Class 12th Maths | Complete Revision Day 2 | Concept with Questions with Ushank Sir

मन के जीते जीत है मन के हारे हार हार गए जो बिन पढ़े उन पर है धिक्कार नमस्कार स्वागत आप सभी का साइंस एंड फन पर जहां

टीचर्स आपको दिल और दिमाग दोनों से बढ़ाते हैं। गुड इवनिंग आदाब सत श्री अकाल केम छो मजा छो कैसे हो मेरे प्यारे बच्चों कैसे हो कैसे हो कैसे हो क्या हालचाल मेरे

प्यारे बच्चों गुड इवनिंग गुड इवनिंग गुड इवनिंग नमस्कार राधे-राधे क्या हालचाल क्या हालचाल मेरे प्यारे बच्चों गुड इवनिंग एम आई ऑडिबल एम आई ऑडिबल टू एवरीवन

एम आई विज़िबल टू एवरीवन क्या हालचाल मेरे प्यारे बच्चों हम अगर आप स्वस्थ हो, व्यस्त हो और मस्त हो।

इससे बेहतर जीवन में और कुछ भी नहीं है। ठीक है जी? तो आज का जो दिन है दैट इज द डे टू ऑफ़ आवर लाइव सेशंस जिसके अंदर हम लोगों ने पहले तो डे वन के अंदर हम लोगों

ने वेक्टर्स और 3D चैप्टर पढ़ा था। आज सुबह मैंने एक असाइनमेंट भी पोस्ट किया था छोटा सा। वो कर लो, एनसीईआरटी कर लो, ये कर लो। मतलब मोर ओवर आपका चैप्टर पूरा हो जाता है। बाकी तो अंतहीन है। जितनी प्रैक्टिस

करो उतनी कम है। आज हम ये तीन चैप्टर करने वाले हैं। एक चैप्टर बहुत छोटा है। लेकिन मैंने कल भी कहा था ये छोटा पैकेट बड़ा धमाका है। तो इस चैप्टर पे बहुत अच्छा से

फोकस करेंगे आज हम क्योंकि ये काफी अच्छी वेटेज का चैप्टर होता है और कम मेहनत में ज्यादा नंबर मिल जाते हैं। मतलब इतनी मेहनत तो आप इंटीग्रेशन में करोगे ना तो

इतने नंबर नहीं मिलेंगे जितने एलपीपी लीनियर प्रोग्रामिंग प्रॉब्लम चैप्टर के अंदर आपको मिल जाते हैं। तो तीन चैप्टर करेंगे और इसी ऑर्डर में करने वाले हैं। पहले रिलेशन फंक्शन फिर इनवर्स

ट्रिग्नोमेट्रिक फंक्शन और फिर आएगा हमारा लीनियर प्रोग्रामिंग प्रॉब्लम। इवेंट को पूरा का पूरा देखने की कोशिश करना। नोट्स डेवलपमेंट कांसेप्ट, फार्मूला, फार्मूला

एप्लीकेशन जैसे कल पढ़ाया था। उसी तरीके से आज हम इसको इंप्लीमेंट करने वाले हैं। बेहतरीन पीवाईक्यूस लेकर आया हूं और बहुत अच्छे-अच्छे मैं कह सकते हो आप आपको मजा

आएगा ये बात सुनकर कि पीवाईक्यूस तो है ही हैं। एनसीईआरटी भी है, एग्जांपलर भी है और कुछ कॉम्पिटेंसी लेवल क्वेश्चन है जो ऐसे क्वेश्चन है जो एक्सपेक्टेड हैं। ठीक है

जी। बात समझ में आ गई? बहुत ही बढ़िया। बहुत ही बढ़िया। तो अब कहानी यहां पर ये है कि आज का इवेंट बड़ा इंपॉर्टेंट इवेंट होने वाला है क्योंकि आज के इवेंट के बाद हमारे पांच चैप्टर पूरे हो जाएंगे और कल

हम पढ़ेंगे कंटिन्यूटी एंड डिफरेंशिएबिलिटी 6:00 बजे। आज का इवेंट शुरू करते हैं विदाउट वेस्टिंग एनी टाइम। तो सबसे पहले इवेंट को लाइक कर दो सारे के सारे बच्चे और तीन

हर्ट्स दे दो। फिर हम शुरू कर रहे हैं। तीन हर्ट्स दे दो और इवेंट को लाइक कर दो। फिर हम शुरू करेंगे। फिर हम शुरू करेंगे। कितने बजे तक चलेगी यह मुझे नहीं पता।

कितने बजे तक ये क्लास चलने वाली है? आई

डोंट नो। आई डोंट नो। आई डोंट नो। आज मैं आपको तीन दो ब्रेक्स दूंगा। एक रिलेशन एंड फंक्शन के बाद आपको 5 टू 7 मिनट्स का ब्रेक मिलेगा। और इनवर्स ट्रिग्नोमेट्री

के बाद भी आपको एक 5 टू 7 का ब्रेक मिलेगा। तो 5-7 मिनट 5-7 मिनट टोटल वही हो जाएगा जो कल ब्रेक दिया था। हां जी। असाइनमेंट telegram ग्रुप पर आते हैं मेरे प्यारे बच्चों। Telegram का जो ग्रुप है

उसके अंदर असाइनमेंट आ रही है। लिंक आपको डिस्क्रिप्शन वगैरह में मिल जाएगा। हां जी। तो उसके असाइनमेंट्स भी करने जरूरी हैं। मुझे चैट पर सिर्फ तीन हर्ट्स के

अलावा और कुछ नहीं दिखना चाहिए। और लाइक करना है आपको इवेंट को। गॉट इट? ठीक

है जी। और एक कमेंट पिन हो रखा है दैट इज द क्रैश कोर्स ऑफ सीयूईटी जिसके अंदर सिर्फ ₹99 के अंदर हम आपको जीएटी डोमेन और

इंग्लिश जैसे तीनों जो आपके कंटेंट होंगे जिसको जीएटी पढ़ना है जीएटी डोमेन जो भी आपके सब्जेक्ट हैं फिजिक्स केमिस्ट्री मैथ्स अकाउंट्स इको बीएसटी बायोलॉजी जो भी

आपके मैथ्स ऑब्वियस सी बात है जो भी आपके डोमेन सब्जेक्ट्स हैं वो तो होंगे ही होंगे इंग्लिश और जीएटी इन सबकी लाइव क्लासेस शुरू हो जाएगी आपके आपके बोर्ड एग्जाम के बाद जैसे साइंस वालों का बोर्ड

खत्म है 9 मार्च को तो 15 के आसपास खत्म हो जाएगी शुरू हो जाएगी क्लास और जो कॉमर्स वालों का थोड़ा लेट है तो उसके बाद क्लास स्टार्ट होगी तो कहानी ये है कि आप

पर ये वाला कोर्स खरीद सकते हो ऐप से जाकर हां जी चलिए जी चलिए जी चलिए जी से डेज का प्लान बता दीजिए ना बता चुका हूं भैया आप लेट आए हो हम ऑलरेडी ये प्लान पढ़ चुके

हैं चलिए तो हमारा पहला चैप्टर आता है बेटा रिलेशन एंड फंक्शन थोड़ा सब्र से पढ़ना क्योंकि क्योंकि आजकल रिलेशन एंड फंक्शन के जो क्वेश्चंस आ रहे हैं ना वह बेस को मांगते हैं। जैसे कल आप लोगों ने

देखा होगा कि हम जब 3D चैप्टर पढ़ रहे थे तो 11th का कंटेंट आ रहा था उसके अंदर। तो आजकल ना सीबीएसई भी ऐसा ही है। थोड़ा बहुत 11th का कंटेंट पूछने लग गया है हमारे

12th के अंदर। तो हम उसी को बेस बनाते हुए चलेंगे। रिलेशन एंड फंक्शन आपने 11th में भी पढ़ा था और 3D हमने 11th में पढ़ा था। तो ये दो चैप्टर ऐसे हैं अभी जो आज तक हम

पढ़ रहे हैं जिसमें 11th का इंटरलिंक्शन है। तो हम यहां पर 11th को इंटरलिंक्ड करके चलेंगे। इसलिए रिलेशन एंड फंक्शन जो हमारा चैप्टर है मेरे प्यारे बच्चों पहले

हम पढ़ेंगे रिलेशन उसके इक्वेशंस पढ़ेंगे। फिर हम पढ़ेंगे फंक्शन और उसके इक्वेशंस करेंगे। तो अगर मैं बात करूं रिलेशन की तो मैं ऑलरेडी देखो तुम्हारे लिए कुछ ना कुछ

कुछ ना कुछ लिख कर लाता हूं कि ताकि तुम्हारा टाइम वेस्ट ना हो। चलिए शुरू कर रहे हैं बेटा। एक सेकंड क्या कह रहा है जी? देखो सबसे पहले एक

कांसेप्ट हम लोगों ने 11 स्टैंडर्ड में पढ़ा था कि काटीज़ियन प्रोडक्ट यानी क्रॉस प्रोडक्ट। दो सेट के बीच में क्रॉस प्रोडक्ट यूनियन इंटरसेक्शन ये सब तो आपको आता होगा। ऐसी उम्मीद रखता हूं। तो अगर

मैं काटीज़ियन प्रोडक्ट की बात कर रहा हूं तो A मान लेते हैं मेरा एक सेट है 1 2 3 और B मान लेते हैं मेरा एक सेट है थ्री और 4। मेरी बात समझ में आ गई? ओके? तो अब a

क्रॉस b कैसे निकलेगा? a क्रॉस b इज अ सेट ऑफ ऑल ऑर्डर्ड पेयर। सेट ऑफ ऑल ऑर्डर्ड पेयर जिसमें पहला एलिमेंट a को बिलोंग

करेगा। दूसरा एलिमेंट b को बिलोंग करेगा। कैसे होता है? देखो वन और थ्री का एक ऑर्डर्ड पेयर बन जाएगा। वन और फोर का एक ऑर्डर्ड पेयर बन जाएगा। टू और थ्री का एक ऑर्डर्ड पेयर बन जाएगा। टू और फोर का।

थ्री और थ्री का एक ऑर्डर्ड पेयर बन जाएगा। थ्री और फोर का एक ऑर्डर्ड पेयर बन जाएगा। इसको हम बोलते हैं। इसको हम बोलते हैं काटीज़ियन प्रोडक्ट। क्या बोलते हैं

बच्चों? काटीज़ियन प्रोडक्ट। तो A और B का

बच्चों? काटीज़ियन प्रोडक्ट। तो A और B का हमने काटीज़ियन प्रोडक्ट निकाल लिया। निकाल लिया। सर ये क्यों सिखा रहे हो? मैं आपको

बताता हूं। देखो काटीज़ियन प्रोडक्ट निकालने से ही आप एक रिलेशन सीख पाओगे। सर रिलेशन क्या होता है बेटा? रिलेशन वही

होता है जो छोड़ो। बोलोगे दुख तिरक पे हाथ रख दिया सर। बेटा रिलेशन यहां पर वह होता है कि हम A

से B जा रहे हैं। अगर हमारा एक सेट है A से B A से B तो हमको एक रिलेशन दिया जाएगा कि X और Y के बीच में रिश्ता क्या है? अब

यहां पर एक रिश्ते की ना हमको ये हमेशा बेइज़्ज़ती कराता है मेरी। यहां पर रिश्ते की ना आपको एक सेट बिल्डर फॉर्म गिवन है। क्या आप इसकी रोस्टर फॉर्म लिख सकते हो?

देखो हमने 11 से 12th तक का जो ब्रिज बनाना है ना उसके अंदर सबसे इंपॉर्टेंट है कि आपको रिलेशन बनाना आना चाहिए। रियल जिंदगी में तो नहीं हो पा रहा लेकिन यहां

तो हो पाएगा। ठीक है ना? अब रिलेशन बनाने के लिए ना तीन चीजें चाहिए होती हैं। वैसे तो दो दो चीजें चाहिए होती हैं। वैसे तो दो चीजें चाहिए होती हैं कि भैया किसका

किसका रिश्ता किसके साथ किसके साथ और क्या ठीक है जी। अब रिश्ते तो हमारे जीवन में कई सारे हैं। हमारा हमारी मदर के साथ रिलेशन होता है। फादर के साथ है। दोस्तों

के साथ है। आपका और मेरे साथ रिश्ता है। तो एक रिश्ता बनाने के लिए दो लोग चाहिए और एक डेफिनेशन चाहिए कि आपकी और मेरे रिश्ते की डेफिनेशन क्या है? आपकी और आपकी

मदर की जो है रिश्ता है उसकी डेफिनेशन क्या है? फॉर एग्जांपल मेरी और ध्रुव

क्या है? फॉर एग्जांपल मेरी और ध्रुव ध्रुव एक बच्चे का नाम है। उषा और ध्रुव के रिश्ते की डेफिनेशन क्या है? कि ये

टीचर है और ये स्टूडेंट है। ये बड़ा भाई है। ये छोटा भाई है। बात समझ में आ गई? तो

कहानी यहां पर ये है कि A से B का एक रिश्ता बनाना है और ये है हमारी एक सेट बिल्डर फॉर्म। इसको आपने डिकोड करके रोस्टर फॉर्म लिखनी है। रोस्टर फॉर्म यहीं

से निकलेगी। A क्या है? ये रहा। B क्या है? ये रहा। X - Y का जो मॉड्यूलस है वो

है? ये रहा। X - Y का जो मॉड्यूलस है वो एक ऑड नंबर होना चाहिए। अब मुझे बताओ कि वन और थ्री का डिफरेंस एक ऑड नंबर है। नहीं है। वन और फोर का डिफरेंस एक ऑड नंबर

है। यस। देखो ना देखो ना वन और फोर का डिफरेंस ऑड नंबर है। टू और थ्री का डिफरेंस एक ऑड नंबर है। यस टू और फोर का डिफरेंस एक ऑड नंबर है। नहीं थ्री और थ्री

का डिफरेंस एक ऑड नंबर है। नहीं थ्री और फोर का डिफरेंस क्या है बच्चों? एक ऑड

नंबर है। क्या है? एक ऑड नंबर है। बोलो भैया। बोलो भैया। समझ में आ गया ना? 1 4 2 3 और 3 4 ये तीन ऑर्डर्ड पेयर बने हैं। इस

रिलेशन का हिस्सा बने हैं। अब अब बेसिक चीज क्या है? डोमेन। डोमेन क्या होती है?

आगे वाला। अभी फिलहाल आगे वाला जो है वो डोमेन है। यानी 1 2 3 और रेंज क्या होती है? पीछे वाला वो क्या आ रही है भैया?

है? पीछे वाला वो क्या आ रही है भैया?

थ्री और फोर। और कोड डोमेन क्या होती है?

जहां से आप निकाल रहे हो ना रेंज को जहां से आप रेंज ढूंढ रहे हो उसको आप कोड डोमेन कहते हो। यानी कोड डोमेन हमेशा B सेट होगा। आप रिलेशन बना रहे हो A से B तो जो

B सेट होगा वो कोड डोमेन होगा। इतनी बात समझ में आ गई? इतना रिवाइज़ हो गया। इतना रिवाइज़ हो गया। इतना क्लियर हो गया? का तीन हर्ट दे दीजिए मेरे प्यारे बच्चों। बोलो मेरे प्यारे

बच्चों। इतना क्लियर हो गया? इतना क्लियर

हो गया ना? मैं क्या कह रहा हूं कि आपको ना दो सेट दिए जाएंगे। कभी-कभी रिलेशन A टू A ये जानना बहुत जरूरी है। तभी मैं टाइप्स पर आ पाऊंगा ना। एक रिलेशन है

फ्रॉम A टू A या एक रिलेशन है फ्रॉम A टू B A से B और रिलेशन की डेफिनेशन ये दे रखी है। सही है ना? रिलेशन की डेफिनेशन ये दे

रखी है। अब रिलेशन की डेफिनेशन क्या है?

दो नंबर का जो डिफरेंस है उसका मॉड्यूलस एक ऑड नंबर होना चाहिए। अब रिलेशन जो होता है यहां पे देखो मैंने क्या लिखा है कि जितने भी रिलेशन होंगे जितने भी रिलेशन

होंगे ना फ्रॉम a टू b वो हमेशा सबसेट होंगे a क्रॉस b से। तो यानी जब भी आप एक रिलेशन बनाओगे वो आपको a

क्रॉस b से ही ढूंढना है। अब जैसे वन और थ्री अब इसका एक एरो डायग्राम भी होता है मेरे प्यारे बच्चों। जैसे यह A है और यह B है। 1 2 3 सर इतना डीप में पढ़ा रहे हो

भाई। मैं कह रहा हूं क्वेश्चन नहीं होंगे। क्वेश्चन नहीं होंगे। मेरी बात जान के समझो। अब ये क्या है कि अगर मैं ये वाले का एरो डायग्राम बनाता हूं। इसका एरो डायग्राम बनाता हूं तो वन का रिश्ता थ्री

के साथ नहीं बन रहा। क्योंकि उनका डिफरेंस ऑड नहीं आ रहा। तो वन का रिश्ता फोर के साथ बन रहा है। बन रहा है कि नहीं बन रहा?

बन रहा है? नहीं बन रहा। फिर टू का रिश्ता किसके साथ बन रहा है? देखो। टू का रिश्ता थ्री के साथ बन रहा है। फोर के साथ नहीं बन रहा। और थ्री का रिश्ता किसके साथ बन रहा है भैया? फोर के साथ बन रहा है। तो

इसको बोलते हैं बेटा हम एरो डायग्राम। इसको बोलते हैं हम रोस्टर फॉर्म। इसको बोलते हैं हम सेट बिल्डर फॉर्म। आगे वाला जो होता है वो डोमेन होता है। पीछे वाला रेंज। और जहां से आप रेंज ढूंढ रहे हो

उसको आप कोड डोमेन कहते हो। सिंपल एज दैट। और जितने भी रिलेशन आप A से B ढूंढोगे वो A और B के क्या होंगे? सबसेट होंगे। वो A और B के क्या होंगे? सबसेट होंगे। अब मैं

आपसे पूछूं नंबर ऑफ रिलेशन फ्रॉम A टू B क्या होगा? जितने उसके सबसेट होंगे। नंबर

क्या होगा? जितने उसके सबसेट होंगे। नंबर ऑफ सबसेट्स नंबर ऑफ सबसेट्स ऑफ A क्रॉस B जितने A क्रॉस B के सबसेट होंगे। ठीक है

जी। आप मुझे बता सकते हो कि इस A क्रॉस B के कितने सबसेट होंगे? या आप मुझे बता सकते हो कि इस A क्रॉस B में हां जी

बोलो बोलो कि इस A क्रॉस B में कितने सबसेट होंगे? बता सकते हो बेटा।

सबसेट होंगे? बता सकते हो बेटा। हम तो इसके सबसेट कितने होंगे? नंबर ऑफ

सबसेट। बच्चे कह रहे हैं गला खराब है। धीरे-धीरे गला ठीक हो जाता है। तुम्हें पता ही है। बेटा छह नहीं है। इसके अंदर एलिमेंट छह हैं। नंबर ऑफ़ सबसेट होता है 2

की पावर 6। बोले तो 64 आएगा बेटा। हां। अब देखो कितने सारे बच्चे गलत जवाब बता रहे हैं ना। मैं आपसे पूछ रहा हूं नंबर ऑफ़ सबसेट्स। यह तो नंबर ऑफ एलिमेंट है बेटा।

इसके कितने सबसेट बनेंगे? तो 2 की पावर 6 बनेंगे। यानी 64। एक नंबर का क्वेश्चन तो यही पूछा जाता है। ये 11th में पूछा जाता है। ये 12th में पूछा जाता है। अब अगर मैं

कहूं नंबर ऑफ एलिमेंट इन a p है। नंबर ऑफ एलिमेंट इन b q है। तो नंबर ऑफ रिलेशन कितने होंगे? 2 पावर p * q। कितने होंगे

कितने होंगे? 2 पावर p * q। कितने होंगे बेटा? 2 पावर p * q इस फॉर्मूले को याद

बेटा? 2 पावर p * q इस फॉर्मूले को याद रखेंगे। बोलो। इस फार्मूले को याद रखेंगे। नंबर ऑफ

रिलेशन कितने होंगे बेटा? 2 की पावर p * q 2 की पावर p * q इसके अंदर कितने एलिमेंट थे? तीन। इसके अंदर कितने एलिमेंट है? दो।

थे? तीन। इसके अंदर कितने एलिमेंट है? दो।

3 * 2 कितना हो गया? छ। तो 2 की पावर 6 इसके अंदर एलिमेंट कितने हैं? p। इसके

अंदर एलिमेंट कितने हैं? q. P * q 2 की पावर 2 p * q आ जाएगा। तो यहां तक मैंने आपको ना मेरे प्यारे बच्चों 11th का एक बेस बना दिया। अब क्या है ना आपको? आपको

अब देखो आगे की पढ़ाई क्या है? आगे की

पढ़ाई यह होगी कि आपको एक A दिया होगा, एक B दिया होगा। कभी बोलेगा A से B जाओ। कभी बोलेगा A से A जाओ। कभी बोलेगा नेचुरल टू

नेचुरल जाओ। कभी बोलेगा इंटीजर टू इंटीजर जाओ। कभी बोलेगा रियल टू रियल जाओ। और एक रिलेशन बनाओ। और उस रिलेशन का टाइप बताओ।

अब आती है बात बेटा टाइप ऑफ रिलेशन की। यह हमारे मार्क्स दिलाएगा। ठीक है ना? अभी

बेस बना रहे थे। ये हमारे मार्क्स बनाएगा। तो टाइप्स ऑफ रिलेशन की अगर मैं बात करूं तो दो ऐसे टाइप हैं जो हमारी एनसीईआरटी में हल्का सा जिक्र किया हुआ है। तो उसको

जल्दी से पढ़ लेते हैं। फिर अपने मेन टाइप पर आ जाएंगे। इस पे थोड़ा फोकस लगाएंगे। तो अगर मैं नल रिलेशन की बात करूं ऐसा रिलेशन जिसके अंदर कोई भी एलिमेंट नहीं

होगा। हैविंग नो ऑर्डर्ड पेयर इन इट। हैविंग हैविंग नो ऑर्डर्ड पेयर। हैविंग नो ऑर्डर्ड ऑर्डर्ड पेयर इन इट। कोई भी

ऑर्डर्ड पेयर इसके अंदर नहीं आएगा। एंप्टी रिलेशन होता है। यानी ये होता है भैया फाई। कोई भी एलिमेंट इसके अंदर A क्रॉस B

से उठकर नहीं आएगा। फिर होता है आइडेंटिटी रिलेशन। समझ लो काम नहीं आएगा। आइडेंटिटी रिलेशन वो होता है जिसके अंदर सिर्फ डबलेट

पाए जाएंगे। सिर्फ ए बिलोंग करेगा। यानी एक ऐसा रिलेशन जहां पर आपको सिर्फ ऐसा दिखाई देगा 1 1 2 2 3 सिर्फ यह दिखाई

देगा। समझ रहे हो? और कोई ऑर्डर्ड पेयर नहीं होना चाहिए। क्या लिखा है वर्ड बेटा?

ओनली। अब बच्चे ना आइडेंटिटी और रिफ्लेक्सिव में कंफ्यूज होते हैं। कि भैया आइडेंटिटी क्या और रिफ्लेक्सिव क्या है। इसीलिए मैं पढ़ाता नहीं हूं। लेकिन जब मैं नहीं पढ़ाता हूं तो बच्चे कहते हैं कि

आपको आइडेंटिटी आता नहीं है। जबकि ऐसी बात नहीं है। मुझे आइडेंटिटी आता है। अब कहानी क्या है मेरे प्यारे बच्चों? कि अगर मैं

एक रिलेशन लिखता हूं ऐसे 1 1 2 और साथ में लिख देता हूं 1 2 तो ये रिलेशन हमारा आइडेंटिटी रिलेशन नहीं होगा। ये

वाला रिलेशन जो है ना हमारा आइडेंटिटी रिलेशन नहीं होगा। क्यों? ये कह रहा है कि ओनली a और ए होना चाहिए। सिर्फ ए और ए होना चाहिए। इतनी बात समझ में आ गई? इतनी

बात समझ में आ गई? और यहां पर ना भूल जाओ। जो मैंने ये पढ़ाया ना इसको पढ़ा, स्टोर किया, आगे बढ़ा। ये यहां मत लगाना। बड़ा कंफ्यूजन हो जाएगी वरना आपको कि सर ये तो आइडेंटिटी भी है, ये रिफ्लेक्सिव भी है।

अब आइडेंटिटी की बात हम करेंगे ही नहीं। ये इसलिए कराई है क्योंकि हमारी एनसीईआरटी में हल्का सा इसका जिक्र किया हुआ है। मेरी बात समझ में आ गई बेटा? बोलो मेरे

प्यारे बच्चों। बोलो मेरे प्यारे बच्चों। बोलो मेरे प्यारे बच्चों। बोलो मेरे प्यारे बच्चों। इतनी बात समझ में आ गई ना?

यस और नो। अभी धीरे-धीरे ना मेरा गला ठीक हो जाएगा। हां जी। क्लियर है ना?

सही है। चलो अब आगे बढ़ेंगे। आगे क्या कह रहा है मेरे प्यारे बच्चों? अब आता है हमारा मेन रिलेशन व्हिच इज़ रिफ्लेक्सिव रिलेशन। क्या कह रहा है भैया? रिफ्लेक्सिव

रिलेशन। अब रिफ्लेक्सिव रिलेशन की कंडीशन क्या है? ये आपको कंडीशन बाय हार्ट याद

क्या है? ये आपको कंडीशन बाय हार्ट याद रखनी है। तीनों की कंडीशंस याद होनी चाहिए। मुझे पता है आपको याद होगी। जिसको याद नहीं है वो याद कर लेगा। कह रहे हैं

अगर a ए रिलेशन में बिलोंग करेगा। फॉर ऑल इसका क्या मतलब होता है बेटा? इसका क्या मतलब

होता है? इसका क्या मतलब है? फ़ ऑल फॉर ऑल

होता है? इसका क्या मतलब है? फ़ ऑल फॉर ऑल A बिलोंग्स टू A मान लो हम एक रिश्ता बना रहे हैं। मान लो हम एक रिश्ता बना रहे हैं

फ्रॉम A टू A मान लो और उस A के अंदर और उस A के अंदर उस A के अंदर 1 2 3 4 एलिमेंट है। तो अब A के अंदर चार एलिमेंट

है ना। चारों के चारों का डबलेट होना चाहिए। चारों के चारों का डबलेट होना चाहिए। उसको बोलते हो आप रिफ्लेक्सिव। डबलेट का मतलब क्या होता है? वन दिख गया

तो वन और वन होना चाहिए। टू दिख गया टू टू होना चाहिए। थ्री दिख गया थ्री थ्री होना चाहिए। फोर दिख गया फोर फोर होना चाहिए। तो ये हमारा एक रिफ्लेक्सिव रिलेशन है।

इसके अलावा कोई एक्स्ट्रा ऑर्डर्ड पेयर भी होगा तो चलेगा। आइडेंटिटी कहता है कोई एक्स्ट्रा ऑर्डर्ड पेयर नहीं होना चाहिए। समझ रहे हो ना? जैसे यहां पर वन टू आ गया तो नहीं होगा। लेकिन यहां पे वन वन है, 2

है, थ्री थ्री है, फोर फोर नहीं है तब भी ये आइडेंटिटी होगा। मैं फिर कह रहा हूं आइडेंटिटी को ज्यादा हम नहीं भाव देते। तो ये वाला जो हमारा रिलेशन है 1 2 3 4 ये

हमारा क्या हो गया बेटा? रिफ्लेक्सिव।

अच्छा अब ये वाला देखो क्या ये वाला रिफ्लेक्सिव है? यस और नो में जवाब दो। y

रिफ्लेक्सिव है? यस और नो में जवाब दो। y या n में जवाब दो। y या n? क्या ये वाला रिफ्लेक्सिव है मेरे प्यारे बच्चों? क्या

इसके अंदर हर एक एलिमेंट के ऑर्डर्ड पेयर मौजूद हैं? क्या इसके अंदर हर एक एलिमेंट

मौजूद हैं? क्या इसके अंदर हर एक एलिमेंट के ऑर्डर्ड पेयर मौजूद हैं? बोलो। हां जी। बोलो मेरे प्यारे बच्चों। बोलो मेरे प्यारे बच्चों। क्या यह क्या यह

रिफ्लेक्सिव है? क्या यह रिफ्लेक्सिव है?

रिफ्लेक्सिव है? क्या यह रिफ्लेक्सिव है?

