 是 无 限 的 趋 近 于 0。 在

0。 在 这里 我们 就 会 发 现 一个 神 奇 的 事情, 当 时间 间 隔 越 来 越 短 的时候, 变 化 率 就 会 稳

定 的 趋 近 于 一个 确 定 的 数 值, 这个 数 值 就是 瞬 时 的 变 化 率。

我 举 个 例 子 啊, 假 设 有 一个 位 置 函 数, x 括 号 t 等 于 t 的 平 方, 意思 是 位 置 是 时间 的 平

方 函 数。 当

数。 当 时间 t 是 1 的时候, 位 置 是 1, 时间 是 2 的时候, 位 置 是 2 的 平 方 等 于 4, 当 时间 是 3

的时候, 位 置 是 3 的 平 方 等 于 9。

现在 我想 要 知道, 当 t 等 于 3 这 一 瞬 间 的 速 度 是 多少, 我 当然 算 不了 3 的 瞬 间 移 动

了 多少 距 离, 因为 瞬 间 没有 长 度, 但 我们 可以 做 一个 动 作 取 越 来 越 小 的 时间 间 隔 来 进 行 测 算。

第一 种 情况, 当 del ta t 等 于 1 的时候, 也 就是 3 到 4 的 时间 跨 度 里, 这 之 间 的 平 均

速 度 通 过 公 式 算 出来 是 7。

第二 种 情况, 把 时间 间 隔 再 缩 小, del ta t 等 于 0.

1 也 就是 3 到 3.

1 这个 时间 跨 度, 它的 平 均 速 度 约 等 于 6.

1。

第三 种 情况, 把 时间 间 隔 进 一 步 缩 小, del ta t 等 于 0.

01, 也 就是 3 到 3.

01 这个 时间 跨 度 代 入 公 式 算 出来 的 速 度 约 等 于 6.

01。

第 四 种 情况, 把 时间 间 隔 再 再 再 缩 小, del ta t 等 于 0.

000 1, 那么 代 入 公 式 算 出来 速 度 就 约 等 于 6.

000 1。 你

1。 你 发 现 没有, 无 论 你 把 时间 间 隔 缩 到 多 小 只 要 它 不是 0, 那么 变 化 率 就 越 来 越

趋 近 于 6。

于 是 我们 就可以 做 一个 判 断 啊 当 时间 间 隔 缩 小 到 趋 近 于 0 的时候, 速 度 逼 近 6, 那么 此

时 的 瞬 间 速 度 就是 6。 你

6。 你 可能 会 问 啊, 为什么 不能 跌 破 6 变 成 5 点 几 呢?

因为 这个 变 化 率 的 趋 势 被 数 学 结 构 锁 死 了。

你看 这个 公 式 推 导 出 了 一个 结 论, 时间 为 3 的 瞬 间 速 度 等 于 6 加 del ta t, 我们 甚

至 可以 往 里 面 代 入 负 数。 当

数。 当 del ta t 等 于 - 0.

1 的时候, 速 度 值 是 5.

9 当 del ta t 等 于 - 0.

01 的时候, 速 度 值 是 5.

99。

你看 哈 无 论 你 怎么 算 正 负 两 边 都 在 无 限 往 6 逼 近 6 这个 数 值 就 像 是 有 什么 引 力

式 的, 让 所有 变 化 率 都 向 它 靠 拢, 6 就是 这个 情况 下 的 极 限 值, 也是 t 等 于 3 的 瞬 时 速 度。

这 就是 微 分 的 本 质 它 通 过 研 究 瞬 间 的 趋 势 让 瞬 间 变 得 间 接 可以 被 计 算。

而 积 分 早 在 微 分 之前 就 有 了, 比如 古 代 刘 徽 的 割 元 素 它 为 了 计 算 圆 的 面 积, 把 圆

切 成 了 很多 规 整 的 多 边 形。

每 片 的 面 积 是 可以 算 出来 的 小 片 越 多 总 面 积 就可以 算 得 越 精 准 这 就是 早 期 的 积 分

思 想。

有 了 微 分 以 后, 积 分 的 意 义 彻 底 变 了 积 分 不 只是 把 静 态 的 面 积 累 加 而 是 把 无 数

个 瞬 间 的 变 化 累 加。

于 是 呢 加 速 度 积 分 推 导 出 速 度 速 度 积 分 推 导 出 位 置, 温 度 变 化 率 的 积 分 推 导

出 温 度 的 分 布, 积 分 就 从 几 何 的 技 巧 变 成 了 动 态 世界 的 总 和。

那 当 年 牛 顿 是 怎么 发 明 微 积 分 的 呢?

16 65 年的 时候, 英 国 爆 发 大 瘟 疫, 22 岁 的 牛 顿 被 迫 回 到 老 家 过 上 了 与 世

隔 绝 的 生活, 他 每 天 呢 就 思 考 一些 大 问题, 比如 行 星 为什么 会 绕 着 太 阳 走, 为什么

行 星 轨 道 是 椭 圆 的, 为什么 它的 速 度 有 时 快 有 时 慢 呢?