अब देखो आप गलती कर रहे हो ना? बोलो बोलो।

आप गलती कर रहे हो ना? देखो यहां पर हमें 1 दिख गया। यहां पर हमको 2 दिख गया। यहां पर हमको 33 दिख गया। कुछ बच्चे यस कह रहे हैं। तो बेटा फोर फोर तो है ही नहीं ना। 4

तो रिलेशन को है ही नहीं ना। तो भैया यह वाला है। यह वाला रिफ्लेक्सिव है। लेकिन यह वाला रिफ्लेक्सिव नहीं है।

अब देखो कई बच्चे यस कर रहे हैं। कई बच्चे यस कर रहे हैं। आप इस शब्द का मतलब जानो। इस शब्द का मतलब क्या है बेटा? फॉर ऑल। इस शब्द का मतलब क्या है बेटा? फॉर ऑल। हर एक

एलिमेंट का ऑर्डर्ड पेयर होना बहुत जरूरी है। आपको एक भी नहीं दिखा तो समझ लेना। बाकी मिट्टी प्लीत हो गई। बाकी का जीरो हो गया। आपको चारों के चारों के ऑर्डर्ड पेयर

आपको दिखने चाहिए। नहीं दिख रहे तो कहीं ना कहीं गलती हो रही है। 1 1 2 3 दिख गया लेकिन 4 तो नहीं दिखा। तो ये रिफ्लेक्सिव नहीं है। चलो अब शाबाश ये वाला बता दो भैया फटाफट। क्या आपको चारों दिखाई दे गए?

क्या आपको चारों दिखाई दे गए? देखो भैया

वन वन दिख ओए होए होए होए होए देखो भैया वन वन दिखा बिल्कुल दिखा। टू टू दिखा बिल्कुल दिखा। थ्री थ्री दिखा बिल्कुल दिखा। फोर फोर दिखा बिल्कुल दिखा। तो ये

हमारा रिफ्लेक्सिव हो गया। समझ में आ गई बात? ये हमारा रिफ्लेक्सिव हो गया। समझ रहे हो ना? 1 1 2 3 4 चारों

हैं। ओके? 1 2 33 4 नहीं है। नॉट ओके। 1 2

हैं। ओके? 1 2 33 4 नहीं है। नॉट ओके। 1 2 33 3 4 है। ऑल ओके। ओके। मेरी बात समझ में

आ गई? बहुत ही बढ़िया।

आ गई? बहुत ही बढ़िया। तो रिफ्लेक्सिव इज़ वेरी सिंपल। तो बस चार बार ही गिरा आज ये। मुझे लग रहा है नुकसान होगा आज। हां जी। तो

रिफ्लेक्सिव इज़ वेरी सिंपल। वन वन ऑल ऑर्डर्ड पेयर मौजूद होने चाहिए। क्लियर है बेटा? आगे बढ़ सकता हूं। लेयर ऊपर चलते

बेटा? आगे बढ़ सकता हूं। लेयर ऊपर चलते हैं। एक फिर आता है सिमिट्रिक रिलेशन। सिमिट्रिक रिलेशन की कंडीशन क्या है?

सिमिट्रिक रिलेशन की कंडीशन मेरे प्यारे बच्चों ये है कि अगर पूरे रिलेशन में ab दिख गया। क्या दिख गया? ab दिख गया तो आप

बीए को खोजोगे। आपको 1 2 दिख गया तो आप 2 1 खोजो। समझ रहे हो? 5 3 दिख गया 35 खोजो। ढूंढो। 1 2 दिख

हो? 5 3 दिख गया 35 खोजो। ढूंढो। 1 2 दिख गया 2 1 ढूंढो। 57 दिख गया। 75 ढूंढो। तो ऐसा बोलता है। ठीक है ना? अब देखो देखो

देखो देखो इधर आओ। इधर आओ। जल्दी से इधर आ जाओ मेरे साथ। देखो ये क्या लिखा है? 1

1 का उल्टा क्या होता है? 1 है ना? है ना?

1 का उल्टा क्या है? 1 दिख रहा है ना मुझे? 2 का उल्टा क्या है? 2 दिख रहा है

मुझे? 2 का उल्टा क्या है? 2 दिख रहा है ना मुझे? 33 का उल्टा क्या है? दिख रहा है

ना मुझे? 33 का उल्टा क्या है? दिख रहा है ना? 3 4 का उल्टा क्या दिख रहा है ना? 4 4

ना? 3 4 का उल्टा क्या दिख रहा है ना? 4 4

तो भैया ये वाला ये वाला जो है ना ये हमारा रिफ्लेक्सिव भी है और यह हमारा सिमिट्रिक भी है। बोलो बच्चों। हां जी। हां जी। ये हमारा रिफ्लेक्सिव भी है और ये

हमारा सिमिट्रिक भी है। ये हमारा रिफ्लेक्सिव भी है और ये हमारा सिमिट्रिक भी है। ठीक है? मेरी बात समझ में आ गई? ये हमारा

ठीक है? मेरी बात समझ में आ गई? ये हमारा

रिफ्लेक्सिव भी है और ये हमारा सिमिट्रिक भी है। ओके? चलो चलो बात समझ में आ गई?

चलो। अब ये वाला देखेंगे। ये वाला। देखो मैं आपको बताता हूं। जितने भी 1 2 3 वाले होते हैं ना इनको तो देखना ही नहीं चाहिए सिमिट्रिक में। इन इनकी वजह से कभी भी ऐसा

नहीं होगा कि ये सिमिट्रिक नहीं होगा। तो इन तीनों को तो आप छोड़ ही दो। ये ये इन तीनों एलिमेंट पे तो ये सिमिट्रिक है। ये।

फिर यहां पर देखो 1 2 है। इसका उल्टा 2 1 दिख गया। 2 1 है। इसका उल्टा 1 2 दिख गया। तो भैया यह हमारा सिमिट्रिक हो गया।

भले यह मेरा रिफ्लेक्सिव नहीं है। यह मेरा रिफ्लेक्सिव क्यों नहीं है? यह मेरा

रिफ्लेक्सिव क्यों नहीं है? क्योंकि इसमें

फोर फोर नहीं है। मैंने कहा लगे हाथ रिफ्लेक्सिव भी दोबारा समझा दें। तो अगर मैं सिमिट्रिक की बात करूं तो 1 2 है तो उसका उल्टा 2 1 दिख गया। 2 1 है तो उसका

उल्टा 1 2 दिख गया। तो ये मेरा सिमिट्रिक हो गया। ab है तो ba दिख गया। ba है तो ab दिख गया। सिंपल। ये वाला चेक करो। देखो,

इस पे चेक करने की नीड नहीं है। इस पे चेक करने की नीड नहीं है। इस पे चेक करने की नीड नहीं है। चलो। 1 2 का उल्टा 2, 2 1 का

उल्टा 1 2 3 2 का उल्टा 2 3 नहीं है। फोकस फोकस फोकस फोकस देखो। फोकस देखो। हमें

हमें हमें हमें बताइए बाज की नजर चीते की चाल। बाजीराव के दाव वैसे काम करना है।

ठीक है ना? 3 2 है। 3 2 है। बट बट 2 3 नहीं है भाई। 2 3 नहीं है भाई। तो ये हमारा सिमिट्रिक नहीं है। ये हमारा

सिमिट्रिक नहीं है। सिमिट्रिक नहीं है। और और ये हमारा रिफ्लेक्सिव भी नहीं है। क्योंकि मुझे वन वन दिखा, 2 दिखा, थ्री थ्री दिखा। फोर फोर नहीं दिखा। बात समझ

में आ गई? बात समझ में आ गई? चलो अब ये चेक करके बताओ। ये चेक करके बताओ। सिमिट्रिक चेक करना है। रिफ्लेक्सिव मत करना। वो मुझे पता है बता दोगे। ये रिफ्लेक्सिव तो है। चलो छोड़ो सिमिट्रिक

चेक करके बताओ। क्या ये सिमिट्रिक है? यस

और नो। हां जी। बोलो भैया। बोलो भैया। बोलो भैया। हम

ऊपर आओ। देखो 1 2 का उल्टा 2 1 2 1 का उल्टा 1 2 3 2 का उल्टा 2 3 2 3 का उल्टा 32 है भैया बिल्कुल है तो ये हमारा सिमिट्रिक भी है

और ये हमारा रिफ्लेक्सिव भी है चेक कर रहे हो तुम है ड्रॉप फ्रेम नहीं एक दो बच्चे बीच में लिख रहे हैं लैग अरे वो तो मजाक वाले बच्चे हैं ना यार मैं क्या करूं अब बताओ ऐसे ऐसे बेटा YouTube

पे बच्चा हम लोग फ्री पढ़ाना बंद कर देंगे एक दिन ऐसा आएगा बेटा चलो माना कल कुछ-कुछ जगहों पे ड्रॉप ड्रॉप फ्रेम था। अब यहां तो ड्रॉप फ्रेम है ही नहीं। चेक करो। मेरे को तो एक भी ड्रॉप फ्रेम नहीं दिखा यहां पर। और ये देखो ये भी बहुत बढ़िया चल रहा

है। तो वही तो मैं कह रहा हूं यार। तो बेटा जिसको हैं अभी भी चलो छोड़ देते हैं। अब भाई देखो अब क्या है? वो शेर आया शेर आया वाली कहानी सुनी

है? वो शेर आया शेर आया वाली कहानी सुनी है तुमने? एक गांव होता है जहां पर एक

है तुमने? एक गांव होता है जहां पर एक पागल आदमी होता है। वो वो पता है क्या कहता है? पागल आदमी मतलब भ्रूण आदमी होता

कहता है? पागल आदमी मतलब भ्रूण आदमी होता है ना भूण। जिसमें कोई दिमाग नहीं होता। मतलब घुटने में भी नहीं होता। तो वो आके सबको कहता है, मजाक करता है। रात को आग के जगाता है। शेर आया शेर आया शेर आया। चारप

बारी लोग बाहर आए और उसको आकर देखा तो कह रहे मैं तो उल्लू बना आया बड़ा मजा आया फिर एक बारी फिर करता है शेर आया शेर आया शेर आया शेर आया फिर भी शेर नहीं आता मजाक कर रहा होता है लोग कहते हैं यार तो पागल

हो गया एक बारी असली में शेर आ जाता है और उसके पीछे पड़ जाता है फिर वो चिल्लाता रहता है शेर आया शेर आया गांव में कहता है इसको छोड़ो पागल आदमी है सुबह देखते हैं उसकी लाश पड़ी होती है लाश नहीं पड़ी होती

खाली अंगूठा पड़ा होता है बाकी तो शेर खा चुका होता है तो यही तुम्हारे साथ होगा यही तुम्हारे साथ होगा अब क्या बोले भाई हां जी यही तुम्हारे साथ होगा। सही है ना

बेटा? ये कहानी है। चलो चलो आगे देखो। अब

बेटा? ये कहानी है। चलो चलो आगे देखो। अब आगे देखो। कह रहे हैं जी 1 2 33 4 इन पे तो चेक करना नहीं। इन पे तो चेक करना नहीं। तो ये हमारा रिफ्लेक्सिव तो हो गया।

सिमिट्रिक की बात करो। देखो 3 4 है। 3 4 का उल्टा क्या आ गया? 4 3 बिल्कुल है जी। 2 4 है। 2 4 का उल्टा आ गया 4 2 बिल्कुल

है। 4 1 है। 4 1 का उल्टा आ गया 1 4 बिल्कुल है जी। तो ये हमारा सिमिट्रिक भी हो गया। तीन हर्ट दे दो आपको। आपको रिफ्लेक्सिव भी समझ में आ गया और सिमिट्रिक भी समझ में आ गया। सर मुझे

रिफ्लेक्सिव भी क्लियर हो गया है और मुझे सिमिट्रिक भी क्लियर हो गया है। आगे बढ़ो। तीन हट देते हैं हम आपको। आगे बढ़ो। सुशांत सर आगे बढ़ो। हम तुम्हारे साथ हैं।

चलो जी। बोलो बच्चों। बोलो बच्चों। रिफ्लेक्सिव क्लियर सिमिट्रिक क्लियर। ठीक है जी। ये आपने काफी नंबर बटोर लिए। काफी नंबर बटोर

लिए। चलो अब बात करेंगे ट्रांजिटिव की। ट्रांजिटिव के अंदर थोड़े से मजे ज्यादा हैं। ठीक है जी। इसकी कंडीशन थोड़ी सी अच्छी ज्यादा है। अब यहां पर ना आपको एक

बात समझनी पड़ेगी। कहते हैं कि अगर अगर इफ का मतलब क्या होता है? इफ का मतलब है अगर कह रहे हैं जी अगर ab जो है वह r में

बिलोंग कर रहा है इफ ab बिलोंग्स टू r bc बिलोंग्स टू r तो ढूंढना है ac मतलब मतलब

मतलब कह रहे हैं कि अगर 1 2 है 2 3 है तो 1 3 ढूंढो तो 1 3 ढूंढो लेकिन मेरा सवाल आपसे यह है

कि अगर 1 2 है और टू से शुरू होने वाला कोई भी एलिमेंट नहीं है। टू से शुरू होने वाला कोई भी एलिमेंट नहीं

है। मैं क्या कह रहा हूं? 1 2 है, 2 3 है। मैं क्या कह रहा हूं? 1 2 है, 1 2 है और टू से शुरू होने वाला कोई भी ऑर्डर्ड पेयर नहीं है।

तो हमें क्या ट्रांजिटिव चेक करना है या वो ऑटोमेटिकली ट्रांजिटिव हो गया उस एलिमेंट पर? तो वो

ऑटोमेटिकली ट्रांजिटिव हो गया। इस बात पे मैं दोबारा आऊंगा। पहले हम यहां पे चेक करना शुरू करते हैं। देखो ये बहुत इंपॉर्टेंट बात है बेटा। क्वेश्चन का कंडीशन इस ट्रांजिटिव का कंडीशन क्या कह

रहा है? वो गहरी बात है। कह रहे हैं AB है

रहा है? वो गहरी बात है। कह रहे हैं AB है तो BC ढूंढो। AB है BC है तो AC ढूंढना है। AB है लेकिन BC ही नहीं है। तो मैं AC

कैसे ढूंढूं? तो वो बाय डिफॉल्ट उस

कैसे ढूंढूं? तो वो बाय डिफॉल्ट उस एलिमेंट पे ट्रांजिटिव हो जाएगा। आगे बढ़ जाओ। तो जैसे अगर अगर देखो मैं यहां वन वन की बात कर रहा हूं। मेरे बच्चों ध्यान से

देखना। मैं यहां वन वन की बात कर रहा हूं। यह आ गया हमारा A और ये आ गया हमारा B। अब वन से शुरू होने वाला कोई भी और एलिमेंट है ही नहीं। तो हमें इसको चेक करना ही

नहीं है। तो अब एक नियम बांध लो। पहली बात तो एक नियम बांध लो। जहां पे ऑर्डर्ड पेयर आ जाएंगे कौन से? डबलेट वाले। तो उसमें सिमिट्रिक भी चेक नहीं करोगे और

ट्रांजिटिव भी चेक नहीं करोगे। वो बाय डिफ़ॉल्ट उस पर क्या होगा? सिमिट्रिक भी

होगा और ट्रांजिटिव भी होगा। और ऑब्वियस सी बात है वो रिफ्लेक्सिव तो था ही। तो ये वाला आपका रिफ्लेक्सिव भी है। ये वाला सिमिट्रिक भी है और ये वाला ट्रांजिटिव भी

है। चेक ही नहीं करना। भूल ही जाओ इसको। यहां पर देखो इसको तो चेक नहीं करना। अब इधर देखो। 1 2 है। अब टू से शुरू होने

वाला एक नंबर ढूंढो। देखो देखो देखो। अब आप गौर से देखना। 1 2 है। ये अगर A है। ये अगर B है। ये अगर B है। ये अगर C है तो

क्या मुझे AC दिख रहा है? हां दिख रहा है सर। वन वन दिखाई दे गया। तो इस पे तो ये रिफ्लेक्सिव सॉरी इस पे तो ये ट्रांजिटिव

है। अब आगे बढ़ो। अब आगे बढ़ो। समझो इधर आओ। इधर आओ। इधर आओ। जैसे यहां पर ये AB है और टू से शुरू होने वाला ये भी तो है BC। चेक

करो। मुझे 1 2 दिखा। मुझे 2 3 दिखा। लेकिन मुझे 1 3 कहीं पर भी दिखाई नहीं दिया। तो भैया ये वाला मेरा ट्रांजिटिव नहीं है।

मुझे कोई एक एग्जांपल भी मिल जाएगा ना कि जहां पर वो ट्रांजिटिव नहीं है। तो पूरा का पूरा रिलेशन ट्रांजिटिव नहीं होने वाला। क्या कह रहे हैं? दोबारा समझेंगे। 1

2 है 2 3 है। 1 3 कहीं नहीं दिख रहा। देखो देखो देखो ट्रांजिटिव नहीं है 1 2 है 2 3

है 2 3 है लेकिन लेकिन मुझे कहीं पर भी 1 3 1 3 नहीं दिखा तो ये ट्रांजिटिव नहीं होगा तो ये ट्रांजिटिव नहीं होगा पहले

वाला ट्रांजिटिव होगा अच्छा अब इसकी बात करके बताओ ना बेटा इसका बताओ ट्रांजिटिव का क्या सीन है सेकंड वाले का हां जी हां जी

बोलो बोलो बोलो बोलो बोलो कह रहे हैं AC की जगह CA नहीं नहीं भाई AC ही ढूंढना सीए नहीं ढूंढना AC ही ढूंढना है CA नहीं

ढूंढना मैं क्या कह रहा हूं 1 है 2 है 3 है 4 है इस पे चेक करना नहीं 1 2 है। 2 1

है। क्या 1 है? हां है। हां है। 2 1 है। 1 2 है क्या? 2 है। हां है। हां है। तो ये

ट्रांजिटिव है। हां जी। यह यह ट्रांजिटिव है। क्या कह रहा है? 1 2 है, 2 1 है। तो यह क्या है मेरे प्यारे बच्चों? 1 है। ये

क्या है मेरे प्यारे बच्चों? वन वन है। और अगर उल्टा भी देखूं, उल्टा भी देखूं कि ये 2 1 है और यहां पर 1 2 है। तो क्या ये 2 है? वो भी है। वो भी है। वो भी है। तो ये

है? वो भी है। वो भी है। वो भी है। तो ये ट्रांजिटिव भी हो गया। तो भैया अब ये ध्यान से देखोगे ये रिफ्लेक्सिव भी है और ये सिमिट्रिक भी है और ये ट्रांजिटिव भी है।

ठीक है जी लास्ट वाला एक बारी और चेक कर लें तो इस पे तो चेक करना नहीं है। 1 2 है 2 1 है 1 भी है। 1 2 है 2 3 है क्या 1 3

है? देखो 1 2 है 2 3 है क्या? 1 3 है

है? देखो 1 2 है 2 3 है क्या? 1 3 है बिल्कुल है। बिल्कुल है। बिल्कुल है। बिल्कुल है। समझ रहे हो? अब यहां पर देखो।

अब यहां पर देखो। 1 3 है, 3 1 है क्या? 1

है? बिल्कुल है। ऐसे ही 1 3 है, 3 2 है क्या? 1 2 है? बिल्कुल है। ऐसे ही अ यहां

क्या? 1 2 है? बिल्कुल है। ऐसे ही अ यहां पर देख लो 3 2 है, 2 1 है, क्या 31 है?

बिल्कुल है। 2 3 है, 31 है, क्या 2 1 है?

बिल्कुल है। तो ये वाला भी ट्रांजिटिव हो जाएगा। AB है, BC है, AC भी दिख रहा है हर बारी। तो वो ट्रांजिटिव हो जाएगा। सिंपल सी बात है। तब के ऑर्डर्ड पेयर उल्टे भी हैं। तो

यह रिफ्लेक्सिव भी है, सिमिट्रिक भी है और ट्रांजिटिव भी है। तो भैया ऐसे हां जी कह रहे हैं 1 2 नहीं है सेकंड में। सेकंड में वन टू नहीं दिखा। ये तो रहा। सेकंड में वन

टू नहीं दिखा। तो सेकंड तो मैं कह ही नहीं रहा हूं। 1 2 है 2 1 है। तो बेटा मैं तो ट्रांजिटिव मना किया ना। मैंने रिफ्लेक्सिव सिमिट्रिक की तो बात ही नहीं की। चेक करो ना बेटा। तो ये रिफ्लेक्सिव

है। सिमिट्रिक नहीं है और ट्रांजिटिव भी नहीं है। समझ रहे हो? मैं तो ट्रांजिटिव की बात कर रहा हूं ना मेरे बच्चे। हां जी। ओके मेरे प्यारे बच्चों क्लियर हो गया। तो

ये था ट्रांजिटिव। इक्विवेलेंस रिलेशन वेरीेंट कह रहे हैं अगर एक रिलेशन रिफ्लेक्सिव भी है, सिमिट्रिक भी है और ट्रांजिटिव भी है तो वो इक्विवेलेंस

रिलेशन कहलाया जाए। जो सिमिट्रिक, रिफ्लेक्सिव और ट्रांजिटिव तीनों होगा। जैसे ये वाला है। ये तीनों है ना तो इसको मैं इक्विवेलेंस रिलेशन कह सकता हूं। इसको मैं इक्विवेलेंस रिलेशन कह सकता हूं। इसको

मैं इक्विवेलेंस रिलेशन कह सकता हूं। चलो अगर मैं आपको बोलूं कि मेरा एक सेट है a ab ab और और मैं रिलेशन बना रहा हूं फ्रॉम

a टू a मैं आपको देता हूं 30 सेकंड टाइप करने का समय दूंगा क्योंकि जानना बहुत जरूरी है क्योंकि मैं ऐसा कोई क्वेश्चन लेकर नहीं आया हूं तो यहीं पर निपटा देते हैं। स्मालेस्ट इक्विवेलेंस रिलेशन कौन सा

होगा? आप बना सकते हो मेरे प्यारे बच्चों।

होगा? आप बना सकते हो मेरे प्यारे बच्चों। स्मालेस्ट इक्विवेलेंस रिलेशन क्या होगा मेरे प्यारे बच्चों?

सेकंड वाला सिमिट्रिक क्यों है? मैंने

बोला ही नहीं सिमिट्रिक है। सेकंड वाला सिमिट्रिक नहीं है। नहीं है। अ सेकंड वाला सिमिट्रिक है ना? है ना? है

ना? सेकंड वाला सिमिट्रिक है ना? है ना? 1

2 है, 2 1 है, 3 2 है, 2 3 है। सिमिट्रिक है भाई? हां जी। सेकंड वाला सिमिट्रिक है।

है भाई? हां जी। सेकंड वाला सिमिट्रिक है। अच्छा चलो इस पर आओ। इस पर आओ। इस पर आओ मेरे प्यारे बच्चों। इस पर आओ। ये वाले सवाल का जवाब बता पाओगे? बहुत सिंपल है।

यह बड़ा इंपॉर्टेंट है कि एक a दिया हुआ है बेटा ab ठीक है ना? और रिलेशन बना रहा हूं मैं a टू b तो स्मालेस्ट इक्विवेलेंस रिलेशन क्या होगा? अब तक तो बच्चों ने कमेंट करना शुरू कर दिया। स्मालेस्ट

इक्विवेलेंस रिलेशन स्मालेस्ट इक्विवेलेंस रिलेशन क्या होगा? अगर तुमने जवाब बिल्कुल ठीक दिया है तो इसका मतलब तुम्हें बहुत बेहतरीन तरीके से ये चैप्टर आता है। बढ़िया आता है। तो इसी बात पे तुम्हें

इवेंट को लाइक करना है। हां सर। चित भी हमारी, पट भी हमारी। A और BB द सेट ऑफ

आई एम सॉरी द सेट ऑफ ऑल ऑर्डर्ड पेयर जो होगा द सेट ऑफ ऑल डबलेट जिसको आप बोलते हो सिर्फ उतना ही होता है ना तो ये रिफ्लेक्सिव भी है सिमिट्रिक भी है और ट्रांजिटिव इससे छोटा कोई भी रिफ्लेक्सिव

सिमिट्रिक ट्रांजिटिव तीनों तो नहीं होगा क्लियर हो गई बात चलो जी बहुत बढ़िया हो गया बहुत बढ़िया हो गया इसके ऊपर क्वेश्चन बनता है चाहे वो एजशन रीजनिंग हो चाहे जैसे मर्जी हो बात समझ में आ गई क्लियर हो

गया यहां तक यहां तक क्लियर हो गया मेरे प्यारे बच्चों बच्चों अब तीन हर्ट्स दे दो। हमारा टॉपिक खत्म हो गया है। ये कुछ क्वेश्चन ये कुछ फ़ूलेज़ हैं जो मैंने वेकअप सीरीज में भी रखे थे। मैंने कई रील्स

पोस्ट की है इसके ऊपर कि भैया ये छोटे-छोटे फॉर्मूलेज़ हैं। इसके कुछ क्वेश्चंस अभी लाया हूं। कुछ क्वेश्चन मैं आपके मैराथॉन वाले दिन सेवन और एट को लेकर

आऊंगा। 7 तारीख से याद आया साइंस एंड फंडे शाम 6:00 बजे। तो कह रहे हैं जी पॉइंट टू रिमेंबर क्या है? पॉइंट टू रिमेंबर क्या है यहां पर कि नंबर ऑफ़ रिफ्लेक्सिव रिलेशन

फ्रॉम A टु A अगर अगर नंबर ऑफ़ एलिमेंट इन A नंबर ऑफ़ एलिमेंट इन A नंबर ऑफ़ एलिमेंट

क्वेश्चन शुरू कर रहे हैं। इन a जो है वो मान लो n है। तो नंबर ऑफ़ रिफैक्टिव रिलेशन कितने होंगे? 2 पावर n² - n याद रख लेना

कितने होंगे? 2 पावर n² - n याद रख लेना फार्मूला। नंबर ऑफ़ सिमिट्रिक रिलेशन कितने होंगे? 2 ^ n n + 1 / 2 नंबर ऑफ़

होंगे? 2 ^ n n + 1 / 2 नंबर ऑफ़ रिफ्लेक्सिव भी हो और सिमिट्रिक रिलेशन भी हो तो यह आता है 2 ^ n n - 1 / 2 और यहां पर ये लिखा ही हुआ है। अच्छा तो इसको हटा

देता हूं। तो यहां पर ये बात लिखी हुई है। ट्रांजिटिव हमको खुद बनाने पड़ते हैं। ठीक है ना बेटा? ट्रांजिटिव और इक्विवेलेंस आपको खुद बनाने पड़ेंगे। ओके मेरी बात?

समझ में आ गई? तो ये तीन फॉर्मूले हैं जिनको आप याद कर लेना। छोटे क्वेश्चंस यहीं से होंगे। एमसीक्यू जो आते हैं और वो मुझे पता है हर एक बच्चे को तंग जरूर करते हैं। तो ये वाला काम जरूर एक बारी बच्चों

याद कर लेना। क्लियर हो गई मेरी बात? तुम

लोगों ने तीन हर्ड दिए थे। सर आपकी स्टैमरिंग प्रॉब्लम कैसे खत्म हुई? नहीं हुई बेटा खत्म। आई स्टिल

हुई? नहीं हुई बेटा खत्म। आई स्टिल स्टैमर। इसके ऊपर एक अलग वीडियो बनाऊंगा। बहुत बच्चे डिमांड कर रहे थे। कई बच्चों ने मेरा जोश टॉक देखा है। आई यूज्ड टू

स्टैमर अ लॉट। बट देखो स्टैमरिंग की जो प्रॉब्लम है ना वो सबसे ज्यादा जो प्रॉब्लम आती है वो आती है कि आप हेजिटेट करते हो कॉन्फिडेंस की कमी की वजह से वो मेरे में भरभर के आ गया तो अब मैं नहीं

घबराता कोई भी वर्ड बोलने से पहले लेकिन हां मैंने अपने आपको ट्रेन भी किया है कि हाउ टू स्टॉप देखो कुछ ही शब्द होते हैं मैं कभी भी एक वीडियो बनाऊंगा आपको बताऊंगा इसके ऊपर कभी लाइव आऊंगा एक दिन उसमें बताऊंगा वीडियो तो क्या ही बनाऊंगा

तो स्टैमरिंग प्रॉब्लम तो है बेटा हां अभी भी है अभी भी है सर इक्विवेलेंस क्लास मेरी जान रुक तो जा मेरी मेरे बाबू रुक तो जा। मैं ही हूं ना अकेला तुमको जान और बाबू

बोलने वाला। चलो मैं क्या कह रहा हूं? अभी

रुक जाओ। क्वेश्चन बहुत सारे हैं। इक्विलेंस क्लास भी समझेंगे। वो क्वेश्चन से समझा जाता है। इतना समझ में आ गया ना?

चलो अब शुरू करेंगे क्वेश्चंस। अब पहले हम पढ़ रहे हैं रिलेशन। रिलेशन के क्वेश्चन आएंगे। फिर पढ़ेंगे हम फंक्शन। फंक्शन के क्वेश्चन आएंगे। खत्म हो जाएगा चैप्टर। इतना सिंपल है। आओ बच्चों क्या कह रहा है?

क्या कह रहा है ये क्वेश्चन? क्वेश्चन कह

रहा है? ये हमारी एनसीईआरटी का ही क्वेश्चन है। लगभग कह रहे हैं रिलेशन R ऑन द सेट ये दे रखा है। डिफाइंड एज R ये दे

रखा है। तो ये अभी हमारी ना रोस्टर फॉर्म है। हमको एक रिलेशन बनाना है फ्रॉम A टू A। हमें एक रिलेशन बनाना है बेटा फ्रॉम A

टू A और और रिलेशन की सेट बिल्डर फॉर्म पता है। रोस्टर बता देते हैं। जैसे X की जगह अगर मैं वन पुट करता हूं तो y मेरा तीन आता है। बेटा रिश्ता क्या है? 3x = y

वाला रिश्ता है। अगर मैं टू करता हूं तो छ आ जाता है। तीन पुट करता हूं तो नौ आ जाता है। चार पुट कर देता हूं तो 12 आ जाता है। पांच पुट कर देता हूं 15 आ जाता है। छह पुट कर देता हूं तो 18 आ जाता है। क्या

मैं ठीक बना रहा हूं? क्या मैं एकदम ठीक बना रहा हूं रिलेशन? आंसर इज़ नो सर। क्यों? क्योंकि मेरे पास जो एलिमेंट है वो

क्यों? क्योंकि मेरे पास जो एलिमेंट है वो सिर्फ 14 तक दिए हुए हैं। तो मैं 15 और 18 कैसे लिख पा रहा हूं। तो ये यहीं पर ही आकर रुक जाएगा। यह यहीं पर ही आकर रुक

जाएगा। अब मैंने अपने बच्चों को इतना तो ट्रेन कर दिया कि वह इसको देखकर यह तो बता देंगे कि वह रिफ्लेक्सिव है, सिमिट्रिक है या ट्रांजिटिव है? देखो भैया ये

रिफ्लेक्सिव तो है नहीं। देखो भैया क्या ये ट्रांजिटिव क्या ये सिमिट्रिक है? क्या

ये सिमिट्रिक है? वन थ्री का उल्टा दिखाई दे रहा है। देखो भैया रिफ्लेक्सिव की बात करूंगा तो भैया वन वन ही बिलॉन्ग नहीं कर रहा R को। तो यह रिफ्लेक्सिव नहीं होने

वाला। बोलो सिमिट्रिक की बात करूंगा तो 1 3 बिलोंग कर रहा है लेकिन 3 1 बिलोंग नहीं कर रहा R को तो ये भी नहीं होगा व्हाट

अबाउट ट्रांजिटिव मुझे पता है देखो ज्यादातर बच्चे डी ऑप्शन दे रहे हैं अब तुमको ना सॉरी बोलना पड़ेगा मेरे हिसाब से अब यहां पर वो वक्त आ चुका है अच्छा नहीं नहीं अभी नहीं आया अभी नहीं आया अभी अभी

मेरा मोएम मोए हुआ है अभी मेरा मोई-मोए हुआ है हां जी यह ट्रांजिटिव भी नहीं है क्यों 133 दिख गया 39 दिख गया लेकिन 19 नहीं दिखा

13 दिख गया, 39 दिख गया लेकिन 1 9 नहीं दिखा। बिल्कुल सही है। तो ये ट्रांजिटिव भी नहीं होने वाला। तो ये ट्रांजिटिव भी नहीं होने वाला। तो आंसर आ गया डी ऑप्शन।

बहुत ही बढ़िया। आंसर आ गया है मेरे प्यारे बच्चों। डी ऑप्शन। 1 3 है थ्री से शुरू होने वाला भी है। लेकिन वन 9 नहीं दिखा। तो ये नीदर रिफ्लेक्सिव सिमिट्रिक

नॉर ट्रांजिटिव। बहुत ही बढ़िया। आगे देखेंगे। कह रहे हैं एक रिलेशन है R ऑन दिस सेट 1 2 3 एग्जांपलर का क्वेश्चन है 1

2 अब बताओ कि इनमें से ये क्या है? क्या

ये रिफ्लेक्सिव है? क्या ये सिमिट्रिक है?

क्या ये ट्रांजिटिव है? या इनमें से ये तीनों नहीं है। रिलेशन के अंदर एक ही एलिमेंट दिया हुआ है मेरे प्यारे बच्चों। वन टू और जो रिलेशन बन रहा है हमारा वो A

टू A बन रहा है। अगर ये हमारा A है तो ठीक है जी। तो अब रिफ्लेक्सिव की बात करेंगे तो 1 तो नहीं है। तो यह रिफ्लेक्सिव तो

नहीं है। सिमिट्रिक की बात करेंगे जी 1 2 दिख गया लेकिन 2 1 तो नहीं दिखा तो ये सिमिट्रिक भी नहीं है। ट्रांजिटिव

है या नहीं है? बोलो भैया। ट्रांजिटिव है या नहीं है? अरे वाह यार तुम तो यार मैं भाई मैं रो रहा हूं अंदर से। अगर तुमने इतने ठीक-ठीक जवाब दोगे ना तो अंदर से रोना आ जाता है मेरे को कि यार बच्चे इतने

ज्यादा इंटेलिजेंट हो गए हैं। शाबाश। हां बेटा ये ट्रांजिटिव है। क्यों है? क्योंकि

मुझे वन टू दिख गया। लेकिन टू से स्टार्ट होने वाला मैंने कहा ना कि मैं यहां पर दोबारा आऊंगा। देखो मैंने आपको क्या कहा था? मुझे वन टू दिख गया। लेकिन टू से शुरू

था? मुझे वन टू दिख गया। लेकिन टू से शुरू होने वाला कोई भी दूसरा ऑर्डर्ड पेयर दिखा ही नहीं। मुझे AB दिख रहा है। BC नहीं दिख रहा। तो मैं AC कैसे ढूंढूं? तो मैं AC

कैसे ढूंढूं? तो मैं AC कभी भी नहीं ढूंढ

कैसे ढूंढूं? तो मैं AC कभी भी नहीं ढूंढ पाऊंगा। समझो अगर मुझे अगर मुझे कहां गया?

ये रहा ना क्वेश्चन। 1 2 दिख गया लेकिन टू तो दिखा ही नहीं। टू समथिंग तो दिखा ही नहीं। यहां पर क्या है? AB बिलोंग कर रहा है R को।

लेकिन BC बिलोंग नहीं कर रहा R को। तो मैं AC कैसे ढूंढ सकता हूं? तो भैया बाय डिफॉल्ट ये फंक्शन क्या हो जाएगा?

ट्रांजिटिव हो जाएगा। बाय डिफॉल्ट ये फंक्शन क्या हो जाएगा मेरे प्यारे बच्चों?

ट्रांजिटिव हो जाएगा। शाबाश। अपने लिए तीन हर्ट्स दे दो। अपने लिए प्यारे-प्यारे तीन हर्ट्ज दे दो मेरे प्यारे बच्चों।

अपने लिए प्यारे-प्यारे प्यारे-प्यारे तीन हर्ट्स दे दो। आसान है ना?

कह रहे हैं ए दे रखा है। नंबर ऑफ रिफ्लेक्सिव रिलेशन। अगर आपने ये स्क्रीनशॉट नहीं लिया तो ले लो क्योंकि आगे जाके कई क्वेश्चंस आने वाले हैं। इसका स्क्रीनशॉट ले लो। हां जी। इसका

स्क्रीनशॉट ले लो। स्क्रीनशॉट ले लो। ले लिया बेटा। चलो अब इसका आंसर बता दो बेटा। इस वाले का आंसर बता दो बेटा।

हम इस वाले का आंसर बता दो बेटा। इसका आंसर बता दो बेटा। ऊपर आना।

क्या आंसर आया बेटा? देखो इसके अंदर कितने एलिमेंट हैं? नंबर ऑफ़ एलिमेंट इन a कितने

एलिमेंट हैं? नंबर ऑफ़ एलिमेंट इन a कितने हैं भैया? टू है। तो नंबर ऑफ़ रिफ्लेक्सिव

हैं भैया? टू है। तो नंबर ऑफ़ रिफ्लेक्सिव रिलेशन का फार्मूला अभी मैंने आपको बताया

था। 2 की पावर n² - n 2 की पावर 2² - 2 आ गया। 2 की पावर 4 - 2 आ गया। 2 की पावर 2 कितना आ गया भैया? 4 आ गया। ठीक है भाई।

तुम ये इंटरनेट की तार चेंज कर दो। तुम देख रहे हो नीचे?

चैट कहां है?

देखो हम चलो यहां यहां पर बेटा जो ये फार्मूला है ये जो फार्मूला है ये मैंने अभी आपको बताया था 2 की पावर n² - n ये आप लगाओगे

नंबर ऑफ एलिमेंट कितने हैं बेटा दो है नंबर ऑफ एलिमेंट कितने हैं बेटा यहां पर दो है तो यहां आ गया 2 की पावर n की जगह मैं टू पुट करूंगा और आंसर मेरा चार आ जाएगा इसमें कोई बात नहीं है एंड टू क्यों

लिया बेटा यहां दो एलिमेंट दिख रहे हैं ना आपको यहां पे कितने एलिमेंट दिख रहे हैं दो दिख रहे हैं ये वाला क्वेश्चन करो कह रहे हैं सेट x जो दे रखा है 1 2 3 एंड अ

रिलेशन R इज़ डिफाइंड इन X सच दैट एक रिलेशन आपको दिया हुआ है यहां पर। एक रिलेशन दिया हुआ है 1 3 यहां दिया हुआ है

2 और यहां दिया हुआ है 32। यहां दिया हुआ है 32। बात समझ में आ गई? बात समझ में आ गई? क्लियर है? जी। अब ये कह रखा है देन द

गई? क्लियर है? जी। अब ये कह रखा है देन द मिनिमम ऑर्डर्ड पेयर व्हिच शुड बी ऐडेड। देखो दो क्वेश्चन आते हैं। एक आता है ऐड वाला, एक आता है सबट्रैक्ट वाला यानी

रिमूव वाला। तो इनमें मैं क्या ऐड करूं कि ये रिफ्लेक्सिव भी बन जाए और सिमिट्रिक भी बन जाए। तो देखो सिंपल सी बात है। सिंपल सी बात है। इसके अंदर ना टू टू दिख गया।

लेकिन एक वन वन की कमी है और एक थ्री थ्री की कमी है। है कि नहीं है? भाई अगर मुझे इसको रिफ्लेक्सिव बनाना है तो मुझे 1 2 3 तीनों के ऑर्डर्ड पेयर यानी तीनों के

डबलेट चाहिए होंगे। तो 1 नहीं था, टू टू ऑलरेडी था, थ्री थ्री नहीं था। तो पहले तो ये दोनों तो डाल देते हैं। अच्छा जी। अब मुझे इनको सिमिट्रिक बनाना है। तो 1 3 का

उल्टा भी चाहिए होगा 3 1 और 3 2 का उल्टा भी चाहिए होगा 2 3 तो भैया मेरे हिसाब से ये चार चीजें अगर आ

जाए तो मजा आ जाए। ये चार चीजें आ जाए तो ऑप्शन क्या आ रहा है भैया? इसका सी ऑप्शन आ गया। इसका ऑप्शन क्या आ गया? सी वन वन भी दिख गया, 33 भी दिख गया, 31 भी दिख गया

और 2 3 भी दिख गया। तो इसमें दो प्रकार के क्वेश्चन आते हैं। एक आता है एडेड वाला और एक आता है रिमूवल वाला। अभी आगे जाकर रिमूवल वाला भी आएगा।

बहुत प्यारा क्वेश्चन है। सोचो, समझो, जानो। ये भी 11 से ही रिलेटेड है कहीं ना कहीं। क्योंकि यहां पर डोमेन और रेंज की बात हो रही है। लेकिन अब आप देख सकते हो

2022 में। अब आप मान के चल लो कि जो ऐसे टॉपिक जो पिछले साल से रिलेटेड है। तो वो पिछले साल वाले क्वेश्चन भी आपसे पूछेगा। ठीक है ना? उसके पास राइट है पूछने का। अब

x² + y² ये कल हमने 3D में भी देखा था ना यही बात। कल हम लोगों ने 3D में भी ये बात देखी थी। ठीक है ना मेरे प्यारे बच्चों?

कह रहे हैं x² + y² < = 4 आ गया। अब हमारा डोमेन क्या होता है? डोमेन होता है x की वैल्यू। रेंज होता है y की वैल्यू। आगे

वाला डोमेन होता है। पीछे वाला रेंज होता है। तो अगर मैं y² < = 4 - x² मैं x की

जगह ऐसे क्या नंबर पुट कर सकता हूं इंटीजर में से कि मेरा आंसर भी इंटीजर आए। मेरा x भी एक इंटीजर है और मेरा y भी एक इंटीजर

है। समझ रहे हो ना? समझ रहे हो ना? तो आपको

पता चल गया होगा कि सर मेरा आंसर तो बी है। ठीक है जी। कैसे बी है? वो भी बात कर लेते हैं। तो आंसर भी कैसे है कि अब देखो

आपको याद होगा -2 से 2 के बीच में शायद थोड़ी सी बात आपको समझ में आ गई होगी ऐसे वाली। ये आप लोगों ने 11 स्टैंडर्ड में

डोमेन और रेंज जानी थी। तो ऐसे चीजों की जो डोमेन आती थी वो ये आती थी -2 से 2 क्लोज ब्रैकेट। अब -2 से 2 के बीच में जितने भी

इंटीजर आते हैं वो सारे नाम लिख दो। -2 भी आता है, -1 भी आता है, ज़ीरो भी आता है, वन भी आता है और टू भी आता है। ये हमारा आंसर हो गया। अब देखो अगर मैं ये वाला आंसर

क्यों नहीं है? पहले ये भी जान लेते हैं। 0 1 2 क्यों नहीं है? क्योंकि भैया -1 भी पुट कर सकता हूं मैं। अगर मैं यहां पर -1 पुट करूंगा तो भी वो y² से छोटा ही रहेगा।

तीन आंसर आएगा। तो भी वो क्या रहेगा? छोटा

ही रहेगा ना? अगर मैं समझ रहे हो ना? बात

समझ रहे हो ना? तो मेरा आंसर क्या रहेगा?

छोटा ही रहेगा। तो कहीं ना कहीं आपको इंटीजर पुट करने हैं। ऐसे इंटीजर जहां पर वो एक उससे छोटा आए। बात समझ में आ गई?

बात समझ में आ गई? तो आपको ऐसे डोमेन बताने हैं। ऐसे डोमेन और x y दोनों क्या है? इंटीजर हैं। x y दोनों क्या है मेरे

है? इंटीजर हैं। x y दोनों क्या है मेरे प्यारे बच्चों? इंटीजर हैं। क्लियर हो गई

प्यारे बच्चों? इंटीजर हैं। क्लियर हो गई बात? क्लियर हो गई बात? या नहीं हुई बात?

बात? क्लियर हो गई बात? या नहीं हुई बात?

बोलो। नहीं हुई बात? बोल नहीं रहे बेटा। सही है? सही है।

सही है? सही है। सही है कि नहीं है?

बोलो बोलो। देखो अब यहां पर ना एक छोटा सा पॉइंट है जो बच्चे पूछ रहे हैं। वो क्या है? देखो

कि सर अगर आप x की जगह इनमें से पुट करना शुरू कर दो। लेट्स से -2 पुट किया तो y की वैल्यू या तो छोटी आ जाए या बराबर आ जाए। छोटी भी आ सकती है। तो y की वैल्यू आ

जाएगी 4 - 4 यानी y की वैल्यू लेस दैन इक्व 0 आ गई। यानी जो y आ गया वो जीरो। ऐसे ही है ना? बोलो यार।

छोटा तो हो सकता है कि नहीं हो सकता?

अब देखो कई बच्चे नो जवाब दे रहे हैं। अब देखो इस छोटे से क्वेश्चन ने तुमको हिला दिया। छोटे से क्वेश्चन ने तुमको हिला दिया। बोलो भाई। अब मेरे y की वैल्यू अब देखो क्या है? क्या है? क्या है? क्वेश्चन

समझो। क्वेश्चन क्या कह रहा है? यहीं से

समझना शुरू करो। कह रहा है जो x² + y² < = 4 है। अब इनमें से मैं ऐसी क्या वैल्यू डालूं एक रिलेशन के अंदर इन सेट z z का

मतलब क्या होता है? x भी एक इंटीजर है और y भी एक इंटीजर होना चाहिए। देन डोमेन ऑफ़ r क्या होना चाहिए? डोमेन ऑफ़ r क्या होना

चाहिए? बोलो भैया।

चाहिए? बोलो भैया। बोलो डोमेन ऑफ़ r क्या होना चाहिए?

अब अगर मुझे डोमेन निकालना है तो x² < = 4 - x² पुट करना पड़ेगा। हां या ना? तो अगर

मैं -2 पुट करता हूं तो आंसर मेरा ज़ीरो आता है जो कि ठीक है। अगर मैं -1 पुट करता हूं तो भी तो ठीक है। अगर मैं ज़ीरो पुट

करता हूं तो भी टू आएगा तो भी ठीक है। और अगर मैं वन पुट करता हूं तो भी ठीक है। हां या ना? तो आंसर बी बनता है ना? हिट

एंड ट्रायल लगाओ ना। काहे दिमाग खर्च कर रहे हो? सही है जी। आगे बढ़ रहे हैं। बहुत

रहे हो? सही है जी। आगे बढ़ रहे हैं। बहुत बढ़िया। सबका सेटिस्फाइड होना बहुत जरूरी है ना। चलो आगे बढ़ेंगे। अब ये वही क्वेश्चन आ गया बेटा हमारा इक्विवेलेंस

रिलेशन। क्या आ गया बच्चों? इक्विवेलेंस।

कह रहे हैं लेट द रिलेशन r एक रिलेशन दे रखा है। ये भी इंटीजर पर है। ज़ीरो से लेकर 12 तक है। a - b इज़ मल्टीपल ऑफ़ फोर होना

चाहिए। a - b देन ये अच्छा इसका मतलब क्या है? इसका मतलब क्या है? इसका मतलब होता है

है? इसका मतलब क्या है? इसका मतलब होता है इक्विवेलेंस एलिमेंट निकालने हैं। इक्विवेलेंस क्लास निकालनी है। हर वो एलिमेंट जो वन से रिलेटेड होगा। मेरी बात

समझो। आप मुझे बताओ जब ये आपसे पूछ रहा है कि इक्विवेलेंस रिलेशन इक्विवेलेंस क्लास के बारे में पूछ रहा है तो ये ऑटोमेटिकली इक्विवेलेंस

रिलेशन तो होगा ही होगा। भाई जब मेरे से पूछ ही रहा है इसने मुझसे क्या पूछा है?

इसने मुझसे पूछा है कि इक्विवेलेंस क्लास बता दो जो वन के साथ रिलेटेड है। यानी

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 और 12 वन के साथ कौन-कौन रिश्ता बनाएगा?

वन एलिमेंट के साथ कौन-कौन रिश्ता बनाएगा?

और रिश्ता क्या है? ये रिश्ता क्या कहलाता है? कि उनका जो डिफरेंस है ना वो मल्टीपल

है? कि उनका जो डिफरेंस है ना वो मल्टीपल ऑफ़ फोर होना चाहिए। तो देखो अगर मैं वन को ज़ीरो के साथ जोड़ता हूं। 1 - 0 क्या

मल्टीपल ऑफ़ फोर आएगा? नहीं आएगा क्या? 1 -

1 1 - 1 1 - 1 क्या होता है? 1 - 1 होता है 0 और ज़ीरो जो है बेटा वो मल्टीपल ऑफ़ फोर है। ज़ीरो इज़ मल्टीपल ऑफ़ फोर। 1 - 2 नो

वन इज़ नॉट अ मल्टीपल ऑफ़ फोर। वन और थ्री डिफरेंस कितना आया? टू। वन और फोर डिफरेंस कितना आया? थ्री। लेकिन 1 और 5 डिफरेंस

कितना आया? थ्री। लेकिन 1 और 5 डिफरेंस कितना आया? फोर आया। 1 - 5 कितना आएगा?

कितना आया? फोर आया। 1 - 5 कितना आएगा?

फोर। क्योंकि मॉड्यूलस है। तो ये भी क्या आया? इज मल्टीपल ऑफ फोर आ गया। ऐसे ही

आया? इज मल्टीपल ऑफ फोर आ गया। ऐसे ही कॉमन सेंस लगा लो। वन और नाइन आ जाएगा और कोई भी नहीं है। तो क्या आया? वन आया,

फाइव आया और नाइन आया। तो आपने बस यही जवाब बताना होता है। ए ऑप्शन इज द राइट आंसर। हां जी। बोलो बोलो। मेरी बात समझो। मेरी

बात समझो कि इक्विवेलेंस क्लास का मतलब क्या है? अभी आगे जाके बड़े क्वेश्चन में

क्या है? अभी आगे जाके बड़े क्वेश्चन में भी आएगा तो आप फंस जाओगे ना। फिर इक्विवेलेंस क्लास का मतलब क्या होता है?

कि ये जो रिलेशन है पहली बात तो ये इक्विवेलेंस रिलेशन है। अब इक्विवेलेंस रिलेशन में बहुत सारे ऑर्डर्ड पेयर होंगे। हमको सिर्फ वही नंबर बताने हैं जो वन के

साथ ऑर्डर्ड पेयर बना रहे हैं। हमें वही नंबर बनाने हैं जो वन के साथ ऑर्डर्ड पेयर बनाने हैं। उस पूरे रिलेशन में वन वन भी दिखेगा मुझे। वन फाइव भी दिखेगा। वन 9 भी

दिखेगा। हो ही नहीं सकता कि वन सिक्स दिख जाए। हो ही नहीं। हो सकता है कि वन 12 दिख जाए। हो ही नहीं सकता वन 10 दिख जाए। क्योंकि वो मल्टीपल ऑफ़ फोर नहीं आ रहा

डिफरेंस। तो हमको सिर्फ ये तीन नंबर्स तीन ऑर्डर्ड पेयर दिखेंगे रिलेशन में। हमें बस वही नंबर बताने हैं। पांच एक और नौ। ये आ गया हमारा आंसर। आगे जाके और आएगा आगे बात

करेंगे। हां जी। ओके बेटा। आगे बढ़े। चलो। अब यहां पे देखो रिमूवल वाला आ गया भैया। पानी पऊंगा मैं। अब तुम रिमूव्ड वाला तुम करोगे। कह रहे हैं रिलेशन है 1 2 3 सेम आ

गया। वन वन है। 1 2 है। लिख देता हूं तुम्हारे लिए। 1 है, 1 2 है, 2 है और 33 है। कह रहे इनमें से क्या रिमूव करें कि

ये इक्विवेलेंस रिलेशन बन जाए? हर एक

बच्चा बता देगा भाई। नहीं बताया तो गलत है। हां जी। हम बट ज़ीरो भी मल्टीपल है। 1 - 0 तो मल्टीपल

नहीं है ना बेटा। 0 मल्टीपल नहीं बताना ना। 1 - 0 इज़ नॉट अ मल्टीपल ना। 1 - 1 0 आएगा। वह मल्टीपल है।

हां जी। इवेंट को लाइक किया नहीं किया? तो इसका

आंसर तो दूर से चमक रहा है भाई। इसको हटाना पड़ेगा। 1 2 को हटा दो। क्या बचेंगे? 1 2 33 तो ये स्मालेस्ट इक्विवेलेंशन बन जाएगा। तो आंसर

इज़ बी ऑप्शन। टाइम वेस्ट नहीं करेंगे। आगे बढ़ेंगे। S बी द सेट ऑफ़ ऑल पॉइंट इन अ प्लेन। एक प्लेन है। ये रहा प्लेन। इसके ऊपर एक

पॉइंट है। ये रहा। A पॉइंट आ गया। ठीक है जी। पूरे प्लेन पर हमने एक पॉइंट ले लिया। R एक ऐसा रिलेशन है सच दैट सच दैट सच दैट

फॉर एनी टू पॉइंट्स A एंड B A R से A B से कैसे रिलेटेड है? जो B है वो उसका

डिस्टेंस व विद इन 1 सें.मी. फ्रॉम A है। विद इन 1 सें.मी. फ्रॉम A है। तो यह B ले लिया ना तो इसका जो दूरी आएगी वह लेस दैन वन आएगी। वो लेस देन वन आएगी। ठीक है ना?

ऐसा कुछ है। अब आपको बताना है क्या ये इक्विवेलेंस है? रिफ्लेक्सिव एंड

इक्विवेलेंस है? रिफ्लेक्सिव एंड सिमिट्रिक बट नॉट ट्रांजिटिव। रिफ्लेक्सिव ट्रांजिटिव बट नॉट सिमिट्रिक रिफ्लेक्सिव सॉरी सिमिट्रिक ट्रांजिटिव बट नॉट रिफ्लेक्सिव। ये बताओ भाई क्या होगा?

ये बताना पड़ेगा। ये बताना पड़ेगा। अब अगर मैं बात करता हूं रिफ्लेक्सिव की। रिफ्लेक्सिव की तो आप मुझे बताओ पॉइंट A और A बिलोंग

करेगा रिलेशन को?

पॉइंट A और AA का डिस्टेंस कितना होगा?

जीरो नहीं होगा। AA का डिस्टेंस क्या होता है? ज़ीरो नहीं होगा। बोलो यार। कल पढ़ा था

है? ज़ीरो नहीं होगा। बोलो यार। कल पढ़ा था ना हम लोगों ने नल वेक्टर पढ़ा है ना? Aa

का डिस्टेंस कितना है? मैग्नीट्यूड कितना

है? ज़ीरो है। और ज़ीरो वन से छोटा होता है। तो भैया ये तो रिफ्लेक्सिव हो गया। बिल्कुल हो गया। अगर मैं बात करूं सिमिट्रिक की

कह रहे हैं कि A और B का जो रिश्ता है ये वन से छोटा है। A और B में जो दूरी है वो वन से छोटी है। तो B और A में भी तो दूरी

वन से छोटी होगी ना। A B अगर बिलोंग कर रहा है R को इसका मतलब है AB जो है वह वन से छोटा है। तो B AB तो वन से छोटा होगा।

इसका मतलब B AB बिलॉन्ग करेगा R को। करेगा कि नहीं करेगा? तो भैया यह सिमिट्रिक भी हो गया। ट्रांजिटिव पर आते हैं। मान लो A

और B की दूरी है 0.9 B और C की जो दूरी है वो है 0.

8 तो अब यहां पर इनकी दूरी तो वन से बड़ी हो

गई। हां या ना? AB की दूरी 9 है। BC की दूरी8 है। तो AC की दूरी तो वन से बड़ी हो गई। और अगर वो वन से बड़ी हो गई तो ये

ट्रांजिटिव नहीं होगा। तो भैया रिफ्लेक्सिव है सिमिट्रिक है बट नॉट ट्रांजिटिव। समझ में आ गया? मिक्स्ड आंसर

थे। मिक्स्ड आंसर थे बच्चों के। कई बच्चों को लग रहा था कि ये इक्विवेलेंस रिलेशन है। जबकि यह ट्रांजिटिव नहीं हो सकता। A और B की जो दूरी है वो 9 होती है। यानी AB

बिलोंग कर रहा है रिलेशन को। BC की दूरी भी वन से छोटी हो सकती है। दैट इज 0.8 लेकिन A और C की दूरी जो होगी उसका क्या

करोगे? हां।

करोगे? हां। अब सर अगर यह नॉन कोलिनियर हुए तो ठीक है। वो एक अलग केस है। मैथमेटिक्स 100% ट्रुथ

पर चलती है। कहीं कह रहा है कि सर अगर अगर ये a पॉइंट यहां है वैसे किसी ने बोला नहीं मैं खुद के मन से बना रहा हूं। और ये पॉइंट यहां है। मानो सर ये 0.9 है और ये

0.8 है तो हो सकता है ना सर ये 0.6 आ जाए। पॉसिबल है ना सर? हां ठीक है ठीक है लेकिन ये आधा सच है ये आधा सच है सर इस पे तो ये

ट्रांजिटिव हो रहा है मैंने क्या बोला कोई एक एग्जांपल जिस पे ट्रांजिटिव ना हो रहा हो मैंने एक बता दिया आपको बाकी सब ध्वस्त हो जाएंगे बाकी सब ध्वस्त हो जाएंगे बात

समझ में आ गई बच्चा कह रहा है सर पॉइंट वन पॉइंट2 ले लेते मैं क्या कह रहा हूं यार मेरी बात नहीं समझ रहे ना आप ढूंढ रहे हो होने वाले मैं बता रहा हूं ना होने वाले

जीतता कौन है ना होने वाला क्योंकि अगर मैंने एक भी ढूंढ दिया आपको हर हर बारी देखो ना आपको जीतने के लिए ना हर बारी ट्रू होना पड़ेगा और मुझे जीतने के लिए एक

बारी अगर मैंने प्रूफ कर दिया कि ये ट्रांजिटिव नहीं है तो मैं जीत गया। आप 100 बारी मुझे ऐसा एग्जांपल दे दो कि जहां ट्रांजिटिव है। मुझे एक एग्जांपल देना जहां ये ट्रांजिटिव नहीं है मैं जीत

जाऊंगा। समझ रहे हो? ये कहानी है। बोलो ना बच्चों। बोलो ना बच्चों। समझ में आ गई?