当 时 开 普 勒 已经 发 现 了 行 星 的 椭 圆 轨 道, 但是 呢 这 些 都 只是 观 测 的 经 验, 没有 人 能 够

解 释 为什么。

于 是 牛 顿 就 想 啊, 如果 没有 太 阳 拉 住 行 星 就 会 按 照 直 线 的 方 向 飞 走, 正 是 因为 太

阳 的 引 力 在 起 作 用, 让 行 星 的 方 向 每 时 每 刻 都 会 改 变 那么 一点 点 每 一次 微 小 的

方 向 变 化, 累 积 起 来 就 会 形 成 曲 线 的 轨 道。

所以呢, 如果 想 要 知道 行 星 整 体 上 是 怎么 运 动 的, 那就 要 先 知道 它 在 每 一 刻 是 怎么 运 动 的, 这 种

思 想 也 很 像 古 代 数 学 的 各 元 数 要 知道 整 个 元 的 面 积, 那么 就 把它 切 成 一 小 片 一 小

片 的, 如果 想 要 知道 整 个 行 星 的 运 动 轨 迹, 那么 就 把它 的 时间 切 成 无 数 个 小 的 瞬 间, 在 每

一个 瞬 间 上 都 会 发 生 三 件 事, 第一, 它 有 一个 位 置, 第二, 它 有 一个 速 度, 第三, 它 每

时 每 刻 都 会 受 到 太 阳 的 引 力 作 用, 位 置 和 速 度 都 会 被 太 阳 改 变, 下一 瞬 间 的 位 置

和 方 向 就是 由 这 一 瞬 间 决 定 的, 把 这 些 瞬 间 串 起 来 就是 一个 完 整 的 轨 道, 要 描 述 这

些 瞬 间 的 关 系 需要 全 新 的 语 言, 那 就是 微 积 分 于 是 牛 顿 就 发 明 了 流 率 的 概 念, 也 就是

瞬 时 变 化 率 速 度 就是 位 置 的 瞬 时 变 化 率, 它 等 于 一个 无 限 小 的 位 移 除 以 一个 无 限 小

的 时间, 加 速 度 就是 速 度 的 瞬 时 变 化 率, 也 就是 在 一个 无 限 小 的 时间 里 面 速 度 变 化 了

多少, 这是 有 史 以 来 第一 次 给 加 速 度 赋 予 了 数 学 含 义, 其实 早 在 牛 顿 之前, 伽 利 略 就

已经 发 现 了 加 速 度 的 存 在, 但 那个 时候 呢 还是 一 种 惊 艳 的 总 结, 而且 也 只 能 算 平 均 的 加 速

度, 没有 瞬 时 的 概 念, 而 牛 顿 真 正 的 定 义 了 加 速 度, 而且 是 数 学 上 的 定 义, 牛 顿 在 这

基 础 上 才 推 导 出 了 牛 顿 第二 定 律 F W MA, 意思 是 当 外 力 作 用 到 物 体 上 的时候,

会 让 物 体 的 瞬 间 速 度 发 生 变 化 外 力 是 导 致 加 速 度 的 原因, 再 结 合 开 普 勒 第三 定

律 牛 顿 推 导 出 了 万 有 引 力 公 式 行 星 的 每 一个 运 动 瞬 间 都 符 合 这个 公 式, 这 就是 微 分,

而 万 有 引 力 公 式 是 能 够 推 导 出 完 整 的 行 星 的 运 动 轨 道 的, 这个 就是 积 分 除 了 牛

顿 以 外 莱 波 尼 茨 也 几 乎 在 同 一 时 期 发 明 了 微 积 分, 但是 呢 他 并 不是 为 了 处 理

行 星 轨 道 这 些 物 理 的 问题, 而 是 从 数 学 符 号 出 发 他 尝 试 把 无 限 小 导 数 这 些

概 念 符 号 化 让 微 积 分 变 得 跟 代 数 一 样 好 用, 今天的 微 积 分 符 号 体 系 基本 上 来 自 莱

波 尼 茨, 所以 牛 顿 把 微 积 分 的 思 想 用 到了 物 理 层 面, 莱 波 尼 茨 发 明 了 通 用 的 微 积

分 的 语 法, 相 比 起 他 俩 的 年 代 呢 微 积 分 已经 迭 代 了 很多 了, 而且 有 很多 现 实 的 应 用,

像 什么 AI 大 模 型 呀 股 票 的 涨 跌 呀 推 荐 算 法 呀, 火 箭 卫 星 的 轨 道 呀, 药 物 在 我们 人 体

内 是 怎么 代 谢 的 呀 通 通 都 要 用 到 微 积 分, 就 拿 天 气 预 报 来 说 吧 天 气 是 由 一 系 列

变 化 率 决 定 的, 气 压 变 化 率 温 度 变 化 率, 水 气 变 化 率 风 速 风 向 的 变 化 率 能 量 传

递 的 变 化 率, 所以 天 气 预 报 本 质 上 就是 在 解 一 组 巨 大的 微 分 方 程, 然后 把 方 程 结 果

汇 总 预 测 未 来, 你看 好 微 积 分 让 我们 拥 有 了 能 够 描 述 动 态 宇 宙 的 能 力, 让 我们 理 解

了 这个 世界 是 由 无 数 个 瞬 间 组 成 的 有 了 微 积 分 以 后, 这个 世界 就 变 得 可以 被 计 算, 可以 被

预 测 了 理 解 微 积 分 不 光 是 在 理 解 数 学, 而 是 在 理 解 自 然 规 律 本 身 最 后 呢,

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