बच्चा कह रहा है रिफ्लेक्सिव समझा दो। बेटा a और a पॉइंट है। a और a पॉइंट है। a पॉइंट और a पॉइंट। Aa का डिस्टेंस क्या होता है? A के कोऑर्डिनेट है 1 2 चल अब

होता है? A के कोऑर्डिनेट है 1 2 चल अब बता aa का डिस्टेंस क्या होगा मेरी जान? 1

2 और 1 2 का डिस्टेंस क्या होगा? 1 - 1² + 2 - 2² देख बहुत ज्यादा टाइम लगा दिया हमने इस क्वेश्चन में। क्योंकि आपको समझाना है मुझे। तो आंसर आ गया ज़ीरो मेरी जान।

हां या ना? आंसर आ गया ज़ीरो। तो ज़ीरो तो वन से छोटा है ना। तो यह हमारा यह आंसर आएगा। चलो अब क्या बनाना है? यह क्वेश्चन

बहुत इंपॉर्टेंट है। हमारी एनसीआरटी के लास्ट में भी ऐसे क्वेश्चन बहुत सारे गिवन हैं। कह रहे हैं a दिया हुआ है 1 2 3 नंबर ऑफ इक्विवेलेंस रिलेशन बनाने हैं जिसके

अंदर 1 2 तो होना चाहिए। देखो 1 2 होना बहुत जरूरी है। सबसे पहली बात तो भैया ये तो होंगे ही होंगे ना। 1 भी होगा, 2 भी

होगा, 33 भी होगा। और अब तो ये कह रहा है 1 2 भी होना बहुत जरूरी है। अब तो ये कह रहा है 1 2 भी होना बहुत जरूरी है। मैं दो चार निकाल के रख लेता हूं। मुझे नहीं पता

क्या आंसर आएगा। आओ चेक करते हैं। ठीक है जी। अब मैं यहां पर ना और एलिमेंट पुट करता हूं। अगर अभी तक ये देखो रिफ्लेक्सिव चल रहा है। सिमिट्रिक प्रूफ करना है। तो

इसके लिए टू वन होना बहुत जरूरी है। तो एक तो यही बन गया। चेक कर सकते हो यह इक्विवेलेंस रिलेशन है। अच्छा जी। अब यह 1 2 के साथ 2 1 आया। अब

मैं कुछ और अपने मन से ऑर्डर्ड पेयर जोड़ता हूं। जैसे मैंने लेट्स से जोड़ा 2 3 तो मुझे 3 2 भी चाहिए। और अगर मैं ध्यान से देख पा रहा हूं। मैं

अगर ढंग से ध्यान से देख पा रहा हूं कि भैया अब जैसे यहां पर हम देख रहे हैं कि अ 1 2 है 2 3 है तो इक्विवेलेंस के लिए तो 1

3 भी चाहिए। तो यहां पर 1 3 बनाऊंगा तो मुझे 3 ये तो पूरा ही आ गया। यह तो पूरा का पूरा a क्रॉस a ही आ गया। तो यानी इनकी तो नीड पड़ी ही नहीं पड़ी।

इनकी तो नीड पड़ी ही नहीं पड़ी। देखो हमने स्मालेस्ट इक्विवेलेंस हमने स्मालेस्ट इक्विवेलेंस रिलेशन की तो बात कर ली। लेकिन अगर आपको मैं बोलूं कि a है 1 2 3

मेरी बात समझो। मेरी बात समझो। तो सबसे सबसे बड़ा बिगेस्ट बिगेस्ट स्मालेस्ट तो हो गया। बिगेस्ट इक्विवेलेंस रिलेशन क्या होगा? आप बता

सकते हो। सबसे बड़ा इक्विवेलेंस रिलेशनशिप क्या होगा? इक्विवेलेंस रिलेशन क्या होगा?

क्या होगा? इक्विवेलेंस रिलेशन क्या होगा?

अरे आई नो दैट कि आंसर बी आ चुका है यार। दो आंसर आ गए। ठीक है। अगले मुद्दे पर आ चुका हूं मैं। तो अब मैं क्या कह रहा हूं?

स्मालेस्ट इक्विवेलेंस रिलेशन आपने बता लिया 1 2 33। सबसे बड़ा इक्विवेलेंस रिलेशनशिप कौन सा होता है? हां, बहुत

बढ़िया सर। फिर इसका आंसर आएगा a क्रॉस a इसका आंसर क्या आएगा सर? a क्रॉस a आएगा। इसका आंसर आ जाएगा सर जी a क्रॉस a तो ये तो a क्रॉस a आ गया। इससे बड़ा तो कोई है

ही नहीं। इससे छोटा हो ही नहीं सकता। इससे बड़ा कोई है नहीं। तो एक आंसर ये आ गया। एक आंसर ये आ गया। देखो आपको ना ये भी समझ में आना चाहिए कि हमको कहां रुकना है। समझ

रहे हो? इसके आगे अब नहीं जा सकता।

रहे हो? इसके आगे अब नहीं जा सकता। समझ में आ रहा है?

समझ में आ रहा है ना? ग्रोथ हो रही है ना?

फायदा हो रहा है ना इस लेक्चर से? तीन

हर्ड देकर संबोधित करो अगर यस है तो फायदा हो रहा है कि नहीं हो रहा? मजा आ रहा है कि नहीं आ रहा? लग रहा है कि कुछ पढ़ रहे हो या सिर्फ टाइम वेस्ट हो रहा है?

क्योंकि मैं बहुत कम बातें करता हूं बीच में कि ताकि हमारा ज्यादा से ज्यादा ध्यान ना पढ़ाई पर ही रहे। मैं बहुत ज्यादा आपकी

भाषा में वो नहीं करता हूं। है ना? मैं

चाहता हूं कि हम पढ़ाई करें। बढ़िया जी। आगे देखेंगे जी। अब आते हैं हमारे सब्जेक्टिव क्वेश्चन। अब दिस इज द

ओजी क्वेश्चन। ऑल इंडिया 2024 में आया। a < b वाला a < = b² b वाला। यह वाला भी नहीं छोड़ेंगे। यह वाला हमारी एनसीईआरटी

में है। यह वाला आप होमवर्क कर लेंगे। आपको शो करना है मेरी बच्चों। इधर आओ। मैं तुमको एक बात बताता हूं। अब अब आया बात करने का वक्त आया। बात ऐसी बात जो हमारी

पढ़ाई से रिलेटेड है। अब ना दो प्रकार के क्वेश्चन आते हैं हमारे चाहे वो रिलेशन हो चाहे वो फंक्शन हो। पहला आता है चेक करना

कि चेक करो कि ये रिफ्लेक्सिव है या नहीं। सिमिट्रिक है या नहीं, ट्रांजिटिव है या नहीं। पांच सात दिन बचे हैं। तुम्हारी दुआओं में असर होगा। मंदिर, गिरजागर,

गुरुद्वारा, चर्च जहां पर भी, मस्जिद जहां पर भी जाते हो तुम लोग अपनी प्रेयर करने, माता-पिता से के आशीर्वाद लेकर एक प्रेयर करना कि यह वाला तो ना आए। चेक करने वाला

कि चेक करो और बताओ यह रिफ्लेक्सिव है, सिमिट्रिक है, ट्रांजिटिव है। एस दूसरे वाला आ जाए जहां पे बता दे शो करो। शो करो कि यह ना तो रिफ्लेक्सिव है ना

सिमिट्रिक है ना ट्रांजिटिव है। भाई साहब अब तो मेरे को अपना ब्रेन आधा ही खर्च करना है। मुझे पहले ही बता दिया कि ये क्वेश्चन रिफ्लेक्सिव नहीं है। तो मुझे उसी टेंजेंट पे सोचना है। पहले मुझे दो

टेंजेंट पे सोचना पड़ रहा है या नहीं है। और अगर मैंने गलती से लिख दिया नहीं और वो हुआ तो और अगर मैंने गलती से लिख दिया नहीं है और वो नहीं हुआ तो। समझ रहे हो ना? तो वहां कंफ्यूजन है। जबकि ऐसे

ना? तो वहां कंफ्यूजन है। जबकि ऐसे क्वेश्चन एक्सिस्ट करते हैं और हम करने वाले हैं अभी। लेकिन दुआ करना कि यह क्वेश्चन आ जाए कि शो वाले। अब देखो मुझे शो करना है कि यह रिफ्लेक्सिव नहीं है। यह

सिमिट्रिक नहीं है। ये ट्रांजिटिव नहीं है। तो जब भी आपको शो करना है कि ये कोई चीज नहीं है तो यू नीड ओनली वन डैम एग्जांपल। आपको सिर्फ और सिर्फ एक डैम

एग्जांपल चाहिए। हां, माता रानी का आशीर्वाद बोलते हैं उसको। कि अगर ऐसा क्वेश्चन आ जाए यह माता रानी का आशीर्वाद है। मेरे पेड बैच वाले बच्चे होंगे या मैराथ वो वन शॉट वाले बच्चे होंगे। वेकअप

वाले बच्चे होंगे। तो ये आता है भैया कहता है कि आधा काम इसने अंकल कर दिया। अब मुझे शो करना है कि ये रिफ्लेक्सिव नहीं है। तो मुझे एक एग्जांपल दे देना है पूरे

ब्रह्मांड में से जो इस बात को डिसटिस्फाई कर रहा हो। और अगर वह रिफ्लेक्सिव है तो मुझे एक जनरल तरीके से उसको सॉल्व करना पड़ेगा। मैं अभी दोनों की प्रेजेंटेशन

आपको सिखाऊं। चलो सबसे पहले तो यहां पर लिखना है फॉर फॉर रिफ्लेक्सिव। अब रिफ्लेक्सिव की कंडीशन सबसे पहले लिख देना। मार्क्स हैं बेटा ओएसएम चल रहा है आजकल पता ही है। तो स्टेप मार्किंग है तो

स्टेप में ये बहुत इंपॉर्टेंट होगा। ठीक है ना? क्या लिखना है कि a ए बिलोंग्स टू

है ना? क्या लिखना है कि a ए बिलोंग्स टू r फॉर ऑल a बिलोंग्स टू ये रियल नंबर पर आ रहा है। तो यहां पर रियल नंबर लिख देंगे।

ठीक है जी। और ऐसे ओ हो हो और ऐसे इसको आप मार्क कर लेना वहां पर अंडरलाइन कर देना कुछ कर देना सही है जी अब यहां पर देखो कि

टू टू डू नॉट बिलोंग्स टू R बिकॉज़ एक एग्जांपल दे दिया 2 बिलोंग कर रहा है। अच्छा बताओ अब बताओ टू टू बिलॉन्ग कर रहा है। हां सर टू टू तो बिलोंग कर रहा है। आप

क्या मजाक कर रहे हो? टू टू बिलोंग करेगा। टू जो है वो टू के स्क्वायर से छोटा है। लेकिन थोड़ा रैशन सोचोगे ना।

यह बिलोंग नहीं करेगा। 1/2 1/2 डू नॉट बिलोंग्स टू R. सही है? जी। अब जैसे बिकॉज़

बताएंगे हम देखो। बिकॉज़ 1/2 जो होता है वो बड़ा होता है 1/2 के स्क्वायर से। तो देयरफ़

देयरफ़ 1/2 1/2 डू नॉट बिलोंग्स टू R हेंस R इज़ हेंस R इज़ नॉट रिफ्लेक्सिव।

R रिफ्लेक्सिव नहीं है। सही है जी। चाहे यह बात मत लिखना। यहीं पर यहीं से शुरू कर दो एज। ठीक है ना? फिर आता है फॉर सिमिट्रिक।

सिमिट्रिक की बात करूं तो अनगिनत एग्जांपल है। पहले तो कंडीशन लिखेंगे कि अगर AB बिलोंग कर रहा है R को तो इंप्ल्लाई दैट

इंप्ल्लाई दैट तो BA भी करना चाहिए बिलोंग्स टू R। तो BA भी R को बिलोंग करना

चाहिए। तो भैया जैसे अभी आप लोगों ने कहा जैसे 1 2 जो है

1 2 जो है 1 2 बिलोंग कर रहा है r को

बिकॉज़ 1 इज लेस < 2² 1 < 2² बट बट टू जो है टू जो है वो तो बड़ा है वन के

स्क्वायर से व्हिच इंप्ल्लाई 2 1 जो है वो बिलोंग नहीं कर कर रहा है R को तो कोई भी मैं क्या कह रहा हूं कोई भी एक एग्जांपल

दे दो यार आपके दिमाग में ना अनगिनत एग्जांपल होंगे अभी यहां पर तो R इज़ नॉट ट्रांजिटिव सॉरी सिमिट्रिक

तो यहां पर आप ये एग्जांपल याद भी करके जा सकते हो ये तीन क्वेश्चंस के तो एटलीस्ट याद कर लो फिर आते हैं ट्रांजिटिव अब ट्रांजिटिव की कंडीशन आप पहले लिखोगे

ट्रांजिटिव की कंडीशन लिखोगे मेरे प्यारे प्यारे बच्चों क्या कह रहे हैं कि अगर AB बिलोंग कर रहा है, BC बिलोंग कर रहा है तो

AC भी बिलोंग करेगा। इसका एग्जांपल है कोई दिमाग में आपके? बोलो मेरे प्यारे बच्चों। इसका कोई एग्जांपल है आपके दिमाग में?

5 4 2 कह रहे हैं। जी। कह रहे हैं 5 4 और 2। चेक करते हैं भैया मुझे नहीं पता। तो पहले चेक करते हैं भैया। 5 4 बिलोंग्स टू

R π 4 बिलोंग्स टू R बिकॉज़ बिकॉज़ जो 5 है वो लेस देन 4 का स्क्वायर है।

ट्रू हो गई बात। फिर 4 2 बिलोंग्स टू R बिकॉज़ जो फोर है वो बराबर है टू के स्क्वायर से। बराबर भी तो चलेगा ना। बराबर भी तो चलेगा

ना। बट बट 52 डू नॉट बिलोंग्स टू R एज फाइव जो है वो बड़ा है टू के स्क्वायर से फोर से बड़ा है

वो बिल्कुल सही बात है तो देयर फॉर 5 2 तो देयर फॉर R इज़ नॉट ट्रांजिटिव R इज़ नॉट ट्रांजिटिव तो ये भी ट्रांजिटिव नहीं है।

तो कोई भी एग्जांपल दे दो। हां जो भी आपको अच्छा लग रहा है एग्जांपल वो आप क्रिएट कर लेना और उसको याद करके पेपर में चले जाना। मेरा मानना यह है कि वहां पर बैठकर बनाओगे

तो टाइम वेस्ट होगा। मैंने आपको तीन इंपॉर्टेंट क्वेश्चन बता दिए हैं। a², यह वाला, b वाला और b वाला। एक b² वाला

है। तो लीनियर, क्वाड्रेटिक, क्यूबिक तीनों बड़े इंपॉर्टेंट है। कोई पेपर में आ सकता है। ठीक है जी। पावर फोर आ गई तो ऐसे ही करना है सेम काम। क्लियर है? जी। आगे

बढ़ेंगे। जी। नेक्स्ट क्वेश्चन पर आ गए। अब ये देखो। ये ऑल इंडिया 204 में एक ये भी क्वेश्चन आया था। तो बच्चे कह रहे हैं p / q करो py q भरे पड़े हैं बेटा आज भी ना

प्रूव दैट द रिलेशन अब देखो हाय माता रानी प्रूव दैट द रिलेशन दिस इज़ एन इक्विवेलेंट मुझे पता है कि ये रिफ्लेक्सिव भी है ये सिमिट्रिक भी है ट्रांजिटिव भी है बट अब

मैं यहां एग्जांपल नहीं दे सकता हूं अब मुझे यहां जनरल तरीका ही अप्लाई करना पड़ेगा एग्जांपल दिया तो मैं फंस जाऊं क्योंकि टीचर बोलेगा कि भैया तुम इस पे ये वाले एग्जांपल पे तो ओके आ रहा है लेकिन

क्या पता किसी पे ना आ रहा हो। तो एक जनरल फॉर्मेट देना है आपको। क्या देना है? एक

जनरल फॉर्मेट देना है। चलो भैया सबसे पहले फॉर रिफ्लेक्सिव। ठीक है ना यार? अब बार-बार एक कंडीशन तो नहीं लिखूंगा। आप यहां लिख लेंगे। फॉर

रिफ्लेक्सिव। अब यहां ab की बात हो रही है। ab की बात हो रही है। तो देखो a देखो

यहां पर आ गया। ab क्या है? 2 a + b है। ठीक है ना? अब देखो 2 डिवाइड्स a + b सिंस 2 डिवाइड्स

a + a दैट इज 2a हां या ना जो टू है वो a + a यानी 2a को डिवाइड कर देगा तो देयर

फॉर aa बिलॉन्ग करेगा r को फॉर ऑल a बिलोंग्स टू इंटीजर जितने भी इंटीजर होंगे वहां आप कोई भी इंटीजर रख दो आप कोई भी

इंटीजर रख दो उनको जोड़ोगे तो सेम इंटीजर को जोड़के वह हमेशा इवन नंबर बन जाता है। इवन इवन भी इवन होता है। ऑड ऑड भी इवन होता है। ठीक है ना? तो अब यहां पर ये a

2a आ जाएगा 2a 2a को आराम से डिवाइड कर देगा। तो ये a ए बिलॉन्ग करेगा R को। इतना ही लिखना है भाई और कुछ ज्यादा लिखने की नीड नहीं होती। फिर आता है भैया फॉर

सिमिट्रिक की बात करेंगे। फॉर सिमिट्रिक का मतलब है पूरा ढंग से लिखेंगे। सिंस ab बिलोंग्स टू r अब इसका

मतलब क्या है? टू जो है वो डिवाइड कर देगा a + b को इसका मतलब ये भी हो गया कि टू

आल्सो डिवाइड्स टू आल्सो डिवाइड्स b + a यस और नो तो देयर फॉर ba आल्सो बिलोंग्स टू r तो हमारा r क्या आ गया भैया?

सिमिट्रिक आया कि नहीं आया? हमारा r क्या आ गया भैया? सिमिट्रिक आया कि नहीं आया?

हमारा R क्या आ गया मेरे प्यारे बच्चों?

सिमिट्रिक आ गया। ट्रांजिटिव की भी घटना यही घटा देते हैं। फिर ट्रांजिटिव की घटना कैसे घटेगी? देखो देखो फॉर ट्रांजिटिव

कैसे घटेगी? देखो देखो फॉर ट्रांजिटिव फॉर ट्रांजिटिव

फॉर ट्रांजिटिव। अब देखो सिंस सिंस सिंस ab बिलोंग्स टू R

मींस मींस टू डिवाइड्स क्या है? 2 a + b 2 a + b यानी यानी मैं ऐसे कह सकता हूं कि a

+ b / 2 जो होगा वो k होगा वेयर k इज़ एनी इंटीजर हां या ना वेयर k इज एनी इंटीजर

बोलो ना यार होगा कि नहीं होगा कि नहीं होगा अब इसमें हमने यह देखा अब इसमें हमने यह देखा कि a + b जो हो जाएगा वह ट्वाइस

ऑफ k हो जाएगा यह इधर भी कर सकते थे। अच्छा जी। अब इधर आ जाओ। BC बिलोंग्स टू R

BC बिलोंग्स टू R। अब इसका मतलब क्या हो गया? कि B + C / 2 करूंगा तो मुझे R

गया? कि B + C / 2 करूंगा तो मुझे R मिलेगा। वो भी एक इंटीजर है। इसका मतलब क्या हो गया? कि जो B + C होगा बोलो यार।

जो B + C होगा वो क्या हो जाएगा? 2R हो

जाएगा कि नहीं हो जाएगा? B + C जो हो जाएगा वह 2R हो जाएगा कि नहीं हो जाएगा?

हां या ना? बोलो बोलो बोलो। राइटिंग फॉर्मेट यही है ना मेरी जान। बोलो बोलो यार। अरे यार तुम तो ब्रेक की बात पहले ही कर लेते हो। तुम्हें ब्रेक लेना

है बंद कर लो। ब्रेक ले लो यार। और क्या?

तुम्हें ब्रेक लेना है तो ले लो। ठीक है ना? अगर आपको ब्रेक लेना है तो वीडियो को बंद करो और ब्रेक ले लो। बाद में इच्छा होगी तो आकर देख लेना। नहीं तो जय राम जी की भाई। हम अभी पढ़ा रहे हैं। हम

नहीं रुकने वाले। ओके। कह रहे हैं रिफ्लेक्सिव वाला एक बारी रिपीट कर दो। 2 a + a है क्योंकि a बिलोंग करेगा ना। मान

लो 2 a + a तो दैट इज़ 2a को वो डिवाइड करेगा कि नहीं करेगा? 2a को वो डिवाइड करेगा कि नहीं करेगा? 2a a को ऐसे लिखना

है। ऐसे लिख दो। देखो सिंस a + a / 2 = a और ये हमारा क्या है बेटा? एक इंटीजर है और ये क्या है बेटा हमारा इंटीजर है फॉर

ऑल फॉर ऑल a बिलोंग्स टू जितने भी इंटीजर होंगे उस पर होगा तो हमारा r क्या हो गया यहां पर रिफ्लेक्सिव हो गया ऐसे भी कर सकते हो आप

ऐसे भी कर सकते हो बेटा ठीक है ना ओके अच्छा अब आ जाओ मेनम टॉपिक पर आ जाओ ट्रांजिटिव की बात करूंगा कह रहे हैं ab जो है ना वो बिलोंग करेगा r को

अगर ab r को बिलोंग कर रहा है तो ab a + b जो है ना वो टू आ जाएगा लिखा है ना टू 2 a + b तो a + b को 2 डिवाइड करके एक कांस्टेंट देगा जो कि इंटीजर हो। अब इसको

आप ऐसे लिखना चाहो ऐसे लिख लो या इसको आप ऐसे लिखना चाहो कि भैया a / 2 + b / 2 = k

आ गया। ऐसे भी लिख सकते हो आप। ऐसे भी लिख सकते हो आप। बात समझ में आ गई? ऐसे लिख

लिया आपने। ठीक है? अब या इसको ऐसे लिख छोड़ दिया। तो यहां पर आ गया जी हमारा a + b जो है वो 2k के बराबर आ गया। अब वो कह रहे हैं b c भी रिलेशन होगा। r में बिलोंग

करेगा। तो b + c / 2 क्या आ गया? r आ गया। वेयर r इज़ आल्सो एन इंटीजर। तो ये आ गया 2a अब मेरे पास ये पहली इक्वेशन आ गई। अब बताओ मैं क्या करूं? अब बताओ मैं क्या

करूं? इन दोनों का क्या किया जाए? अब बताओ

करूं? इन दोनों का क्या किया जाए? अब बताओ

इन दोनों का क्या किया जाए? बोलो भैया।

हां जी। अब आगे तो बताओ क्या किया जाए?

हम कह रहे हैं 1/4 1/2 से कैसे छोटा है? तो

भाई ऐसे तो मत करो यार। ऐसे तो मत करो यार। कह रहे हैं इन दोनों को सब्ट्रैक्ट कर लो। तो बेटा वो तो a - c आ जाएगा ना। वो तो a - c

आ जाएगा। लेकिन मुझे तो a + c चाहिए होगा ना। मुझे तो a + c चाहिए होगा। मुझे तो a + c चाहिए होगा। कह रहे हैं इनको सब्ट्रैक्ट कर दो बेटा। सब्ट्रैक्ट से तो

दिक्कत हो जाएगी ना मेरी जान। सबट्रैक्ट से तो बहुत बड़ी दिक्कत हो जाएगी। सबट्रैक्ट से तो दिक्कत हो जाएगी। ab अगर बिलोंग कर रहा है इसको एग्जांपल से तो नहीं दूंगा।

माइनस अगर मैं कर रहा हूं दोनों को सबट्रैक्ट करता हूं फर्स्ट एंड सेकंड को तो वह आता है a + b = 2k और b + c = लेट्स

से 2r तो सबट्रैक्ट करने पर तो तो दिक्कत आ रही है। सबट्रैक्ट करने पर तो दिक्कत आ रही है।

उम् 2k =

b = 2k - a हो गया और b = 2r - c हो गया तो 2k हां तो a - c आएगा यार a + c क्यों आएगा हां जी

a और c की वैल्यू b की टर्म्स में अगर मैं डालता हूं तो वह तो आ ही जाएगा मतलब a - c = 2k + r आ गया यहां

यहां पर आ गया। तो या तो मैं क्या करूं? a

- c निकालूं यहां से। अब देखो अब मैं a + c की बात करता हूं अगर तो मेरे a की वैल्यू क्या आई यहां से? a की वैल्यू आई

2k - b और c की वैल्यू क्या आई? 2r - b.

यही आई बेटा। यही आई। और a + c = 2k + 2r - 2b आई। 2 कॉमन आ रहा है। तो a + c / 2

जो आ गया वो k + r - b आ गया। ये भी रिलेशन था। हां तो हो गया ना? तो यहां से ये भी क्या आ गया भैया? हमारा एक इंटीजर आ

गया। तो देयर फॉर ac बिलोंग करेगा हमारा r को। AC बिलॉन्ग करेगा R को। तो हमारा R क्या आ गया भैया? ट्रांजिटिव आ गया। R क्या आ गया? ट्रांजिटिव आ गया। अब मुझे

किसकी बात निकालनी है बेटा? AC की बात निकालनी है ना? AC क्या किया मैंने? A + C किया। a की वैल्यू क्या है? यहां से a की

वैल्यू क्या है? 2k - b है। और यहां से c की वैल्यू क्या है बेटा? 2r - b है। मैंने दोनों की वैल्यू पुट कर दी। ये मैंने a की

वैल्यू पुट कर दी और ये मैंने c की वैल्यू पुट कर दी। 2k - b 2r - b 2k 2r 2b टू कॉमन नीचे डिवाइड हो गया। तो a + c / 2b

भी क्या आ रहा है बेटा? एक इंटीजर ही आ रहा है। देखो क्योंकि k भी एक इंटीजर था। R भी एक इंटीजर था और B भी क्या था बेटा?

एक इंटीजर था। तो यानी यानी A + C / 2 भी क्या आएगा बेटा? मेरा एक इंटीजर आएगा। तो A C भी हमारे रिलेशन में आ रहा है। तो R क्या बन गया बेटा? हमारा ट्रांजिटिव। R

क्या बन गया भैया? हमारा एक ट्रांजिटिव। रिपीट कर दिया बेटा। लो भाई। रिपीट कर दिया। अभी इक्विवेलेंस रिलेशन बचा है बेटा हमारा। हां जी। इक्विवेलेंस रिलेशन बचा है

हमारा। वो अभी हम बना रहे हैं कि तीन का इक्विवेलेंस क्लास बतानी है। अब तीन की इक्विवेलेंस क्लास निकालते हैं। देखो इक्विवेलेंस क्लास ऑफ़ तीन यानी मैं तीन को

किससे प्लस करूं कि मेरा आंसर जो है वो टू से डिविजिबल हो जाए। तो अगर मैं बात करता हूं मैं थ्री को मैं थ्री को 3 प्लस देखो शुरू करूंगा मैं इंटीजर से।

ऐसे तो माइनस में ही बहुत सारे हैं। तो मेरे को बहुत सारे आंसर मिलेंगे। मुझे बहुत सारे आंसर मिलने वाले हैं। तो अनगिनत आंसर आएगा। आल्सो डिटरमाइन इक्विवेलेंस क्लास ऑफ़ तीन। एक आंसर नहीं मिलेगा। बहुत

से आंसर मिलेंगे। पहले कुछ पॉजिटिव आंसर निकालते हैं। जैसे तीन को ज़ीरो में जोड़ो नहीं आएगा। तीन को एक में जोड़ो आ जाएगा। ठीक है ना? तो थ्री जो है वो वन से रिलेट

हो जाएगा। थ्री टू से रिलेट नहीं होगा। थ्री से हो जाएगा। फिर थ्री किससे रिलेट हो जाएगा? समझ पा रहे हो? a + b 2 से

हो जाएगा? समझ पा रहे हो? a + b 2 से डिविजिबल है। मैं अगर मैं अगर थ्री को 0 से जोड़ता हूं तो नहीं आता। थ्री को वन से जोड़ता हूं तो आ जाता है। थ्री को टू से

जोड़ता हूं तो नहीं आता। थ्री को थ्री से जोड़ता हूं तो आ जाता है। थ्री को फोर से जोड़ता हूं तो नहीं आता। थ्री को सिक्स से जोड़ता हूं तो आ जाता है। थ्री को से

अच्छा फाइव रह गया। थ्री को फाइव से जोड़ता हूं तो आ जाता है। आ जाता है कि नहीं आ जाता? थ्री को सिक्स से जोड़ता हूं तो नहीं आता। थ्री को से जोड़ जाता हूं तो

आ जाता है। तो सारे ओड इंटीजर आ जाएंगे। सारे के सारे ओड इंटीजर आ जाएंगे। सारे ऑड इंटीजर 1 3 5 7 9 और माइनस में भी आ

जाएंगे। तो यहां पर हम लिख देते हैं सेट ऑफ़ ऑल ऑल ऑड इंटीजर्स। सारे के सारे ऑड इंटीजर्स हमारा इक्विवेलेंस क्लास हो

जाएगी। वेरी गुड। वेरी गुड। शाबाश। शाबाश। सारे के सारे ऑड इंटीजर सही है जी सारे के सारे ऑड इंटीजर अब इसमें 10 क्वेश्चन आ जाए 50 क्वेश्चन आ

जाए फार्मूला हमारा वही लगता रहेगा अब इसमें केस स्टडी भी बना लो तो घबराना नहीं है कांसेप्ट अगर आपका शार्प है तो आप ऐसे 50 क्वेश्चन कर लोगे और अभी काफी सारे

क्वेश्चन तो हम करने वाले हैं। जैसे और क्वेश्चन देखो ये वाला क्वेश्चन ये वाला क्वेश्चन है। क्या कह रहा है जी? कह रहे

हैं अ रिलेशन r इज डिफाइंड nस n यानी नेचुरल टू नेचुरल है। रिलेशन दिया हुआ है बेटा हमको नेचुरल टू नेचुरल वेयर n इज द

सेट ऑफ ऑल नेचुरल नंबर ab रिलेटेड cd देखो यहां पर ना दो ऑर्डर्ड पेयर आपस में रिलेटेड है। ab जो है वो रिलेटेड है cd

से। कैसे है? कि a - c जो होगा वो b - d के बराबर। a - c जो होगा वो b - d के बराबर होना चाहिए। फिर वही माता रानी का आशीर्वाद आ गया। शो करना है कि ये

इक्विवेलेंस रिलेशन है। आओ देखो फिर वही बात फॉर अगर मैं रिफ्लेक्सिव की बात करूं तो पहले कंडीशन लिखेंगे बेटा। यहां पर एक

कंडीशन लिख लेंगे प्लीज। ठीक है जी। अब यहां पर देखो यहां पर देखना है। ab

क्या रिलेटेड है ab के? चेक करो। क्या ab रिलेटेड है ab के? ये मैं आपको दिखाने के लिए। तो a + a जो है वो b + b के बराबर

होगा। बोलो ab ab से रिलेटेड होगा। चेक करो चेक करो। कह रहे हैं a - c देखो a माइनस है ना? तो

ये ये ये देखोगे सिंस सिंस ऐसे लिखूंगा। ये अभी हटा दूंगा। आपको दिखा रहा हूं खाली। सिंस a - a जो होगा वो b - b के

बराबर होगा। यानी 0 = 0 0 = 0 तो देयर फॉर ab जो है वो रिलेट करेगा ab के साथ तो r

क्या आ गया भैया हमारा रिफ्लेक्सिव आ गया r क्या आ गया भैया बोलो रिफ्लेक्सिव आ गया r क्या आ गया रिफ्लेक्सिव आ गया

सिंपल सी बात थी चलो आगे बढ़ेंगे फिर हम बात करेंगे फॉर सिमिट्रिक की फॉर सिमिट्रिक की कंडीशन लिखेंगे पहले

यहां पर पूरी प्रॉपर। ये कह रहे हैं कि अगर ये सिमिट्रिक है तो AB जो है वो रिलेट

कर रहा होगा CD के। इसका मतलब है a - c b - d के बराबर है। a - c b - d के बराबर

है। अब इसका मतलब तो ये भी हुआ ना कि जो cd है वो रिलेट कर रहा है ab के एज एज c -

a भी तो d - b के बराबर होगा। बोलो मैं दोनों में से माइनस कॉमन ले लूं। ऐसे कर लो। चलो। अब ठीक है। अब ठीक है। देखो

इंप्लाई दैट माइनस कॉमन ले लिया। C - A माइनस कॉमन ले लिया D - B तो बेटा मेरा C - A D - B के बराबर आ गया। इसका मतलब है

जो CD है वो रिलेट कर जाएगा AB से। देखो ना C - A D - B तो हमारा R क्या हो गया?

सिमिट्रिक हो गया। बोलो बच्चों क्लियर हो रही है बात? यस और नो। क्लियर हो रही है बात? यस और नो। तीन हर्ट्स दे दो बेटा

बात? यस और नो। तीन हर्ट्स दे दो बेटा फटाफट से। तीन हर्ट्ज दे दो। बेटा देखो जो बच्चा सब्र से पढ़ेगा तीनों चैप्टर समझ में आएंगे। कोई कह रहा है ये छोड़ो आगे बढ़ो। क्यों छोड़ दूं? आगे बढ़ जाऊं। क्यों?

क्यों? आपको देखना बाद में आ जाना। मैं यहां पर उन बच्चों को पढ़ा रहा हूं जो सीरियस हैं। अपना काम बनता है। भाड़ में जाए जनता वाली बात नहीं है ना कि भैया मेयर को पढ़ाओ। बाकी को छोड़ो।

यहां पर आ गई भैया बात ट्रांजिटिव की। तो यहां पर ट्रांजिटिव की कंडीशन लगा देंगे। क्लियर है?

हां जी। कह रहे हैं ये हार्ड क्वेश्चन है। ये हार्ड है। तो बेटा ये क्या करोगे? ये तो

होमवर्क में देना है। ये वाले क्वेश्चन का क्या करोगे? अभी तो यह वाला क्वेश्चन आना

क्या करोगे? अभी तो यह वाला क्वेश्चन आना बाकी है। क्या करोगे? यह हार्ड है। तो अभी मैंने तो कुछ किया ही नहीं भाई। a - a b - b बराबर नहीं होंगे क्या यह दोनों ज़ीरो

नहीं होंगे तो क्या ab रिलेट नहीं कर रहा ab से तो a bb क्या ये रिलेट नहीं कर रहा बिल्कुल कर रहा है रिलेशन क्या है वो तो

समझो a - c b - d के बराबर होना चाहिए इधर बात करोगे अगर ये है अगर ये है इफ तो इसका मतलब यही हो गया ना कि a - c जो होगा वो b

- d के बराबर होगा मैंने इसमें से भी माइनस कॉमन ले लिया इसमें से भी माइनस कॉमन ले लिया तो मेरा C - A D - B के

बराबर आ गया। C - A D - B के बराबर आ गया। अगर ऐसा है तो CD रिलेट करेगा AB से। देखो C - A D - B के बराबर आ गया। तो ये

सिमिट्रिक भी है। चाहे वो AB कोई भी रिलेशन कोई भी क्या हो? नेचुरल नंबर हो। अब यही बात ट्रांजिटिव की करेंगे कि अगर

AB रिलेट कर रहा है CD से तो इसका मतलब क्या बताया था? A - C B - D के बराबर है।

अगर B CD जो है वो रिलेट कर रहा है अगले ऑर्डर्ड पेयर यानी मान लो EF से तो इसका

मतलब क्या आ गया? C - E जो है वो D - F के बराबर है। C - E D - F के बराबर है। ये पहली इक्वेशन ले लो। ये सेकंड ले लो और

दोनों को कर लो ऐड। अब जैसे ही मैं इसको ऐड करूंगा तो C से C कट जाएगा। a - E जो है वो B - F के बराबर आ जाएगा। इसका मतलब

हो गया कि जो AB है वो रिलेट कर गया EF से। हां या ना? तो देयर फॉर R जो आ गया हमारा वो ट्रांजिटिव भी आ गया। R

ट्रांजिटिव भी आ गया। दस दस जो रिलेशन आ गया वो एक इक्विवेलेंस रिलेशन आ गया। जो R आ गया वो एक इक्विवेलेंस रिलेशन आ गया।

सही है जी। यही शो करना था आपको। यही शो करना था। बोलो। क्लियर है बेटा? यह आ गया R जो आ गया हमारा एक इक्विवेलेंस रिलेशन आ गया। आज जो

हम रिलेशन एंड फंक्शन पढ़ रहे हैं ना इससे बाहर कोई क्वेश्चन नहीं बनते हैं। ठीक है जी। अभी तुम्हारा रिलेशन भी खत्म नहीं हुआ है बेटा। 1 1/2 घंटा हो गया। हमारा रिलेशन भी खत्म नहीं हुआ है। अभी बस अब वो खत्म

होने वाला है। क्योंकि जैसे ये वाला क्वेश्चन है। अभी हमने 2 a + b वाला देखा था। यह देखा था ना यह वाला। तो ये वाला आपका ये सेम क्वेश्चन है। तो यह वाला क्वेश्चन मैं आपको होमवर्क में देने वाला

हूं। यह वाला क्वेश्चन मैं आपको होमवर्क में देने वाला हूं। सेम प्रोसेस से यह वाला क्वेश्चन सॉल्व हो जाएगा। अभी जो मैंने किया अभी जो सेम क्वेश्चन मैंने

किया वो क्या था? AB रिलेटेड टू CD था। तो वो A - C था। यहां पे क्या आ रहा है? AD

और BC आओ ये वाला कर लेते हैं। एक ये वाला है। फिर एक ये वाला है। ये होमवर्क में दूंगा अभी मैं आपको और ये मैं आपको मैराथॉन वाले दिन पर भी कराऊंगा। ठीक है ना? चलो अब जैसे यह क्वेश्चन है। इसको

ना? चलो अब जैसे यह क्वेश्चन है। इसको दोबारा देख लेते हैं। इस जैसे क्वेश्चन को दोबारा देख लेते हैं। तो रिलेशन क्या कह रहा है कि AB रिलेटेड टू CD कब होगा? जब

AD का मल्टीप्लिकेशन BC के मल्टीप्लिकेशन के बराबर होगा। ठीक है जी। शो करना है कि R एक इक्विवेलेंस रिलेशन है और साथ में 26 की इक्विवेलेंस क्लासेस भी बतानी है।

इक्विवेलेंस क्लासेस भी बतानी है 26 की। सही है जी। बहुत बढ़िया। चलो। तो अब यहां पर अगर मैं बात करूं फॉर रिफ्लेक्सिव की

कंडीशन जरूर लिख दिया करो बच्चों वो बहुत जरूरी है। तो यहां पर जैसे ये आया ना अब देखो आप ऐसे एक बारी ये लिख लिया करो कि ताकि आपको क्लियर हो जाए कि एक्चुअल में

रिलेशन है क्या? ये आया CD तो हमें पता है इसको इससे मल्टीप्लाई करना है। इसको इससे करना है। लेकिन हम जो बात कर रहे हैं वो किसकी कर रहे हैं? रिफ्लेक्सिव की। तो

यहां CD तो नहीं आएगा। यहां आएगा AB ही आएगा। तो जो AB का मल्टीप्लिकेशन है वो BA के बराबर होगा। तो यहां से शुरू करो। सिंस

ये रफ वर्क में करो। सिंस AB जो है क्या वो BA के बराबर नहीं होता? A * B क्या B * A के बराबर नहीं होता? देखो कहां से बनाना

है? नेचुरल नंबर। फॉर ऑल AB बिलोंग्स टू

है? नेचुरल नंबर। फॉर ऑल AB बिलोंग्स टू नेचुरल नंबर। आप कोई भी दो नेचुरल नंबर सोच लो। ab और BA करो। तो आंसर सेम ही

आएगा। बिल्कुल सेम आएगा। तो इसका मतलब ये हो गया कि जो AB है वो रिलेट कर रहा है AB

से। तो दस R इज़ R इज़ रिफ्लेक्सिव। R रिफ्लेक्सिव हो गया। खत्म हो गई बात। R क्या हो गया? रिफ्लेक्सिव। इस बात को मैंने हटा दिया। अब इस बात को हटाने से

मेरे को हुआ क्या?

क्योंकि वह पहले नहीं लिख सकते ना। यहां से शुरू करेंगे। वह रफ में लिख दिया हमने। ओके जी। फिर आता है सिमिट्रिक।

सिमिट्रिक की कंडीशन सिमिट्रिक की कंडीशन सिमिट्रिक की क्या कंडीशन है बेटा हमारी देखो सिंस

क्वेश्चन कह रहा है या इफ इफ की बात करते हैं इफ AB रिलेट कर रहा है CD से। अब इसका

मतलब क्या है? कि जो AD है कि जो AD है वह BC के बराबर है। AD जो है वह BC के बराबर है।

तो तो अब मुझे बताओ अब मुझे बताओ तो CD भी तो रिलेट करेगा ना AB के फिर भी बात आ रही है देखो अब मैं इसको क्या लिख सकता हूं

क्या CB DA के बराबर नहीं होगा मैंने फिर इसको हटा दिया आप देख रहे हो ना कि मैं चालाकी भी कर रहा हूं साथ-साथ मुझे यह चाहिए मुझे यह चाहिए क्या यह आ रहा है हां

आ रहा है देखो BC को लिख सकता हूं CB और DA को AD को लिख सकता हूं DA ad को क्या लिख सकती हूं मैं DA तो अब मुझे दिख रहा है कि जो मेरा CB है वो DA के बराबर है।

अब मैं यहां लिख दूंगा देयर फॉर व्हिच इंप्ल्लाई कि जो मेरा CD है वो रिलेट कर रहा है AB को। तो इसका मतलब ये हो गया कि

R जो हो गया वो सिमिट्रिक हो गया। R मेरा सिमिट्रिक हो गया। अब बात कर लेते हैं ट्रांजिटिव की। बात कर लो मेरे प्यारे बच्चों ट्रांजिटिव की। बस खत्म होने वाला

है। अब ये रिलेशन खत्म होने वाला है आपका और हमारा फॉर ट्रांजिटिव। फॉर ट्रांजिटिव

ट्रांजिटिव की बात करोगे तो कंडीशन क्या थी कि भैया अगर AB रिलेट कर रहा है CD से

तो इसका मतलब ये हो गया कि जो AD है वो BC के बराबर है। ठीक? और अगर

ठीक? और अगर CD रिलेट कर रहा है EF के तो इसका मतलब है कि जो CF है वह DE के बराबर है।

हां या ना? बोलो भैया। हां या ना? हां या

ना? हां या ना? अब क्या मैं इसको देखो मैं यहां पर जो काम कर रहा हूं ना वही सेम काम आपको यहां पर भी करना है। इसलिए वो वाला क्वेश्चन मैं आपको होमवर्क में दे पाऊंगा। अब मेरी बात समझो। क्या मैं इसको ये लिख

सकता हूं? क्या मैं इसको ये लिख सकता हूं?

सकता हूं? क्या मैं इसको ये लिख सकता हूं?

देखना। a / b = c / d लिख सकता हूं कि

नहीं लिख सकता? a / b = c/ d बोलो।

इसके बाद P/ D = D/ F बोलो बोलो बोलो E / F E / F ये लिख सकता हूं। अब फ्रॉम फर्स्ट एंड

सेकंड फ्रॉम फ्रॉम फर्स्ट एंड सेकंड ये दोनों आपस में बराबर आ गए। तो A / B जो

है वो E / F के बराबर आ गया। यानी AF जो है वो BE के बराबर आ गया। जिसका मतलब ये हो गया कि जो AB है वो रिलेट कर जाएगा EF

के। तो R क्या आ गया भैया? हमारा

ट्रांजिटिव आ गया। R क्या आ गया भैया?

ट्रांजिटिव आ गया। R आ गया हमारा ट्रांजिटिव। R गया हमारा ट्रांजिटिव। अब ऐसे क्वेश्चन आपको देखने पड़ेंगे। कहीं आप सोचो कि भैया ये पेपर में नहीं आते।

तुम्हारे सामने छपा हुआ है। एक बारी नहीं आया। मल्टीपल टाइम्स आए हुए क्वेश्चन है। सीबीएसई के चहेते क्वेश्चन है। चाहे वो ये हो, चाहे वो ये हो, चाहे वो डिविज़िबल वाला हो, चाहे वो जो आने वाला क्वेश्चन है

होमवर्क में वो ये हो, चाहे वो ये वाला प्रकार का क्वेश्चन हो, सारे एक जैसे क्वेश्चन हैं। सारे एक जैसे क्वेश्चन हैं। समझ रहे हो ना? ये सारे एक जैसे क्वेश्चन

हैं। एक कर लो सारे हो जाते हैं। ट्रांजिटिव आ गया। अब? तो देयरफ़ दस

R इज़ एन इक्विवेलेंस रिलेशन। तो R क्या हो गया भैया? एक इक्विवेलेंस रिलेशन हो गया।

गया भैया? एक इक्विवेलेंस रिलेशन हो गया। R क्या हो गया भैया? एक इक्विवेलेंस

रिलेशन हो गया। सही है जी। अब फाइंड द इक्विवेलेंस क्लास ऑफ़ 26। 26 की इक्विवेलेंस क्लास निकाल लो। नेचुरल पे चल रहा है। अब देखो बहुत सारे नंबर हैं

क्योंकि हमें कुछ बता नहीं रखा। अब 26 किससे रिलेटेड होगा? देख रहे हो ना?

मल्टीप्लिकेशन प्रोसेस चल रहा है। अब यहां पर क्या करोगे आप ना? वन पुट करोगे। यहां पर आप क्या करोगे? वन पुट करोगे। अब देखो क्वेश्चन क्या कह रहा था? AD जो है

वह BC के मल्टीप्लाई के बराबर होगा। तो 6 * 1 करूंगा तो यहां पर थ्री डाल दूंगा तो ये मल्टीप्लिकेशन बराबर आएगी। 2 * 3 = 6 6

* 1 = 6 तो पहला एलिमेंट आ गया 1 3 चलो। यहां 2 6 रखो। फिर यहां टू रखोगे। यहां पे टू रखोगे। यहां पर सिक्स देखो। यह कितना आया? 12। यह भी कितना आया? 12। दूसरा

आया? 12। यह भी कितना आया? 12। दूसरा

एलिमेंट यह आ गया। यहां पर रखो 26 रिलेटेड टू तीन रखो। यहां पर तीन रखो। कितना आया? 18 यहां कितना आ गया भैया? नौ आ गया। यहां कितना आ गया? नौ

गया भैया? नौ आ गया। यहां कितना आ गया? नौ

आ गया। अभी समझ में आ जाएगा तुमको मैं क्या कह रहा हूं। फिर यहां पर 26 रखोगे। यहां पर चार रखो। कितना आ गया? 24। यहां

कितना आ गया भैया? 12। आपको नहीं लगता कि मैं यहां पर वन पुट कर रहा हूं। तो ये उसका तीन गुना आ रहा है। टू पुट कर रहा हूं तो तीन गुना आ रहा है। तीन पुट कर रहा हूं तो तीन गुना आ रहा है। चार पुट कर रहा हूं तो चार गुना आ रहा है। तो यानी

इक्विवेलेंस क्लास ऑफ़ 26 जो होगी वो ये हो सकती है। n और 3n हो सकती है। क्या हो सकती है? n और 3n हो सकती है। बोलो

सकती है? n और 3n हो सकती है। बोलो स्क्वायर वाला क्वेश्चन करा दिया। लेट आए हो बाबू तुम। बताओ भाई। n और 3n हो सकती है। यस और नो। यानी अगर मैं यहां पर

नेचुरल पुट कर रहा हूं तो वो तीन गुना नेचुरल है। यहां पर टू पुट कर रहा हूं तो वो तीन गुना है। यहां तीन पुट कर रहा हूं तो वो तीन गुना है। चार पुट कर रहा हूं तो वो तीन गुना है। पांच पुट करूंगा तो 15

आएगा। चेक कर लो। पांच में भी चेक कर लो। ये आया 26 अगर मैं यहां रिलेट कर रहा हूं पांच के साथ तो ये 6 * 5 = 30 होता है। तो यहां पर किससे मल्टीप्लाई करूंगा? 15 से

ही तो करूंगा। 15 से ही तो करूंगा। बोलो भैया 15 से ही तो करूंगा ना। तो इसका जो इक्विवेलेंस क्लास का मेरा आंसर आएगा वह आएगा n और 3n आएगा। n और 3n आएगा।

ब्रिलियंट क्वेश्चंस हैं। ये सारे क्वेश्चन बहुत अच्छे हैं। सारे ये वाला मैं आपको अब होमवर्क देना चाहूंगा और इसका अगला वाला भी मैं आपको होमवर्क देना

चाहूंगा। ये दोनों क्वेश्चन मेरे मैराथन वाले दिन आपको देखने को मिल जाएंगे। हां जी। ये दोनों क्वेश्चंस आपको मेरे मैराथॉन वाले दिन देखने को मिल जाएंगे।

सेवंथ को क्योंकि पार्ट वन सेवंथ को हो रहा है तो 7 तारीख की सुबह 10:00 बजे जो हमारी क्लास होगी वहां पर ये क्वेश्चन आपको देखने को मिल जाएंगे। ये मेरा जो ये दो क्वेश्चन है बाकी मैं कराऊं ना कराऊं

लेकिन ये वाला एक ये वाला और एक ये वाला तो मैं कराऊंगा ही कराऊंगा 10001% ठीक है जी ये मैं लेकर इसलिए आऊं कि ताकि मैं आपको होमवर्क दे पाऊं। चलो क्योंकि इस जैसे मैं अ कहीं करा चुका हूं। अब ये वाला

काम आप कर लो थोड़ा सा। बहुत देर हो गई। बहुत देर हो गई। सर रिलेशन में कितने क्वेश्चन बचे हैं? रिलेशन में बस इसके बाद एक और क्वेश्चन बचा है। दैट्स इट। खत्म

फिर रिलेशन खत्म हो जाएगा। बोलो जी यह वाला क्वेश्चन करो। हां जी। ठीक है ना? तो इक्विवेलेंस क्लास इज़ डैमेंट। उसको मत छोड़ना।

r बी द रिलेशन डिफाइंड ऑन द सेट नेचुरल नंबर n एज़ फॉलोज़। r दे रखा है यह 2x + y = 41 फाइंड द डोमेन एंड रेंज ऑफ द रिलेशन।

देखो सबसे पहले ना तो आप एक रिलेशन बता दो। ये आप निकाल लो। 2x + y = 41 है। तो इसके अंदर क्या गेम है? इसके अंदर क्या

गेम है? तो जो मेरा y आ जाएगा वो 41 - 2x

गेम है? तो जो मेरा y आ जाएगा वो 41 - 2x आ जाएगा। 41 - 2x आ जाएगा। अगर मैं x की जगह वन पुट करता हूं तो मेरा टू माइनस

करके यह 39 आ जाता है। मैं टू पुट करता हूं तो 4 माइनस हो जाएगा। समझ रहे हो ना? मैं टू पुट करूंगा तो 4

माइनस हो जाएगा तो 37 आ जाएगा। थ्री पुट करूंगा तो 35 आ जाएगा। देखो छ माइनस हो जाएगा। थ्री पुट करूंगा। फोर पुट करूंगा

तो 32 आ जाएगा। फाइव पुट करूंगा तो 30 आ जाएगा। सिक्स पुट करूंगा तो कितना आ जाएगा? 28 आ जाएगा। से पुट करूंगा 26 आ

जाएगा? 28 आ जाएगा। से पुट करूंगा 26 आ जाएगा। एट पुट करूंगा 24 आ जाएगा। नाइन

पुट करूंगा 22 आ जाएगा। 10 पर 20 10 पर कितना आ जाएगा बेटा? देखो 10 पुट करूंगा तो 21 आना चाहिए ना। कुछ गड़बड़ हुई है।

हां, यहां पे गड़बड़ हो गई। यहां पे गड़बड़ हो गई। यहां पे 33 आना चाहिए। दोद कम हो रहा है ना? 35 से कम करूंगा 33 आएगा। पांच पुट करूंगा यहां पर तो ये 31 आ

जाएगा। छह पुट करूंगा 29 आ जाएगा। सेवन पुट करूंगा 27 आ जाएगा। एट पुट करूंगा तो

25 आ जाएगा। फिर नाइन पुट करूंगा 23 आ जाएगा। 10 पर कितना है भैया? 21 और ये चलता रहेगा और ये चलता रहेगा। ठीक है जी।

कब तक? जब ये नेगेटिव बनना बनना हो जाए।

कब तक? जब ये नेगेटिव बनना बनना हो जाए। अब देखो अब 11 पुट करोगे तो यह 19 रहेगा आने वाला है बस अब वो समा ठीक है जी 12

पुट करोगे तो 17 आ जाएगा 13 पुट कर लो 13 पर कितना आ जाएगा 15 और 14 पे कितना आ

जाएगा 13 और 15 पर कितना आ जाएगा 10 16 पर कितना आ जाएगा भैया आठ यहां पे 16 पुट करूंगा ना तो 32 क्या

बचेगा आठ बचेगा समझ रहे हो ना फिर गलत कर दिया फिर गलत कर दिया सर आपने यहां 11 आएगा सर। फिर यहां पर 16 पुट करूंगा तो नौ

आएगा सर। और फिर अगर मैं 17 पुट करूंगा तो सर सात आएगा। और फिर 18 पुट करूंगा तो एक कम कर दो तो पांच आ जाएगा। फिर 19 पुट करूंगा तो यहां पर कितना आ जाएगा? तीन आ

जाएगा। और फिर लास्ट में अगर मैं 20 पुट करूंगा तो एक आ जाएगा। मैं 21 पुट नहीं कर सकता क्योंकि वो नेगेटिव जाना शुरू हो जाएगा। तो 20 और वन लास्ट है। तो यह बेटा

मेरा क्या बन गया? रिलेशन बन गया। पहले तो मैंने रिलेशन लिख दिया पॉइंट डोमेन और रेंज। अब आप डोमेन लिख लोगे या रेंज लिख लोगे। अब आप बता दो क्या यह रिफ्लेक्सिव है? सिमिट्रिक है या ट्रांजिटिव है? भाई

है? सिमिट्रिक है या ट्रांजिटिव है? भाई

मुझे तो नहीं दिख रहे ये। मुझे देखो 139 दिख गया लेकिन 39 1 कहीं नहीं दिखा। तो ये रिफ्लेक्सिव रिफ्लेक्सिव तो है ही नहीं। सिमिट्रिक भी नहीं है। और ट्रांजिटिव की बात करोगे अगर तो आप ढूंढ लो ट्रांजिटिव

अगर आपको कहीं ना कहीं नजर आ रहा है तो। बताओ भैया डोमेन आगे वाला आ जाएगा। रेंज पीछे वाला आ जाएगा। रिफ्लेक्सिव यह है नहीं, सिमिट्रिक यह है नहीं। ट्रांजिटिव

का बता दो। ट्रांजिटिव का बता दो। ट्रांजिटिव में ऐसा कोई एलिमेंट तुमको दिखाई दे रहा हो। इधर ट्रांजिटिव का ऐसा कोई एलिमेंट तुमको

दिखाई दे रहा हो। देखो 139 है लेकिन 39 से शुरू होने वाला कोई भी एलिमेंट नहीं है। थोड़ा बीच में आते हैं जैसे 629 है। 29 से शुरू होने वाला कोई भी एलिमेंट नहीं है।

फिर यहां पर आकर देखोगे 11 19 है। 19 से शुरू होने वाला कोई भी एलिमेंट मुझे दिख गया। ये दिख गया। 193 दिख गया। लेकिन 113 नहीं दिखा। लेकिन 113 नहीं दिखा। तो ये

ट्रांजिटिव नहीं है। सही है जी। सही है जी। ऐसे आ गया। जैसे बच्चा कह रहा है 12 17 दिख गया। 17 दिख गया लेकिन 12 और से नहीं दिखा तो ये ट्रांजिटिव नहीं होगा।

बहुत ही बढ़िया आ गया। मजा आ गया जी। चलो अब लास्ट क्वेश्चन कर लेते हैं। ये रिलेशन का लास्ट क्वेश्चन है। फिर हम आगे अपना फंक्शन वाले टॉपिक पर आ जाएंगे। बहुत ही

बढ़िया। चलो तो ये काफी हैवी पार्ट मैंने आज आपको समझा दिया है। ये काफी हैवी क्वेश्चंस है जो आज आप लोगों ने कर लिए हैं। सही है जी। चलो क्या कह रहा है? लेट

अ रिलेशन r इज द सेट ऑफ रियल नंबर। तो रियल टू रियल ये जा रहा है फंक्शन। मतलब ये रिलेशन जा रहा है आपका रियल टू रियल। बहुत बढ़िया। और कह रखा है ab बिलोंग्स टू

R इफ एंड ओनली इफ 1 + ab जो है वो ज़ीरो से बड़ा होना चाहिए। 1 + ab ज़ीरो से बड़ा होना चाहिए। फॉर ऑल AB बिलोंग्स टू R। अब चेक

करना है। ये चेक करना है। तो देखो तो सबसे पहले अगर मैं बात करूं रिफ्लेक्सिव की तो जो ये चेक करने वाले होते हैं ना ये इसका जो काम शुरू होता है सबसे पहले तो हमारे

मन से ये काम शुरू होगा। मैंने मन में सोचा। मैंने मन में यह रहा मेरा मन। ठीक है जी। मैंने मन में सोचा कि मैं aa पुट करता हूं। मुझे रिफ्लेक्सिव चेक करना है

ना। तो aa आना चाहिए। तो मैंने यहां पर 1 + aa पुट किया। तो ये 1 + a² हो गया बेटा। और अगर a² + 1 की बात करूंगा। ये हमेशा एक

पॉजिटिव क्वांटिटी है कि नहीं है? a²

इटसेल्फ पॉजिटिव क्वांटिटी। एडिंग वन क्रिएट्स मोर पॉजिटिव क्वांटिटी। तो ये तो हमेशा जीरो से बड़ा ही होगा और मुझे यही चेक करना था। तो भैया मैंने मन में संतुष्टि पूरी कर ली कि मैं a और b को कुछ

भी पुट करूं उसका स्क्वायर ही होना है। a और a का स्क्वायर होना है। तो ये रिफ्लेक्सिव तो हो गया। तो ध्यान से सुनना ध्यान से सुनना। 1 + वही बात यहां पे लिख

दो। aa लिख दिया। 1 + a² हो गया व्हिच इज़ ग्रेटर> 0। तो देयर फॉर aa बिलॉन्ग करेगा r को फॉर ऑल a जितने भी रियल नंबर्स हैं।

तो R हमारा यहां पर क्या हो गया?

रिफ्लेक्सिव हो गया। बहुत ही बढ़िया हो गया। सिमिट्रिक की तो बात ही नहीं है भैया। सिमिट्रिक तो बहुत ही आसान है यार इस क्वेश्चन का। अगर ab होगा तो ba तो

होगा ही होगा ना। कह रहे हैं कि अगर ab बिलॉन्ग कर रहा है r को। तो इसका मतलब है 1 + ab जो है वो ज़ीरो से बड़ा होगा ही

होगा। अगर ab r में घुसा हुआ है तो 1 + ab तो ज़ीरो से बड़ा होगा। तो इसका मतलब है 1 + bab जो है वो 0 से बड़ा होगा। हां या

ना? अब 1 + ba 0 से बड़ा है तो इसका मतलब

ना? अब 1 + ba 0 से बड़ा है तो इसका मतलब ये हो गया कि baba भी बिलोंग करेगा r को। तो r हमारा क्या हो गया भैया? सिमिट्रिक।

चलो अब मेरे प्यारे बच्चों तुम ये बताओ क्या ये ट्रांजिटिव है या नहीं है? मैंने

बहुत देर हो गई। तुमको कोई सवाल नहीं दिया। क्या ये ट्रांजिटिव है या नहीं है?

यस या नो। ट्रांजिटिव की बात करो। क्या यह ट्रांजिटिव है या नहीं है? देखो भैया झूठ क्यों बोलूं? मैंने तो याद किया हुआ है

क्यों बोलूं? मैंने तो याद किया हुआ है क्योंकि मैंने अपने जीवन में यह क्वेश्चन कई बारी सॉल्व कर लिया। ठीक है ना? तो मैं

तो छूटते ही जवाब बता दूंगा कि ये है या नहीं है? तुम बताओ क्या ये ट्रांजिटिव है

नहीं है? तुम बताओ क्या ये ट्रांजिटिव है मेरी जान? अगर आप गलत निकले तो आपको सॉरी

मेरी जान? अगर आप गलत निकले तो आपको सॉरी बोलना पड़ेगा ना फिर। आप बहुत क्यूट हो। क्यूट। अबे सी यू ईटी को क्यूट बोल रहे हो। क्यूट की स्पेलिंग

सी यू टी ई होती है बेटा। यह सी यू ईटी है जिसका क्रैश कोर्स ल्च हो चुका है। ठीक है जी। लिंक कमेंट में पिन हो रखा है। हां देखो अब कुछ बच्चे कह रहे हैं यस। कुछ

बच्चे कह रहे हैं नो। तो मेरा आंसर जो है ना बेटा वो इसके अंदर है कि नो। ठीक है जी। अब देखो

मैं लेट करता हूं a को 1 ले लिया और b को ले लिया -1 / 2

तो अब मैं 1 + ab निकाल रहा हूं 1 + ab जो कि ज़ीरो से बड़ी आ रही है। चेक कर लो। 1 -

1 / 0 से बड़ा आएगा। तो यानी 1 -1 / r को बिलोंग कर रहा है। अच्छा जी। नाउ अगर मैं -1 / 2 और 2 को ले लूं तो या सॉरी

सॉरी -2 को ले लेते हैं ना तभी तो नेगेटिव नेगेटिव पॉज़िटिव बनेगा। तो मेरा 1 + -1 /

और -2 सॉल्व करूंगा तो ये 1 + 1 2 बनेगा और टू जो है वो 0 से बड़ा है। तो -1 / 2

और -2 भी r को बिलोंग कर रहा है। बट बट अगर मैं गौर से देखूंगा ना 1 -2

ये बिलोंग नहीं करेगा आर को। बिकॉज़ 1 + 1 -2 जो है वो सॉल्व करके -1 आता है व्हिच इज़ लेस < 0 तो जो हमारा R है वो

ट्रांजिटिव नहीं होगा। R जो है वो ट्रांजिटिव नहीं होगा। तो ये वाली जो पावर है ना ये आपको डेवलप करनी पड़ती है। मुझे पता है कि यार मुझे पता है कि कई बच्चे

बोलेंगे सर ये तो आपने याद कर लिया। बेटा मैंने याद किया नहीं। मुझे याद हो गया। दो बातों में अंतर है। पहली बात तो दूसरा सर मुझे पेपर में कैसे पता चलेगा कि यार ये

है या नहीं है? तो अब इसका जवाब हर एक टीचर एक ही देता है कि बेटा प्रैक्टिस कर लोगे तो हो जाएगा और बच्चों को लगता है कि यार टाल रहा है। जबकि नहीं इसका जवाब ही यही है। जितनी बारी आप ट्रेन करोगे ना

अपने ब्रेन को ऐसे क्वेश्चंस करने के लिए उतना ही वो जागरूक हो जाएगा कि कब मुझे क्या करना और कब मुझे क्या नहीं करना। तो सोचने की क्षमता बढ़ानी पड़ेगी। वो बढ़ेगी

तभी जब आप प्रैक्टिस करेंगे। तो अभी मेरे पास ऐसे कुछ नहीं है कि बेटा ऐसे कर लो तो ऐसे हो जाएगा। वैसे कर लो तो वैसे हो जाएगा। ऐसा मेरे पास कुछ भी नहीं है। ठीक है ना? चलो चलो चलो समझ में आ गई बात? समझ

है ना? चलो चलो चलो समझ में आ गई बात? समझ

में आ गई बात? तो ये बहुत इंपॉर्टेंट क्वेश्चन है। और जो क्वेश्चन सीबीएसई पेपर में आ गया जैसे इस बारी 10थ के पेपर में भी देखा गया सीबीएसई सेल पेपर इस साल वाला नहीं लेकिन प्रीवियस या प्रीवियस से

प्रीवियस वो क्वेश्चन इंपॉर्टेंट हो जाते हैं या कंपार्टमेंट वाला क्वेश्चन इंपॉर्टेंट हो जाते हैं। तो ये भी कंपार्टमेंट में भी आया होगा। चलो जी। तो हमारा अभी आज की पूरी क्लास का एक छोटा सा

अध्याय खत्म हुआ रिलेशन। लेकिन ध्यान रखना रिलेशन ज्यादा इंपॉर्टेंट है फंक्शन से। ऐसा मैं मानता हूं। पास्ट में अगर 10 बारी पेपरों में

क्वेश्चन आया है तो छह बारी रिलेशन का है। छह या सात बारी फंक्शन का दो या चार बारी आया है। ठीक है जी। तीन या चार बारी। चलो भैया। यहां तक क्लियर हो गया। अब ब्रेक

नहीं बनता। इस टॉपिक के बाद ब्रेक बनेगा। इस टॉपिक के बाद ब्रेक बनेगा। अभी नहीं बनेगा। ठीक है ना? ब्रेक बनेगा। जो मैंने बोल दिया वो बोल दिया। एक बार जो मैंने कमिटमेंट कर दी उसके बाद तो मैं अपने आप

की भी नहीं सुनता। और कल तुमने बेटा वो मीम बना दिया ना? मेरे हाथों में नौ नौ चूड़ियां हैं। हैं? बना दिया ना तुमने। गलत किया बेटा। चलो।

हां जी। क्लियर है? फंक्शन पर आते हैं। फंक्शन पर आते हैं। तीन हर्ट दो भाई। फंक्शन पर आओ और इवेंट को लाइक करो। फटाफट से। सबसे पहले तो

पीपीटी सेव कर लो। इवेंट को लाइक करो। इवेंट को लाइक करो सबसे पहले और सारे बच्चे कमेंट में

तीन हर्ट्स देंगे। सारे बच्चे कमेंट्स में तीन हर्ट देंगे। इवेंट को लाइक नहीं कर रखा तुमने यार। बहुत खराब बात है। इवेंट को लाइक करना बहुत ज्यादा जरूरी है। बहुत ज्यादा जरूरी

है इवेंट को लाइक करना। इवेंट को लाइक करो मेरे प्यारे-प्यारे बच्चों जल्दी से। चलो क्या कह रहे हैं जी? फंक्शन क्या है फंक्शन? देखो एक रिश्ता फंक्शन की तरफ कब

फंक्शन? देखो एक रिश्ता फंक्शन की तरफ कब बढ़ेगा जब घर वाले मान जाएंगे। ठीक है जी। सर वही तो समस्या है। वही तो

समस्या है सर। हां जी। फंक्शनंस अ रिलेशन इज़ सेड टू बी अ फंक्शन

इफ इट्स डोमेन डज़ंट रिपीट्स। अगर किसी भी रिलेशन की डोमेन रिपीट नहीं करती तो वह फंक्शन बन जाता है। अर्थात मैंने आपको बताया था आजकल मेरा एक और मीम बड़ा वायरल

हो रहा है। अब मैं वो एक्शन नहीं करूंगा। जिप अप डाउन अप डाउन वाला बच्चे ने स्लो मोशन करके अप डाउन पता नहीं क्या ही प्रिटेंड करा दिया वहां पर। जबकि मैं समझा

रहा था कि फंक्शन इज़ अ मशीन। फंक्शन जो है इज़ अ मशीन। फंक्शन एक मशीन होती है मेरे प्यारे बच्चों। यानी इट इट वर्क्स ऑन

इनपुट इनपुट एंड आउटपुट मैकेनिज्म। इनपुट एंड आउटपुट मैकेनिज्म पे काम करती है। जैसे एक फंक्शन हमने यहां पर लिया 3x + 5

अगर मैं इनपुट डालता हूं वन। इनपुट का मतलब है वैल्यू ऑफ़ x। हां जी। इनपुट का मतलब है वैल्यू ऑफ़ x। तो मैंने x पुट किया।

तो आई विल गेट एन आउटपुट। ये बच्चों बना मेरा आउटपुट। और मैंने जो पुट किया उसको बोलते हैं इनपुट। जनरली जो इनपुट होता है वो डोमेन होता है। आउटपुट होता है रेंज।

इनपुट को हम प्री इमेज कहते हैं। आउटपुट को हम इमेज कहते हैं। ठीक है ना? तो जैसे

अगर मैंने यहां -1 पुट किया तो आई विल गेट सम अदर रिजल्ट। आई विल गेट सम अदर रिजल्ट। मुझे मिलेगा टू। तो कह रहे हैं कि अगर एक

फंक्शन में डोमेन रिपीट हो गई। नहीं मैंने एक चीज पुट की और उससे दो अलग-अलग आंसर आ गए तो ये फंक्शन नहीं होगा।

मैंने वन पुट किया उससे आंसर समथिंग आ गया। मान लो मैंने A पुट किया, A पुट किया। A से B आ रहा है और A पुट करके भी किसी सरकमस्ट्ससेस में C आ रहा है। यानी A

का रिश्ता B भी है और A का रिश्तेदार C भी है। तो ऐसे फंक्शन नहीं होते। ऐसे लोग रिश्ता तो बना लेते हैं। अब मुझे बताओ ए अगर बी से भी रिश्ता रखेगा गहरी बात है

बेटा रिलेट करोगे। ए अगर बी से भी रिश्ता रखेगा ए अगर सी से भी रिश्ता करेगा तो क्या बात शादी के मंडप तक पहुंच पाएगी?

सबकी किस्मत अरमान मलिक जैसी थोड़ी ना होती है। समझ रहे हो? किस्मत नहीं है। वैसे तो क्या बोलूं? छोड़ो। हां हां। लेकिन अगर मैं दो अलग-अलग वैल्यू पुट करता

हूं। मैंने दो अलग-अलग वैल्यू पुट की और उससे एक रिजल्ट आया। दो अलग-अलग वैल्यू से अगर मैं एक रिजल्ट देता हूं। दो अलग-अलग वैल्यू से मैं एक रिजल्ट देता हूं तो यह

फंक्शन हो सकता है। तो ये फंक्शन हो सकता है। मेरी बात समझ में आ गई?

बोलो ये फंक्शन हो सकता है। ये फंक्शन नहीं होगा। ये अभी तक मैंने 11वीं कक्षा का आपको थोड़ा सा याद दिला दिया। टाइप्स ऑफ फंक्शन पर आते हैं। मेजर सीधी बात नो

बकवास। टाइप ऑफ फंक्शन पर आएंगे जो हमें पढ़ना है। अब देखो, पहली बात तो जान ली फंक्शन क्या है? ठीक है ना? अब एक फंक्शन होता है बेटा वन वन जिसको हम बोलते हैं इंजेक्टिव। क्या बोलते हैं मेरे प्यारे

बच्चों? इंजेक्टिव बोलते हैं। अब

बच्चों? इंजेक्टिव बोलते हैं। अब इंजेक्टिव वन वन वन वन वन वन तो यानी एक का रिश्ता

एक के साथ। शरीफ आदमी देखो एक का रिश्ता एक के साथ। एक का रिश्ता एक के साथ। एक का रिश्ता एक के साथ, एक का रिश्ता एक के

साथ। तो ये फंक्शन वन वन हो गया। मैं एक एक प्री इमेज एक यह होती है भैया

प्री इमेज एक प्री इमेज की एक ही इमेज है। एक प्री इमेज की एक ही इमेज है। बहुत बढ़िया। क्या ये वन वन है? क्या ये वन वन है? नहीं भाई देखो वन का रिश्ता वन का

है? नहीं भाई देखो वन का रिश्ता वन का रिश्ता बी के साथ है। टू का रिश्ता भी बी के साथ है। तो यह वन वन नहीं है। और जो वन

वन नहीं होता वो होता है मेनी वन। वो क्या होता है? मेनी वन। मेनी वन गलत बात मेनी

होता है? मेनी वन। मेनी वन गलत बात मेनी वन बात समझ में आ गई हां जी ओके उसके बाद उसके बाद ये देखो ये भी क्या है मैनी वन

है ये भी क्या है मैनी वन है इधर देखकर बता पाओगे ना ये क्या है वन वन है देखो हर एक का रिश्ता एक के साथ है वन का वन का बी के

साथ थ्री का ए के साथ टू का सी के साथ फोर का डी के साथ तो यह वन वन हो गया ये वन वन हो गया बेसिक तरीका समझाने के

फिर आता है ऑनटू। ऑनटू को हम बोलते हैं सरजेक्टिव। अब ऑनटू को हम क्या बोलते हैं कि इमेज साइड में हर एक इमेज की कोई ना

कोई प्री इमेज होनी चाहिए। हर इमेज की हर इमेज की

कोई ना कोई प्री इमेज होनी चाहिए। प्री इमेज होनी चाहिए।

होनी चाहिए। यानी मेरी भाषा में इमेज साइड पर कोई वेला नहीं बचना चाहिए। वेला मतलब फ्री जिसका रिश्ता किसी के साथ ना हो। देखो पहली बात तो बेटा ये समझो कि यहां

कोई वेला नहीं बचेगा। अगर यहां कोई वेला बच रहा है तो समझ लो भैया वो फंक्शन ही नहीं है। पहली बात तो लेकिन यहां अगर कोई वेला बच गया तो ये फंक्शन ऑनटू नहीं है।

यहां पर वेला बच गया ये फंक्शन ऑनटू नहीं है। यहां सब के सबके रिश्तेदार यहां मौजूद है तो ये भैया हमारा ऑनटू फंक्शन हो गया। यहां पर भी सबके रिश्तेदार यहां पर हैं।

तो ये भी बच्चों क्या बन गया हमारा? ऑनटू

ऑनटू। तो यानी यानी यहां पर कोई भी ऐसा बंदा नहीं होना चाहिए या बंदी नहीं होनी चाहिए जो सिंगल हो। तो ये सिंगल है। ये देखो ये ये ये तुम हो। ये देखो ये तुम हो।

ठीक आशु सर वाली आत्मा है ना? देखो इधर आओ बेटा। ये तुम हो। ये रहे तुम और ये रहे तुम जिसका कोई रिश्तेदार मौजूद नहीं है। कोई भी रिश्ता नहीं है। समझ रहे हो? समझ

रहे हो। तो ऐसे फंक्शन ऑनटू फंक्शन नहीं होते। लेकिन ये मैं हूं। तो ये ऑनटू है। ये भी ऑनटू है। मजाक कर रहा था यार। ठीक

है जी। भगवान सबको सबका एक साथी तो देगा। लेकिन अभी वो साथी वो क्या कह रहे थे अलख पांडे सर उस दिन एक मीम एक एक रील आई थी

कि लड़कियों के सपनों में ना राजकुमार आते हैं ठीक है ना इसलिए तुम सिंगल हो तो पहले राजकुमार बनो राजा महाराजा आएगा कभी कोई

समझ रहे हो ना तो ये कहानी है बिल्कुल सत्य बात है भाई सत्य बात है जेब में पैसा है जेब में पैसा है ना

सब भागे आते चलो आगे बढ़ेंगे। जी तो इनकी ना दो डेफिनेशंस हैं। जब हम प्रैक्टिकल क्वेश्चंस करेंगे ना हम तब बात करेंगे कि ये क्या है? देखो वैसे तो अगर बात किया

जाए तो जो मैंने अभी आपको पढ़ाया ना बस उसकी ये मैथमेटिकल डेफिनेशन लिख दी। इसके ऊपर मैं थोड़ी देर बाद में आऊंगा। अभी नहीं आ रहा। जब मेरे को प्रैक्टिकल फुल फ्लेज क्वेश्चन सॉल्व करने होंगे ना मैं तब

आऊंगा। ठीक है ना? 5 10 मिनट बाद आऊंगा। तो वैसे हमने समझ लिया वन वन क्या है? एक

का एक ही होना चाहिए। एक पुट करने पर या दो अलग-अलग वैल्यू पुट करने पे सेम आंसर आ रहा है तो वो वन वन नहीं है। वो मेनी वन है। और प्री इमेज मतलब इमेज साइड में कोई भी खाली नहीं बचेगा। अगर बच रहा है तो वो

ऑनटू नहीं है। अकॉर्डिंग चलो जी। फिर ये कुछ है इसके स्क्रीनशॉट ले लेना जिसके अंदर कह रहे हैं कि नंबर ऑफ़ वन वन फंक्शन इन तीनों कंडीशंस पर नंबर ऑफ़ वन वन फंक्शन

a के अंदर m एलिमेंट है। b के अंदर n एलिमेंट है। m और n बराबर है। तो आंसर mोरियल आ जाएगा। ठीक है जी। m जो है वह n से छोटा है तो

npm आंसर आ जाएगा। m जो है वो यानी इसके अंदर ज्यादा एलिमेंट है। प्री इमेज में ज्यादा एलिमेंट है इमेज से तो एक भी एक भी

वन वन फंक्शन नहीं बनेगा। देखो इसका कारण क्या होता है कि यहां पर मान लो है 1 2 3 4 और यहां पर है भैया ab तो वन का रिश्ता इससे बन गया। इसका रिश्ता इससे बन गया। ये

तो वैल्य बच गए। तो भैया ये तो फंक्शन ही पॉसिबल नहीं है ना। तो ऐसा कोई भी फंक्शन ही नहीं बन सकता। तो वन वन तो बहुत दूर की बात है। ठीक है ना? वन वन तो बहुत दूर की बात है। यहां लिखे रहने देते हैं क्या जा

रहा है। ऑन टू फंक्शन का ये फार्मूला होता है। अगर मैं a टू a जा रहा हूं। नंबर ऑफ़ एलिमेंट इन a m है तो सीधा m फैक्टोरियल आता है। लेकिन अगर नंबर ऑफ़ एलिमेंट इन a n

है और m b में m है तो ये फार्मूला होता है जो कि बहुत ज्यादा कम काम आएगा। एमसीक्यू में देखेंगे आ गया तो आ गया। समझ में आ गई बात? तो इसको आप इसको आप क्या कर लो? स्क्रीनशॉट ले लेना। मैंने कुछ पॉइंट

लो? स्क्रीनशॉट ले लेना। मैंने कुछ पॉइंट टू रिमेंबर आपको अभी रिलेशन में भी दिए थे और कुछ पॉइंट टू रिमेंबर अभी आपके ये फंक्शन में भी आ गए। बहुत ही बढ़िया। मजा आ गया बेटा। मजा आ गया बेटा। मजा आ गया।

चलो आगे बढ़ेंगे। अब ये देखो पहला क्वेश्चन ही वही आ गया। हमारा पहला क्वेश्चन ही वही आ गया। कह रहा है a और b के दो सेट्स दिए हुए हैं। m एलिमेंट और n

एलिमेंट है। a के अंदर m एलिमेंट है और b के अंदर n एलिमेंट है। यही तो आ गया ना। m जो है वो n से बड़ा है। m जो है वो n से

बड़ा है। कितने वन वन फंक्शन होंगे?

कितने वन वन फंक्शन होंगे बेटा? ये वन वन होगा यहां पर। कितने वन वन फंक्शन होंगे?

वन। चलो हम ऑनटू की बात भी कर लेते हैं। मैं यहां पे वैसे ऑनटू का लेकर नहीं आया था। ये वन वन अगर मैं ऑनटू की बात करूंगा तो उसके लिए तो फार्मूला लगाना पड़ेगा ना।

यह वाला ये वाला लगाना पड़ेगा ना। तो अभी रुक जाओ। वन वन की बात करो बेटा। 1 1 आंसर क्या आएगा? जीरो आ जाएगा। 0 आ जाएगा। ठीक

क्या आएगा? जीरो आ जाएगा। 0 आ जाएगा। ठीक है ना? 1 में क्या आ जाएगा बेटा? जीरो आ

है ना? 1 में क्या आ जाएगा बेटा? जीरो आ

जाएगा। आगे बढ़ेंगे। अच्छा इंजेक्टिव समझते हो ना तुम लोग?

इंजेक्टिव क्या होता है? वन वन। सरजेक्टिव होता है ऑनटू। ठीक है ना? तो पहला आपको रिलेशन दे रखा है x²।

x दे रखा है बेटा। x² यह दे रखा है। एंड फंक्शन fn2 x इज़ डिफाइंड। ये दे रखा है फंक्शन जो दे रखा है हमको क्या दे रखा है

x² देन फंक्शन इज़ क्या ये फंक्शन वन वन है ऑनटू है क्या है बेटा ये बताओ बोलो बोलो बोलो फंक्शन क्या है वन वन है ऑनटू है

क्या है सिंपल सी बात है यार सिंपल सी बात है देखो हमारा जो x है वो नेचुरल नंबर है तो अगर मैं यहां पर वन पुट करता हूं तो मुझे वन मिलेगा टू पुट करूंगा तो मुझे चार

मिलेगा तीन पुट करूंगा तो मुझे नौ मिलेगा हर एक पर एक नई वैल्यू तो मुझे मिलती रहेगी। तो रिपीट होने वाली तो कोई बात है नहीं। तो ये भैया हमारा वन वन फंक्शन तो

ये होगा। यह हमारा वन वन फंक्शन तो ये होगा। ऑनटू की बात करते हैं। अगर आप गौर से देख पाओ। हां जी। हां जी। गौर से देख

पाओ। गौर से देख पाओ। तो क्या ये फंक्शन हमारा ऑन टू है? देखो यहां पर है 1 2 3 4 5 नेचुरल नंबर और भी जा रहे हैं। यहां पर

कह रहे हैं x² x बिलोंग्स टू नेचुरल नंबर होगा। फंक्शन n2 x इज़ डिफाइंड बाय दिस। अब ये x क्या है? ये हमें नहीं पता। हमें इस x की वैल्यू नहीं बता रखी। तो भैया हमें

इसके बारे में पता ही नहीं। तो यहां पर भी हम नेचुर ही लेंगे। 1 2 3 4 5 6 ऐसे ले लेंगे। तो वन का रिश्ता तो वन के साथ बन गया। टू का रिश्ता फोर के साथ बन गया। ये दोनों वेल्य बच रहे हैं कि नहीं बच रहे?

बोलो भैया। तो ये ऑनटू तो नहीं है। तो ये ऑनटू नहीं है। ये ऑनटू नहीं है। तो ये सिर्फ और सिर्फ क्या होगा बेटा? इंजेक्टिव होगा।

सिर्फ और सिर्फ क्या होगा बच्चों? ये

इंजेक्टिव होगा। बजेक्टिव क्यों होगा? अगर

बजेक्टिव ये तब होता। अच्छा सॉरी सॉरी सॉरी। x दे तो रखा है। x डिफाइंड है भाई। x क्या होगा? x² की वैल्यू ये होगी। रुक जाओ रुक जाओ रुक जाओ।

x² की वैल्यू ये होगी। 1 2 3 4 5 6 और यहां पर हमको क्या दे रखा है? परफेक्ट

स्क्व्स यानी 1 4 9 16 25 36 यही दे रखा है। तो वन का रिश्ता वन के साथ टू का रिश्ता फोर के साथ। तीन का रिश्ता नौ के साथ चार का 16, पांच का 25, छ का 36। आगे

बढ़ते जाओ, आगे बढ़ते जाओ। तो भैया इसका आंसर इंजेक्टिव नहीं है। इसका आंसर बजेक्टिव है। इसका आंसर बजेक्टिव है। क्योंकि हमें x की डेफिनेशन गिवन है। x

क्या है? x² ही है।

क्या है? x² ही है। x क्या है? जो x सेट है वह क्या है? x² ही

है, 1 है, 4 है, 9 है, 16 है, 25 है, 36 है, चलता रहेगा। सही है ना? वो हमने ये देखा ही नहीं ना इसको तो। चलो बढ़िया। सेट A के अंदर तीन

एलिमेंट हैं। और सेट B के अंदर चार एलिमेंट हैं। तो नंबर ऑफ़ वन वन फंक्शन। नंबर ऑफ एलिमेंट इन A तीन है। नंबर ऑफ

एलिमेंट इन B क्या है भैया? चार। आपको वन वन फंक्शन बनाने हैं। वन वन फंक्शन बनाने हैं a टू b तो अब यहां पर देखो जो हमारे

नंबर ऑफ एलिमेंट a है वो कम है नंबर ऑफ एलिमेंट इन b के। तो हमारा फार्मूला बनता है npm ये वाला फार्मूला बन जाएगा। यानी

4p3 4p3 बन जाएगा। 4 - 3 यानी आ गया 4ोरियल बोले तो यह 24 होता है। तो इसका आंसर आ जाएगा बच्चों सी

ऑप्शन। इसका आंसर आ जाएगा बच्चों सी ऑप्शन। ठीक है ना? इसका आंसर आ जाएगा सी ऑप्शन। व्हिच इज़ वेरी ईजी। वेरी ईजी। वेरी ईजी।

ठीक है ना? बहुत प्यारा क्वेश्चन है यार। बहुत प्यारा क्वेश्चन है। ये फुल फ्लेज के अंदर भी बहुत आता है। मतलब ये फुल फ्लेज में बहुत हैंपर करेगा तुमको। कह रहे हैं

एक फंक्शन है जो कि दो से इनफाइनाइट तक है। जिसका डोमेन दो से इनफाइनाइट है। रेंज क्लियर नहीं है। ये डोमेन है। ये जो रेंज है ना ये क्लियर नहीं है। कह रहे हैं अगर

इस फंक्शन को डिफाइंड होना है। डिफाइंड समझते हो ना? तो इसकी रेंज बता दो। देखो ना आपको थोड़ा सा ध्यान लगाना पड़ेगा।

मेरे प्यारे बच्चों। अब देखो ये भी ना मैक्सिमम 90% क्लास 11th का सवाल है ये। लेकिन मेरा दिल और मन कह रहा है और बहुतों बच्चों के प्री बोर्ड में तो आ चुका है यह

कि ऐसे सवाल बनेंगे मानो चाहे ना मानो। अब मैं क्या बोलूं? बिना चीर के तो बता नहीं सकता मैं। तो y = x² - 4x + 5 है। इसकी आपको ना रेंज निकालनी है। अब आप ये समझ

लो। अभी क्या है ना यह सारे रियल नंबर पर तो डिफाइंड नहीं है लेकिन किन-किन पर डिफाइंड होगी वह बतानी है। ऑप्शन है या नहीं बाद की बात है। अब यहां पर लगता है कंप्लीटिंग

द स्क्वायर्स मेथड। आप कुछ ऐसा करो कि यहां होल स्क्वायर बन जाए। तो जैसे x² -

4x + 4 + 1 कर दो इधर। ये है ना? तो हमने

क्या किया? इसको होल स्क्वायर बना दिया। तो x - 2² + 1 आ गया। आया कि नहीं आया?

बोलो ना बोलो ना पांच को तोड़ दिया 4 + 1 पांच को तोड़ दिया चार सर हमें तो नहीं आ पाएगा सर हमें तो नहीं आ पाएगा कोई बात नहीं दूसरा तरीका है मेरे पास देखो

कंप्लीटिंग द स्क्वायर इंटीग्रेशन भी पढ़ते हो x का पड़ोसी क्या है चार देखो सबसे पहले तो ध्यान लगाना है x² का पड़ोसी वन होना चाहिए ये बात समझ लेना x² में मान

लो टू होता तो मैं टू कॉमन लेता पहले पांच होता पांच कॉमन लेता लेकिन अभी यहां पर तो वन ही है तो बल्लेबले x का पड़ोसी क्या है? चार। चार का आधा करूंगा दो। दो का

है? चार। चार का आधा करूंगा दो। दो का स्क्वायर करूंगा चार। अब चाहे तुम -4 ले लो। उससे फर्क नहीं पड़ रहा। x का पड़ोसी चार है। चार का आधा करूंगा दो। 2 का

स्क्वायर करूंगा चार। वही प्लस और वही माइनस कर लो। तो हमने क्या किया? x²

यही हमने प्लस कर लिया और यही हमने माइनस कर लिया। अब तो वही बात बन गई ना बेटा। या तो डायरेक्ट कर लेते, जुगाड़ लगा लेते या

आप कंप्लीटिंग द स्क्वायर लगा लो। अब यहां से ना x की वैल्यू निकालो इन टर्म्स ऑफ y रेंज है क्या कि y की वैल्यू

होती है ना रेंज रेंज क्या होती है y की वैल्यू तो मुझे y को रिस्ट्रिक्ट करना है तो y - 1 x - 2²

y - 1 x - 2 y - 1 + 2 = x आ गया।

अब आप मुझे बताओ। अब आप मुझे बताओ। अब आप मुझे बताओ कि अगर मेरे x की वैल्यू जो है वो है

y - 1 + 2 तो मेरा आंसर क्या आना चाहिए?

तो मैं y की जगह क्या-क्या पुट कर सकता हूं? इनमें से सारे रियल नंबर तो नहीं डाल

हूं? इनमें से सारे रियल नंबर तो नहीं डाल सकता। मान लो मैंने ज़ीरो डाल दिए तो पाप हो गया ना। y की जगह मैं जीरो तो नहीं डाल सकता। तो इसको हटाओ।

y की जगह मैं जीरो तो नहीं डाल सकता। कह रहे वन से इनफाइनाइट कुछ भी था। कह रहे हैं वन से इनफाइनाइट कुछ भी था। हां या ना? हां। देखो वन या वन से बड़ा कोई भी

ना? हां। देखो वन या वन से बड़ा कोई भी नंबर डालूंगा तो ये आंसर हमेशा पॉजिटिव रहेगा। मुझे इसको हमेशा पॉजिटिव रखना है। हां या ना? मुझे इसको हमेशा क्या रखना है?

पॉजिटिव रखना है। बोलो ना। बोलो ना। और अगर मैं चार से इनफाइनाइट डालता हूं तो वो भी ठीक है। लेकिन मैं चार से छोटे नंबर क्यों नहीं डाल पा रहा y की जगह? मैं

बिल्कुल डाल पाऊंगा। एक तरीका और होता है कि मेरे को ना x की रेंज तो दे रखी है दो से इनफाइनाइट। तो मैं क्या कर सकता हूं?

इसको ऐसे भी सॉल्व कर सकता हूं। ये ग्रेटर दैन इक्व 2 है और लेस दैन इनफाइनाइट है। अब मैं इसको सॉल्व भी करूंगा ना तो भी

मेरा आंसर बेटा बी ही निकल के आएगा। तो भी मेरा आंसर क्या ही निकल के आएगा बेटा? बी

निकल के आएगा। अगर मैं इसको सॉल्व करता हूं। बोलो भैया। मुझे x की वैल्यू नहीं। अब मुझे पता है कि मैं यहां y कुछ भी पुट करूं मेरा आंसर दो या दो से बड़ा आएगा। मुझे x की वैल्यू

नहीं निकालनी। वो मुझे पता है। मुझे y की वैल्यू निकालनी है। तो y तो इसी पे डिपेंड हो रहा है ना। y तो इसी पे डिपेंड हो रहा है। वेवी कर्व लगा लो। इनकलिटी लगा लो। तो

मेरे y की जो वैल्यू है इसको सॉल्व करोगे। y की वैल्यू वन आएगी। वेवी कर्व डाला। छोटा पुट कर रहा हूं तो नेगेटिव आ रहा है। बड़ा पुट कर रहा हूं तो पॉजिटिव आ रहा है। तो वन से इनफाइनाइट पुट कर सकता हूं ना

बेटा। हिट एंड ट्रायल कर सकते हो। सीधा सब्स्टट्यूट करके भी आंसर मिल जाएगा। यह सारी बातें ठीक हैं। वरना मैं कांसेप्ट एलिवेट कर रहा था। बहुत बढ़िया। ये आ गया

बी ऑप्शन। सही है बेटा। सही है बेटा। नेक्स्ट प्रूव दैट दिस फंक्शन इज़ बजेक्टिव। अब बेटा प्रूव कैसे करेंगे? एक

तो हो गया। देखो ये फिर माता रानी का आशीर्वाद है। प्रूव करना है कि ये फंक्शन बजेक्टिव है। भाई बजेक्टिव क्या होता है?

सर ये तो आपने हमें बताया नहीं। सर आपने बजेक्टिव के बारे में तो कुछ भी नहीं बताया। आओ बता देता हूं। देखो बजेक्टिव फंक्शन वो फंक्शन होता है अभी हमने पीछे

भी किया था जो बोथ वन वन और ऑनटू होता है ना उसको आप बजेक्टिव कहते हो। ऐसा फंक्शन जो वन वन भी है और ऑनटू भी है। अब अगर

मुझे किसी को वन वन प्रूव करना है। एक तो है नहीं करना। तो एग्जांपल करना है तो ये वाला ये वाला आएगा। इसको पढ़ो। यहां पे जो मैं रेड मार्क से अंडरलाइन कर रहा हूं।

ऊपर तो डेफिनेशन है। कह रहे हैं फॉर एव्री x1 x2 बिलोंग्स टू x. कोई भी दो आर्बिटरी का कॉन्स्टेंट्स ले लिए जो x के अंदर

बिलोंग कर रहे हैं। पुट करके देखो fx1 को fx2 के बराबर। fx1 को fx2 के बराबर रखो। और अगर x1 x2 के बराबर आ गया तो समझ लेना कि वो वन वन वन वन वन वन वन वन वन वन वन

है। अदरवाइज वो ऑन वो क्या है? मैनी वन

है। यानी अगर मैं यहां पर चलूं। मैं क्वेश्चन के जरिए आपको समझा रहा हूं। मान लो मान लो अब हमें क्या करना है? फॉर 1

फॉर 1 फॉर 1 लेट किया बेटा x1 x2 बिलोंग्स टू x x मतलब

रियल नंबर सच दैट fx1 = fx2 फंक्शन क्या है बेटा? x है। तो x1

x2 के क्यूब के बराबर रखो। क्यूब से क्यूब काट सकते हो। तो x1 किसके बराबर आ गया? x2

के। तो हमारा फंक्शन क्या हो गया भैया? वन

वन हो गया। अगर ये इसके बराबर नहीं आता। अगर ये इसके बराबर नहीं आता तो ये मेनी वन हो जाता। सिंपल है। सिंपल है। ये है तरीका

प्रूव करने का। अच्छा जी। अब मैं ऑनटू की बात करता हूं। अगर ऑनटू नहीं है तो मुझे एक एग्जांपल देना है। अगर है तो क्या जस्टिफिकेशन है?

तो अगर है तो ये स्टेटमेंट भी याद रख सकते हो। स्टेटमेंट क्या कह रही है? कह रहे हैं फॉर एव्री y बिलोंग्स टू y

देयर एग्जिस्ट एन x इन x सच दैट fx जो है वो y के बराबर है। अगर मैंने fx को y के बराबर साबित कर दिया और

ऑल x बिलोंग्स टू x तो इसका मतलब समझ में आ जाएगा कि ये ऑनटू है। यानी हर एक का रिश्तेदार प्री इमेज में मौजूद है। तो अगर

मैं यहां पर अगर मैं यहां पर ऑनटू की बात करूं फॉर ऑनटू की बात करूं। ऑनटू की बात करूं बेटा यह चैप्टर ना कासेप्चुअल चैप्टर है। इसके अंदर क्वेश्चन ओरिएंटेड नहीं है।

क्वेश्चन 10,000 बदल लो। कांसेप्ट आपका सेम रहेगा। तो अगर मैं फॉर ऑनटू की बात करूं ऑनटू की बात करूं तो पहले तो मेरे

पास जो क्वेश्चन है वो fx = x है। तो ये y ले लो। ये y ले लो। x जो fx होता है y होता है। तो यहां पर पहले तो x की

वैल्यू निकाल लो इन टर्म्स ऑफ़ y। ठीक है जी? और ये पुट करो अपने क्वेश्चन में। तो fx के अंदर आपने जहां-जहां x है

वहां 1 / 3 और यहां पर थ्री पुट किया वेयर x बिलोंग्स टू रियल नंबर और y बिलोंग्स टू रियल नंबर। क्वेश्चन रियल टू रियल है। तो

मेरा fx y के बराबर आ गया। चाहे y कोई भी रियल नंबर हो। चाहे y फॉर ऑल y बिलोंग्स

टू रियल नंबर। तो देयर फॉर r इज सॉरी f इज़ जो मेरा fx है वो क्या है बेटा मेरा ऑन टू भी है। दस दस फंक्शन इज बजेक्टिव। तो ये

फंक्शन मेरा क्या हो गया बच्चों? बजेक्टिव

हो गया। समझ में आ गई बात? हां जी। बोलो भैया। समझ में आ गई बात? बोलो बेटा।

क्लियर है? क्लियर है?

हां जी। बोलो बोलो बेटा क्लियर क्लियर क्लियर क्लियर x है क्यूब से क्यूब कटेगा ना तो वो x1 x2 के बराबर देगा

वन वन रॉन्ग क्यों है भाई वन वन रॉन्ग क्यों है रियल नंबर पर है ना नेचुरल पर होता तो भी होता वैसे तो तो भी होता वैसे तो हां जी वन वन रॉन्ग क्यों है भाई वन वन

रॉन्ग क्यों है क्यूब है ना बेटा स्क्वायर होता तो नहीं होता हम सही है जी। चले आगे। आगे बढ़ते हैं। जी आगे क्या कह रहा है? अब देखो ये स्क्वायर आ

गया। स्क्वायर में ना तो ये वन वन होगा ना ये ऑनटू होगा। तो आप एक एग्जांपल दे सकते हो। अब देखो वन वन को प्रूफ करने के कि ये

वन वन नहीं है। दो तरीके हो गए। फॉर 1 फॉर 1 आप क्या कर सकते हो? जैसे आपने यहां

पर वन पुट किया। 1² - 1 0 आ गया। और फिर आपने -1 पुट कर दिया। -1² -1 भी 0 आ गया। तो f1 भी और f - 1 भी ये क्या आ गया भैया?

ज़ीरो आ गया। ये क्या आ गया? ज़ीरो आ गया। तो देयरफ़ f इज़ नॉट वन वन या f इज़ मैन ईवन। एक ही बात है। तो ये मेनी इवन है। या अगर

मैं इसका दूसरा तरीका प्रूफ करूं। एक और तरीका भी है। एक और तरीका भी है वन वन ना

प्रूफ करने का। और 1 चेक करेंगे तो वही x1 x2 बिलॉन्ग करेंगे रिलेशन से सॉरी r से

रियल नंबर और f1 x fx1 fx2 के बराबर रख दो तो यहां पर अगर मैं x1² - 1 x2² - 1 के

बराबर रखूंगा तो वन से वन तो ये निपट गया तो x1² x2 के स्क्वायर के बराबर रखूंगा तो x1 की वैल्यू प्लस माइनस - x2 आ जाएगी। अब

ये दो कंडीशन डेवलप कर रही है। x1 x2 के बराबर है और एक x1 - x2 के बराबर है। और जब तक बात 100% ट्रू ना हो तो ये ट्रू

नहीं है। तो देयर फॉर r इज नॉट r इज नॉट अबे r की कहां गई? हां जी। f इज़ नॉट वन वन। तो ये वन वन नहीं है। आप जनरल

तरीके से भी साबित कर सकते हो या एग्जांपल देखिए। मैं मैं चाहूंगा कि बच्चे ऐसे थे। खामखा इतनी मेहनत क्यों करनी? एक एग्जांपल

दे दो जहां पर यह वन वन नहीं आ रहा। रही बात ऑनटू की। रही बात ऑनटू की। आप मुझे बताओ। आप मुझे बताओ। कोई एक एग्जांपल दे

दो। अब देखो एग्जांपल मिलता कैसे है? क्या

करो? y = x² - 1 है ना? y + 1 का अंडर रूट आ गया x। यही आ गया ना? कोई भी आंसर नेगेटिव नहीं आ रहा। चेक कर लो। मेरा कोई

भी आंसर जो है ना जैसे -4 कभी भी नहीं आएगा मेरा आंसर आएगा बताओ भैया मेरा आंसर

बोलो बोलो बोलो बोलो बोलो मेरा आंसर मेरा आंसर क्या नेगेटिव वन आएगा बोलो मेरा आंसर क्या नेगेटिव आएगा नहीं आएगा अब

जैसे मैं यहां पे कुछ भी पुट कर लूं कुछ भी पुट कर लूं तो मेरा आंसर नेगेटिव मतलब चलो ज़ीरो पर आ जाएगा ज़ीरो पुट किया तो माइनस 0 से वन पे जैसे

-2 नहीं आ रहा मेरा कभी भी -2 नहीं आएगा -2 आएगा कभी नहीं आएगा कहीं -2 नहीं आएगा तो अब हम क्या करेंगे ये स्टेटमेंट का सहारा लेंगे ये देखो प्रेजेंटेशन सिखानी

है ना ये लिखेंगे फॉर एव्री y बिलोंग्स टू r देयर डू नॉट एग्ज़िस्ट एन एलिमेंट x इन

रियल नंबर सच दैट fx = -4 - 100 ऐसा कुछ भी एक नंबर दे दो तो फॉर एव्री वैल्यू

तो ऑनटू के लिए फॉर एव्री एवरी y बिलोंग्स टू रियल नंबर देयर डू नॉट एग्ज़िस्ट

डू नॉट एग्ज़िस्ट एन एलिमेंट एन एलिमेंट एन एलिमेंट x बिलोंग्स टू रियल नंबर सच

दैट कुछ भी पुट कर लो हमारे fx की वैल्यू - 100 तो नहीं आएगी। कुछ भी डाल लो आंसर -00 तो नहीं आने वाला।

बोलो भैया -00 तो नहीं आने वाला। तो देयर फॉर r इज़ नॉट ऑन। तो R ऑनटू नहीं है। ये एक स्टेटमेंट से आपको पूरे नंबर मिल रहे

हैं क्योंकि ये डेफिनेशन सरकार द्वारा दी गई है। बहुत ही बढ़िया। और आगे बढ़ेंगे। जी। ये वाले क्वेश्चन तो बहुत इंपॉर्टेंट होते हैं और आप देख रहे हो हर साल पेपर में

पूछे जाते हैं। शो दैट ये वन वन भी है और ऑनटू भी है। प्रूफ करने का तरीका वही फॉर वन वन की बात करूंगा।

फॉर वन वन की बात करूंगा। आप इस बात को समझना कि रियल नंबर होगा पांच पुट नहीं कर सकते। क्योंकि अगर मैं पांच पुट करूंगा तो नीचे ज़ीरो बन जाएगा और रेंज जो होगी वो वन

नहीं आएगी। ये क्यों होगी अभी पता चल जाएगी आपको। तो आपको ना ये भी नोट करते हुए चलना है कि मान लो क्वेश्चन में बोल देगा कि ये r है। अगर a एनी रियल नंबर है

ना तो समझ लो ये फंक्शन ही डिफाइन नहीं है। तो आर्ग्यू करा ना वहां पर कि भ फंक्शन डिफाइन नहीं है। 1 ऑनटू तो बहुत दूर की बात हो गई। वन वन की बात करेंगे।

फिर वही x1 x2 बिलोंग्स टू a आ गया। fx1 fx2 के बराबर रख दो।

x1 - 3, x2, x1, x1 - 5, x2 - 3, x2 - 5 ये आ गया बेटा। हां जी। ये आ गया भैया। यार तुम्हें चैप्टर शुरू करने की भी जल्दी

होती है और तुम्हें चैप्टर खत्म करने की भी जल्दी होती है। एक टीचर बहुत डेप्थ में तुमको पढ़ा रहा है। अगर कितने डेप्थ में तुमको मैं पढ़ा रहा हूं एक चैप्टर को तो पढ़ लो क्योंकि आखिरी चैप्टर में इतना दम

नहीं है। वह आधे घंटे में हो जाएगा पूरा चैप्टर। समझ रहे हो? आधे घंटे में वो एलपी भी पूरा निपट जाए। 4500 ना निपट जाए। तो अगर मैं इतने डेप्थ में तुमको पढ़ा रहा हूं, इतने बढ़िया-बढ़ क्वेश्चन करा रहा

हूं, तो समझ लो। वरना यहां बैठने का फायदा क्या हुआ कि तुम्हें यही यही मैसेज डालना है कि ब्रेक दे दो। ब्रेक तो तुम कभी भी ले सकते हो। क्यों दुनिया को दिखाना चाह रहे हो कि मुझे ब्रेक चाहिए। बटन बंद करो।

ब्रेक मिल गई। दोबारा आ जाना। 2x पे देख लेना। समझ रहे हो? वही तो कर रहे हो तुम लोग। कंसिस्टेंसी बैठ। तुम यहां पर 3 घंटे लगातार नहीं बैठ पा रहे। तो पेपर में 3 घंटे कैसे बैठ जाओगे यार? मैं तो यहां

खड़े हो के पढ़ा रहा हूं। गलत बात है ना यार? तो यह कॉमन मत करो प्लीज यार। समझो

यार? तो यह कॉमन मत करो प्लीज यार। समझो मैच्योर स्टूडेंट्स हो। इसको मल्टीप्लाई करेंगे। जी। x1x2 - 5x1 3x2 + 15 आ गया।

ये आ गया x1x2 ये आ गया -5x2 - 3x1 और साथ में आ गया जी +15 आ गया। अब इसको

काटापीटी चालू कर दो। काटापीटी चालू कर दो। जैसे यह काटा, इसे काटा, यह काटा, इससे काटा। इसको इधर ले आओ। -5x1

+ 3x1 और -5x2 + 3x2 आ गया। तो यहां पे देखेंगे -2x1 आ

गया। -2x2 आ गया। तो x1 x2 के बराबर आ गया। तो भैया ये 1 हो गया। सही है जी। ये वन वन हो गया। अब अगर मैं बात करूंगा ऑनटू फंक्शन की तो वो भी हो

जाएगा। अगर मैं बात कर रहा हूं ऑनटू की तो ऑनटू के लिए पहले x की वैल्यू इन टर्म्स ऑफ y निकालनी पड़ेगी। तो फॉर ऑनटू

अगर मैं y की बात करूं तो वो है x - 3 / x - 5 क्रॉस मल्टीप्लाई तो xy - 5y x - 3 आ

गया। ये इसको यहां ले आओ। इसको यहां ले आओ। xy - x = 5y - 3 x कॉमन ले लोगे तो y

- 1 5y - 3 हमारे x की वैल्यू आ गई 5y - 3 / y - 1 अब तुम्हें एक बात समझ में आ गई होगी कि यहां पर वन को रिस्ट्रिक्ट क्यों

किया गया था क्योंकि मैं y की जगह वन नहीं डाल सकता और b हमारी रेंज होती है ना बेटा अगर मैं a टू b जा रहा हूं। तो अब यहां पर अब क्या करना है? में बस पुट करना है।

अच्छा वेयर y बिलोंग्स टू b है। पता है ना? पुट करना है x इन fx इसके अंदर पुट कर

ना? पुट करना है x इन fx इसके अंदर पुट कर लेना फॉर्मेलिटी सिस्टम है। तो जहां-जहां

x है वहां पर ये पुट कर लो। ये आ गया 5y -

3 - 3 दोबारा करते हैं। हां। 5y - 3 / y -

1 - 3 5y - 3 / y - 1 -5 ऊपर एलसीएम ले

लो। 5y - 3 - 3y + 3 5y - 3 - 5y + 5 और ऊपर से तो ये कट गया ऊपर आ गया भैया 2y नीचे से आ गया भैया टू और ये y के बराबर आ

गया ठीक है जी तो देयर फॉर देयर फॉर fx y के बराबर आ गया है तो r r फिर आ गया r f इज ऑनटू तो f क्या आ गया भैया हमारा ऑनटू

आ गया है f क्या आ गया भैया हमारा ऑनटू आ गया है कह रहे हैं यह तो हर एक फंक्शन में प्रूव हो जाता है। बिल्कुल बेटा आपको यह देख के चलना है ना ये तभी तो लिखा है मैंने कि y

बिलोंग्स टू b समझ रहे हो आपको ये भी देख के चलना है कि जो हमारा रेंज है वो हमको सपोर्ट कर रहा है कि नहीं कर रहा। फंक्शन

रैशन है ना रैशन फंक्शन ऑनटू भी होते हैं। अगर उनकी रेंज और डोमेन ठीक हो। समझ रहे हो? तो आपको ये भी तो देखते हुए चलना है

हो? तो आपको ये भी तो देखते हुए चलना है ना। तभी तो मैं बार-बार ये आपको दिखा रहा हूं। तभी तो हमने ये रेंज वाला क्वेश्चन किया। अगर आप बोलो कि क्या ये क्वेश्चन

ऑनटू है? अभी बिल्कुल नहीं है ऑनटू। ये

ऑनटू है? अभी बिल्कुल नहीं है ऑनटू। ये फंक्शन अगर इस रो डोमेन कोड सॉरी इस कोड डोमेन पे बात करूंगा तो ये ऑनटू नहीं है। अभी कई टीचर लिखते हैं थ्रूउ इट्स कोड

डोमेन लिखते हैं ना ये वर्ड तो अभी ये ऑनटू नहीं होगा। जबकि fx y के बराबर आ जाएगा। तो हमने पहले इसका रेंज ठीक करना है। अगर यह लिखा होता इसकी जगह तो ये हो

जाता। तो रेंज मैटर करेगी बेटा। रेंज मैटर करेगी बच्चे। ठीक है ना? रेंज मैटर करेगी। तो ये क्वेश्चन काफी इंपॉर्टेंट थे। इनको देखना। अब जैसे ये वाला क्वेश्चन आया। अब

ये नहीं लिखा होता। यहां रियल लिखा होता तो ये वन वन भी नहीं होता और ऑनटू भी नहीं होता। सही है ना? ऐसा होगा। प्रूव दैट द फंक्शन। अब प्रूव दैट बोला है तो यह वन वन भी है

और ऑनटू भी है। बस फॉर्मेलिटी स्टेप्स करने हैं। अब देखो ऐसे क्वेश्चंस को आप पहले स्प्लिटिंग द मिडिल टर्म करोगे ही करोगे। और ये क्वेश्चन हर साल इंपॉर्टेंट

है। तो क्वेश्चन शुरू करने से पहले आप स्प्लिटिंग द मिडिल टर्म करो। जैसे 4x² 4 कॉमन ले लिया। x - 5 / 4 ऐसे आया बेटा।

अब जो यह x का पड़ोसी है वह 1 है। 1 का आधा किया 1/2 1/2 का स्क्वायर किया 1/4

अभी सिखाया था। तो ये 4 आया x² x 1/4 प्लस कर दिया और 1/4 हमने ही माइनस कर दिया। और

अगर आप देखोगे तो ये क्या बन जाएगा? हमारा

एक होल स्क्वायर का फार्मूला बन जाएगा। ये आ गया x + 1/2 का होल स्क्वायर और साथ में आ गया 3/2।

ये अभी मैंने फंक्शन को ही ठीक किया है बेटा और मैंने कुछ भी नहीं किया। इस फंक्शन और क्वेश्चन में दिए फंक्शन में कोई फर्क नहीं है। सही है ना? इस फंक्शन और क्वेश्चन में दिए

फंक्शन में कोई फर्क नहीं है। बस उसको मैंने रिकक्रिएट कर दिया। अब अब आते हैं वन वन के लिए। फॉर वन वन

फॉर 1 की बात करूंगा प्रूव करना है। फिर वही x1 x2 जो है वो बिलोंग करेगा कहां से करेगा? देखो ये लिखना पड़ेगा ना। ये है

करेगा? देखो ये लिखना पड़ेगा ना। ये है आपके नंबर बेटा। ये वर्ड नहीं लिखा तो नंबर कटते हैं। ये है स्टेप मार्किंग कि मैं x1 और x2 कहां से ढूंढ रहा हूं? यहां

से ढूंढ रहा हूं। समझ रहे हो? इसलिए कह

रहे हैं हर बारी नहीं होगा। वो आपको ढूंढना पड़ेगा। समझो। अब अब अगर अगर मैं बात कर रहा हूं f(x) = x² की बात कर रहा हूं तो यह रियल

पर वन वन नहीं होगा। नेचुरल पर हो जाएगा। तो इट डिपेंड कि वो कहां टू कहां जा रहा है। ये सबसे इंपॉर्टेंट चीज है। फार्मूला इंपॉर्टेंट चीज नहीं है।

तो यहां पर आया fx1 को f(x)2 के बराबर रखो। तो ये क्या आया? देखो। 4 टाइम्स ऑफ x1 + 1

/ 2² - 3/2 = 4 टाइम्स x2 + 1 / 2² - 3/2 फोर से कट गया 4 3/2 से 3/2 कट जाएगा।

क्या बचेगा? देखो x1 + 1/2²

क्या बचेगा? देखो x1 + 1/2² और x2 + 1/2² अब अगर मैं स्क्वायर से स्क्वायर काटता हूं। ये तो पॉजिटिव नंबर है। प्लस माइनस

आएगा ही नहीं। समझ रहे हो ना? तो x1 +1 /2 बराबर आ जाएगा x2 + 1/2 के। तो मेरे प्यारे बच्चे समझ गए होंगे कि मैं क्या समझाने की कोशिश कर रहा हूं। तो जो x1 है

वो x2 के बराबर आ गया। x1 जो है वो x2 के बराबर आ गया। आया कि नहीं आया? बहुत ही बढ़िया हो गया।

नहीं आया? बहुत ही बढ़िया हो गया। तो ये वन वन हो गया। अब हमें निकालना है ऑनटू। ऑनटू के लिए y रखोगे। y क्या है? 4

टाइम्स ऑफ़ x + 1 / 2² - 3 / 2 जैसे अभी हमने रेंज वाले क्वेश्चन में किया था। तो यह आया y / 4 नीचे आ गया। 3/ 2 बेटा जोड़

दो। ये वैल्यू आ गई x + 1 / 2 के स्क्वायर की। स्क्वायर वहां जाकर रूट बना दो। y + 3

/ 4 और यहां पर टू है और ये आ गई x + 1 / 2 ये हाफ वहां आ जाएगा। y + 6 का

/ 2 -1 / 2 = x है। अब आप चेक करो। अब आप चेक करो ये -5 से इनफाइनाइट की तरफ जा रहा है। क्यों? क्योंकि अगर मैंने कोई और पुट

है। क्यों? क्योंकि अगर मैंने कोई और पुट कर दिया तो रूट में नेगेटिव बनना शुरू हो जाएगा। अब इसीलिए हमारा जो x की वैल्यू आ

गई वो आ गई y + 6 - 1 / 2 बात समझ में आ गई? यह आंसर आ गया। अब फिर वही करना है। x की वैल्यू को आप फंक्शन

में पुट कर दोगे और फिर आपका fx किसके बराबर आ जाएगा? y के बराबर आ जाएगा। हां जी। कह रहे हैं प्लस माइनस क्यों नहीं लगाया? नहीं लगाऊंगा ना। क्योंकि ये ज़ीरो

लगाया? नहीं लगाऊंगा ना। क्योंकि ये ज़ीरो से इनफाइनाइट है। पॉजिटिव नंबर है। हां जी। 0 टू इनफाइनाइट है ना? पॉजिटिव नंबर

है। + - 2 कैसे लगाऊंगा? कह रहे ये 3 / 2 कैसे आया? 5 और एक छ होते हैं। 6/4 3/2

कैसे आया? 5 और एक छ होते हैं। 6/4 3/2 होता है भाई। क्या कर रहे हो यार? अभी

इतनी बेसिक कैलकुलेशन सिखानी पड़ेगी क्या?

हम क्लियर है जी। ये आ गया। कह रहे एलसीएम आपने रॉन्ग लिया है। आओ मैं इसको दोबारा सिखा देता हूं। एलसीएम लेना तुमको। चलो

लो भाई। एलसीएम दोबारा समझ लो। यहां फोर आ गया। अब ठीक है ना एलसीएम 4 तो ये y + 6 आ गया ये 1/2 आ गया बेटा ये रूट के अंदर है

बाहर आके तो ये टू ही हो जाएगा ना तो इतने बेसिक स्टेप तो तुम्हें समझ में आने चाहिए यार 12वीं कक्षा के बच्चे हो अब सही है

वही आया कुछ चेंज नहीं हुआ मेरा आंसर क्लियर क्लियर हां सॉरी बोल लो भैया अब ये ये वाली वैल्यू कहां पुट करोगे फंक्शन में पुट करोगे तुम्हारा घूम के ये आ जाएगा तो

ये ऑनटू हो जाएगा बहुत ही बढ़िया। यह वाला क्वेश्चन घर पे कर लोगे। होमवर्क दे दूं? तीन और दे दो। प्रूव करना है कि यह फंक्शन सब्जेक्टिव है। प्रूव करना है कि ये फंक्शन

सब्जेक्टिव है। दो क्वेश्चन एक साथ है। क्या ये क्वेश्चन कर लोगे या एक काम मैं करा दूं? बोलो। जब तक तुम तीन हर दोगे तब

करा दूं? बोलो। जब तक तुम तीन हर दोगे तब तक तो मैं कर लूंगा। तो केस नंबर वन आएगा।

अगर n क्या है? इफ n केस नंबर वन। अगर n क्या है? इवन है।

क्या है? इवन है। n क्या है? इवन है। n इवन है। तो अगर मेरा

fn की बात हो रखी है n/ 2 यानी y की बात हो रखी है n / 2 तो n हो गया भैया मेरा 2y n की वैल्यू मैं यहां पर पुट करूंगा तो fn

जो है वो y के बराबर आ जाएगा। नीचे स्टेटमेंट भी देना चाहो स्टेटमेंट दे सकते हो। कर लोगे। सेम क्वेश्चन है बेटा। प्रजेक्टिव भी आ गया। बहुत ही बढ़िया। अब

ये लास्ट क्वेश्चन है आज का। इसका भी एक अध्याय यह मैंने वेक अप आज का लास्ट क्वेश्चन नहीं है। सॉरी कहीं भाग लो क्या समझ रहे हो? इसके बाद हमारा यह एक क्वेश्चन है। फिर हमारा इनवर्स पर दो

क्वेश्चन के बाद तुम्हारी ब्रेक आ रही है। ठीक है ना? ये दो क्वेश्चन थोड़ा ढंग से समझ लो। और ये भी पूरा नहीं करा रहा हूं। आधा ही करा रहा हूं। हमारी एनसीईआरटी का सवाल है। ये भी पूरा नहीं करा रहा हूं।

मैं आधा ही करा रहा हूं। ठीक है ना? समझो।

तो यहां पर हमारे को एक फंक्शन दे रखा है x/ 1 + मॉड्यूलस x जिसको दो पार्ट में ब्रेक कर देंगे। अगर x पॉजिटिव है तो जो x

आ जाएगा तो ये आ जाएगा 1 / 1 + x अगर x < < 0 है तो fx आ जाएगा x / 1 - x तो अब आपको ये दो क्वेश्चन अलग-अलग सॉल्व करने

हैं बेटा ये वाला ओो 2 मिनट ये वाला क्वेश्चन ये वाला क्वेश्चन और ये वाला क्वेश्चन आपको अलग-अलग सॉल्व करना है और कुछ भी नहीं है ठीक है जी और कुछ भी नहीं

है बेटा अब अगर मैं केस वन सॉल्व करता हूं जैसे अभी मैं कर रहा था पीछे तो यहां यहां पर अगर मैं केस वन सॉल्व करता हूं कि अगर

x मेरा 0 से बड़ा है तो मेरा फंक्शन जो आ गया वो x / 1 + x है। तो फिर वही बात करो

फॉर 1 फंक्शन की फॉर 1 की बात करोगे वही x1 x2 बिलोंग कहां से कर रही है भैया?

रियल से कर रही है। रियल से बिलोंग कर रही है। ठीक है ना? तो fx1 को बराबर रखोगे fx2

के। तो x1 / 1 + x1 x2 / 1 + x2 रखोगे तो x1 + x1x2 और x2 + x1x2 यही आ गया बेटा ये

कट जाएगा तो x1 बराबर आ जाएगा x2 के तो ये 1 हो गया तो इट इज 1 तो ये क्या हो गया मेरे प्यारे बच्चों ये वन वन हो गया ये वन

वन हो गया अब बात करूंगा ऑनटू की फॉर ऑनटू की बात करूंगा तो हमारा y = x / 1 + x

आया। तो y + xy = x आया। y = x - xy आया। x को कॉमन लोगे 1 - y आया। तो हमारे भैया

x की वैल्यू क्या आ गई? y / 1 - y अब y कहां से बिलोंग कर रहा है? वह देखो। y बिलोंग कर रहा है। y y y y बिलोंग कर रहा

है। देखो रियल से लेकर यहां तक बिलोंग कर रहा है। यानी -1 से 1 यानी x बिलोंग्स टू रियल नंबर होगा। तो -1 के वन के भीतर

रहेगा। ठीक है? तो यहां पर वो बाद लिख देना। अब पुट करूंगा वैल्यू ऑफ़ x हर एक क्वेश्चन को सेम तरीके से कर रहे

हैं। इन fx यहां पे पुट कर देंगे क्वेश्चन को। तो मेरा fx जो भी क्वेश्चन था वो ये

था y / 1 - y 1 + y / 1 - y एलसीएम लेंगे इधर आया 1 - y + y / 1 - y ये काट दिया ये

भी काट दिया तो ये y के बराबर आ गया तो मेरा जो fx आया वो y के बराबर आ गया तो ये फंक्शन क्या बन गया भैया ऑनटू बन गया लेकिन ये क्वेश्चन अभी आधा हुआ है अभी ये

वाला काम आपको करना पड़ेगा बोलो बोलो भैया ये वाला काम आपको करना पड़ेगा। कह रहे हैं -x आएगा। हां जी। ये वाला काम अभी आपको करना पड़ेगा। दिस इज़

केस वन। अब केस टू जो है वो आप होमवर्क में सेम इसी तरीके से कर लेना। केस टू होमवर्क में कर लेना। सिंपल सी बात है।

क्या ही है दिक्कत? बोलो। हां जी। बोलो जी। क्लियर है? जी। तो यहां पर हमने केस वन बनाया और केस टू बनाया। दोनों को हमें इंडिविजुअली सॉल्व करना पड़ेगा।

फिर एक और क्वेश्चन आता है। शो दैट आसान क्वेश्चन है। यह भी काफी आसान क्वेश्चन है बेटा। क्या कह रहा है? यह कह रहा है ना तो यह वन वन है ना ये ऑनटू है। क्यों ऐसा हो

रहा है? क्योंकि ना इनके जो ये ध्यान से

रहा है? क्योंकि ना इनके जो ये ध्यान से देखोगे ना ये इसकी वजह से हो रहा है। अब वो बच्चा या बच्ची जो थी वो कह रही था या कह रही थी कि सर हर बारी fx को y में पुट

करते हैं या y को fx में पुट करते हैं। y के बराबर ही आता है। वो इसमें भी आएगा बेटा। लेकिन रेंज जो है को डोमेन जो है वो ठीक नहीं है इसका। देखो अब इसको कैसे

लिखेंगे? इसको कैसे लिखेंगे? तो यहां पर

लिखेंगे? इसको कैसे लिखेंगे? तो यहां पर अगर मैं फॉर वन वन की बात कर रहा हूं। ये तुम ट्राई करोगे?

हां जी। बोलो भैया। ये तुम ट्राई करोगे? ये तुम

ट्राई करोगे? हां जी। ये तुम ट्राई करोगे। फॉर वन वन की बात करूंगा। वन वन की बात करूंगा। तो फिर वही x1 x2 रियल नंबर है

बेटा। तो fx1 को fx2 के बराबर रख दो। तो

ये x1 / x1² + 1 x2 = x2² + 1 आ गया।

क्रॉस मल्टीप्लाई कर लो। x1 x2² + x1 और x1² x2 + x2 आ गया। इसको यहां ले आओ।

x1 x2² x1² x2 ये आ गया x2 - x1 यहां से

कॉमन आ गया x1 x2 क्या बचा देखो x2 - x1 = x2 - x1 और ये कट गया तो x1 x2 जो है ना

वो आ गया भैया 1 के बराबर। तो अब देखो सिंस अब यहां पर हमारा x1 जो है वो बराबर नहीं है x2 के बराबर। तो f जो है वह 1

नहीं है इज नॉट वन वन तो वो वन वन नहीं है। बोलो भैया बोलो भैया

बोलो भैया क्लियर है जी। ये कहानी आ गई। ये कहानी आ गई। इसके बाद अगर मैं बात करता हूं ऑनटू फंक्शन की।

और ऑनटू की बात करता हूं। अब मेरी बात समझना। y = x/ x² + 1 है तो यह ना हो ही

नहीं पाएगा। मतलब d ही इसका नेगेटिव आना चालू हो जाएगा। देखो ये आ जाएगा yx² + y = x आ गया।

ठीक है जी? तो ध्यान से देखोगे। x²y + इधर आ गया। - x + y = 0 आ गया।

ठीक है जी? यह आ गया ना? अब मैं इसका d निकालूंगा। अगर मैं इसका d समझ आ रहा है?

समझ में आ रहा है? मैंने एक क्वाड्रेटिक इक्वेशन बना दी। बोलो भैया मैंने एक क्वाड्रेटिक इक्वेशन बना दी। कह

रहे हैं एवरीबॉडी स्पैम रॉन्ग। अबे मूर्ख के क्या बोलूं? कह रहा है पिछला क्वेश्चन रॉन्ग है। क्या रॉन्ग है इस क्वेश्चन में?

क्या रॉन्ग है? क्या रॉन्ग है? आप y की जगह 2n पुट करोगे तो y नहीं आएगा क्या?

क्या रॉन्ग है?

बताओ ना क्या रॉन्ग है? और भाई देखो छठी क्लास का बच्चा भी जब YouTube पर लाइव ले रहा है तो वह गलत चीज पर रॉन्ग लिख रहा है। और 12वीं कक्षा का बच्चा भी जब कुछ चीज रॉन्ग हो रही है तो रॉन्ग लिख रहा है।

वो ये नहीं बता रहा कि वो रॉन्ग क्या है?

तो फिर कैसे रॉन्ग हो रहा है? बताओ। बोलो

भैया। -x लिख तो दिया। कहां है भाई? कौन सा?

कहां है? बताओ।

-x लिख तो दिया। फिर साइन चेंज कर लेना। माइनस घुमा लेना। x/ x - 1 हो जाएगा। और क्या चाहिए? इधर देखो

यार। यह आ गई क्वाड्रेटिक। यह आ गई क्वाड्रेटिक। समझो। यह आ गई क्वाड्रेटिक। अब इसको अब इसको देखो हमें ना तो वन वन

प्रूव करना है ना ही ऑनटू प्रूफ करना है। अब यहां से तो मैं y की वैल्यू भी नहीं निकाल पा रहा हूं। पहला पॉइंट तो यही है। मैं यहां पे y की वैल्यू मैं यहां पर y की

वैल्यू तो निकाल ही नहीं पा रहा हूं। निकाल पा रहा हूं। नहीं निकाल पा रहा हूं। तो यहां पर मैं d का फार्मूला लगाऊंगा। b²

देखो ये x² है। ये x है। तो b क्या हो गया? -1² - 4ac a क्या है? a क्या है? a

गया? -1² - 4ac a क्या है? a क्या है? a

क्या है? देखो a है बेटा मेरा y और c क्या है बेटा मेरा? c क्या है? y तो d जो आया

वो 1 - 4y² आ गया। d जो आया वो 1 - 4y² आ गया। अब मुझे बताओ ये कह रहा है ना y कोई भी रियल नंबर हो

सकता है। देखो y कह रहा है कोई भी रियल नंबर हो सकता है। अगर मैं y को वन भी पुट कर देता हूं। इफ

y = 1 पुट कर देता हूं। तो d की वैल्यू जो आती है वो बच्चों मेरी -3 आ जाती है। व्हिच इज नॉट पॉसिबल।

तो यानी यानी अब समझ में आ रही है मेरी बात जो मैं आपको समझाना चाह रहा था कि यह जो रेंज है ये जो रेंज है यही ठीक नहीं है। ये जो कोड डोमेन दिया हुआ है ये जो

कोड डोमेन दिया हुआ है ये ही ठीक नहीं है। क्यों? क्योंकि d को अगर मैं y की जगह कोई

क्यों? क्योंकि d को अगर मैं y की जगह कोई भी रियल नंबर पुट करता हूं। क्वेश्चन में लिखा है कोई भी रियल नंबर। तो इफ y = लेट्स से वन तो मैंने वन पुट किया तो मेरा

आंसर -3 आ गया। चेक कर लो ना वन पुट किया तो मेरा आंसर -3 आ गया वि इज नॉट पॉसिबल वि इज नॉट पॉसिबल व्हिच इज नॉट पॉसिबल तो

देयर फॉर जो हमारा fx है वो हमारा नॉट इज नॉट ऑनटू हमारा जो fx है वो ऑनटू नहीं है

हमारा जो fx है वो नॉट ऑनटू है। हां जी। कह रहा है ऊपर मोड नहीं था। कहां नहीं था भाई? ऊपर मोड नहीं था। हां। ऊपर मोड नहीं

भाई? ऊपर मोड नहीं था। हां। ऊपर मोड नहीं था तो यहां पे प्लस ही रहेगा। अगर ऊपर मोड होता तो चेंज होता ना। ऊपर तो पॉजिटिव ही

रहेगा। ऊपर मोड नहीं था तो वो प्लस ही रहेगा। ठीक है जी। केस टू घर पे कर लेना। ठीक है ना?

ठीक है जी। अब बच्चा कह रहा है यहां प्लस आएगा। कैसे प्लस आएगा भाई? अब ये भी बात कर लेते। क्या है? देखो यार।

कैसे प्लस आ रहा है भाई? कैसे प्लस आ रहा है तुम्हारा? या तुमको तो मुझे 10थ भी

है तुम्हारा? या तुमको तो मुझे 10थ भी पढ़ानी पड़ रही है। a की वैल्यू क्या है यहां पर? a की वैल्यू। x² का पड़ोसी। a है

यहां पर? a की वैल्यू। x² का पड़ोसी। a है y। ठीक है जी? b की वैल्यू क्या है? x का

पड़ोसी। यानी वो क्या है? -1 और c की वैल्यू क्या है बेटा? y यही तो है। तो फार्मूला क्या होता है हमारा? b² - 4ac

होता है। b² 1 हो गया। - 4ac ac तो 1 - 4y² आएगा ना? प्लस कहां से आ रहा है? प्लस

कैसे आ रहा है बेटा? बोलो।

हां जी। क्लियर है? जी। हां। तो अब कह रहे हैं y को अगर जीरो रखा। भाई भाई मैं कह रहा हूं ना तुम ऐसे मुझे 1000 ऑप्शन दे दो जहां पर ये ट्रू आ रहा है। मुझे एक ऐसा ढूंढना है जहां ये ट्रू नहीं

आ रहा। मैं 10,000 बार ये बात बोल चुका हूं आज। तो हमें प्रूव करना है कि वो नहीं है। तो मुझे एक एग्जांपल चाहिए। तुम 10 ऐसे एग्जांपल मत ढूंढो जहां वो हो रहा है।

तुम एक ऐसा एग्जांपल ढूंढो जहां वो नहीं हो रहा। समझ में आ गई बात? सही है जी। ये कहानी है। तो एक क्वाड्रेटिक इक्वेशन का डिस्क्रिमिनेंट निकाला जो कि 10थ में सी

का था जो कि 10थ में सी का था। ये चैप्टर खत्म हुआ मेरा। ये चैप्टर खत्म हुआ। अब जो क्वेश्चन हमने किए हैं ना वो ओजी लेवल के क्वेश्चंस हैं। ये सारे ओजी लेवल के

क्वेश्चन है। कमजोर दिल वाले ना करें इसे। है या जी?

यहां तक सब समेट लोगे कल बैठकर घर पर। यह जितने भी मैंने 43 पेज करा दिए यहां तक सब समेट लोगे क्या? समेट लोगे क्या? तीन हर्ट

दे दो। इसको समेटना जरूरी है। एनसीआरटी लगानी जरूरी है। उसके बाद उसके बाद यह पीपीटी लगानी जरूरी है या पहले पीपीटी फिर एनसीआरटी फिर एक असाइनमेंट दूंगा कल

टेलीग्राम पर वो कर लेना। इसके अलावा कुछ करने की नीड नहीं है। सात और आठ के मैराथॉन जरूर देख लेना क्योंकि कुछ क्रीम क्वेश्चन कुछ क्रीम क्वेश्चंस मैंने वहां के लिए बचा के रखे हुए हैं। समझ आ गई बात?

तीन हर्ट दो भाई फटाफट। बोलो भाई तीन हर्ट दे दो मेरे प्यारे बच्चों। फिर हम आगे बढ़ते हैं ब्रेक की तरफ। ठीक है ना? तो जैसे वादा किया था कि एक चैप्टर के बाद ब्रेक मिलेगी। अब यहां

पर मैं आपको एक ब्रेक देने वाला हूं इनवर्स ट्रिग्नोमेट्री की। 5-7 मिनट की ब्रेक बोली थी। लेकिन वह थोड़ी बढ़ा देते हैं क्योंकि ऑलरेडी हमको 3/5 घंटे हो गए। ठीक है ना? तो हम 10 1 मिनट की ब्रेक ले

रहे हैं और 10 मिनट आप तब तक कुछ खा लो। हम भी आज फिर वही हमारी जो ट्रेडिशन है वो लेकर आए हैं यहां पर बनानाज़। ठीक है जी।

हां जी। तो ये हम 10 मिनट का एक ब्रेक दे देते हैं। 10 मिनट्स का एक ब्रेक रहेगा। और इसके बाद हम चलेंगे इनवर्स ट्रिग्नोमेट्री। जितनी देर आपको इस चैप्टर

में लगी हो उसमें इनवर्स में नहीं लगेगी। क्योंकि मैं इसके क्वेश्चन थोड़े कम लाया हूं। क्यों? कल भी हमको पढ़ना है। कल

हूं। क्यों? कल भी हमको पढ़ना है। कल चैप्टर फाइव और चैप्टर कल क्या हो रहा है?

चैप्टर फाइव हो रहा है ना? कल चैप्टर फाइव में भी हम बहुत से क्वेश्चन इनवर्स ट्रिग्नोमेट्री के करते हैं। आपको पता ही है डेरिवेटिव में तो सीधा-सीधा इस्तेमाल होता है इसका। तो आज इसके क्वेश्चन कम है। इसके क्वेश्चन कम है। अब देखो अभी कितने

हो गए? 43 हो गए। तो लगभग 60 पेज बचे हैं।

हो गए? 43 हो गए। तो लगभग 60 पेज बचे हैं। 60 में दो चैप्टर हैं। तो लगभग 40 स्लाइड अभी इसकी और आएगी। 40 स्लाइड के बाद 20 22 स्लाइड जो है हमारी एलपीपी की है। तो देखो

यार हम यह कैलकुलेट कर ही क्यों रहे हैं?

1:00 बज जाएगा रात का। क्या हो जाएगा? तीन

चैप्टर तो खत्म हो रहे हैं मेरे। शुरू कर रहे हैं ब्रेक। डन। ठीक है जी। ब्रेक खत्म। 15 मिनट बाद। 12 मिनट की नहीं है। रुक जाओ। रुक जाओ रुक जाओ। 10 मिनट की ब्रेक है।

इनवर्स ट्रिग्नोमेट्रिक फंक्शन फटाफट से आ जाओ और मैं देख पा रहा हूं यार तुम लोगों ने अभी भी इवेंट लाइक नहीं कर रखा देखो भाई एंग्री हो जाऊंगा ूंगा मैं फिर

एंग्री एंग्री हो जाऊंगा मैं एंग्री इवेंट को लाइक करेंगे फटाफट से

हां जी हम चलो जी तो भैया ध्यान से सुनो बच्चे अभी मैं देख रहा था मैं जब बाहर

बालकनी में खड़ा हुआ था छत पर खड़ा हुआ था मेरा स्टूडियो छत पर है ठीक है ना तो जब मैं तो बच्चे कह रहे थे कि यार सर ने तो 3 घंटे सिर्फ एक ही चैप्टर में लगा दिए। तो

यह तो यह यह अच्छी बात है या बुरी बात है?

मतलब समझ नहीं आई। क्या चाहते हो मैं 7 घंटे में पूरी की पूरी किताब खत्म कर दूं?

वो वाला टीचर नहीं भाई। ठीक है ना? तो मैं

चाहता हूं कि अगर हम एक बारी पढ़ रहे हैं। लास्ट टाइम पढ़ रहे हैं ना इस चैप्टर को। तो थोड़ा डिटेल में पढ़ लें कि ताकि जब आप क्वेश्चन लगाने जाओ तो आपको हर एक वैरायटी के क्वेश्चन लगाने आ जाए। अब जो मैंने

स्टार्टिंग में आपको पॉइंट टू रिमेंबर दिए थे उसके ऊपर बेस्ड क्वेश्चन नहीं कराए। क्यों? क्योंकि वो फार्मूला लगाना है,

क्यों? क्योंकि वो फार्मूला लगाना है, आंसर पाना है। जहां दिमाग लगना है वो वाले क्वेश्चन करा लो। क्या समझे? तो मैं तो थोड़ा चाह रहा था कि मैं हर एक बच्चे को

डिटेल में पढ़ा लूं। ना भाई इवेंट अभी भी लाइक नहीं हुआ भाई। मजा नहीं आ रहा। तीन हर्ड दो। शुरू करेंगे। आशु सर को बुलाएंगे अभी थोड़ी देर बाद। तीन हर्ड दे दो। शुरू

करेंगे मेरे प्यारे बच्चों फटाफट से। इनवर्स ट्रिग्नोमेट्रिक फंक्शनंस ट्रिग्नोमेट्रिक फंक्शन का इनवर्स

उससे पहले सीखना पड़ेगा क्या एक फंक्शन का इनवर्स क्या होता है? ठीक है ना? फिर

ट्रिग्नोमेट्रिक फंक्शन का इनवर्स आएगा। क्लास क्लास 11th का ट्रिगो आना चाहिए। सर, यह तो नहीं आता हमको। हां हां क्लास 11th का

ट्रिगो आना चाहिए, बेटा। क्लास 11th का ट्रिगो आना चाहिए। हां जी। क्लास 11th का ट्रिगो आना चाहिए। आओ देखेंगे। कह रहे हैं

जी फंक्शन का इनवर्स निकालना है। एक फंक्शन का इनवर्स कब निकलेगा? आओ जी। सवाल ये है सवाल ये है कि इसको पहले मारो।

मच्छर को मारो पहले। कह रहे हैं इनवर्स ऑफ़ अ फंक्शन। अ फंक्शन इज़ इनवरर्टिबल इफ एंड ओनली इफ इट इज़ बजेक्टिव।

यानी अगर एक फंक्शन वन वन भी है और ऑनटू भी है। अगर एक फंक्शन लो भाई बे हत्या हो

गई यहां तो। हां जी। मैं क्या कह रहा था यार? मैं क्या कह रहा था? एक फंक्शन इनवरर्टिबल कब होगा?

था? एक फंक्शन इनवरर्टिबल कब होगा?

इनवरर्टिबल कब होगा?

उसका इनवर्स कब निकाल पाऊंगा? जब वो

बजेक्टिव होगा। यानी जब वो वन वन भी होगा और जब वो ऑनटू भी होगा। तो मेरे सामने एक फंक्शन आया। इन्होंने कहा कि चैप्टर का नाम रख दिया

इन्होंने इनवर्स ट्रिग्नोमेट्रिक फंक्शन। अब इनवर्स ट्रिग्नोमेट्रिक फंक्शन के लिए फंक्शन का इनवरर्टिबल होना भी तो जरूरी है ना। भाई पहले इससे पूछ तो लो कि ये इनवर्स

होना चाहता भी या नहीं चाहता या ये हो पाएगा भी नहीं हो पाएगा। तो जैसे मैंने यहां पर x की जगह 0 पुट किया तो आंसर आया sin 0 0 आ गया और जैसे ही मैंने π पुट

किया तो भी मेरे प्यारे बच्चों sin π की वैल्यू ज़ीरो आ गई और जैसे ही मैंने बच्चों 2π पुट किया तो मेरे sin 2π की वैल्यू भी

ज़ीरो आ गई। तो यार ये फंक्शन तो मैनी वन फंक्शन है। ये फंक्शन तो मेनी वन फंक्शन है। अगर मैं बात करूं ये इसकी डोमेन होती

है कोई भी रियल नंबर और इसकी जो रेंज होती है वो होती है -1 से वन। तो अगर मैं ये वाली डोमेन और ये वाली रेंज

का इस्तेमाल करता हूं। रेंज तो चलो अलग बात है। मैं इस डोमेन पर चेक करता हूं तो ये फंक्शन इनवरर्टेबल नहीं है क्योंकि ये वन वन ही नहीं है।

लेकिन भैया उनको तो चुल थी। उनके तो कीड़ा था। उनको बनाना था चैप्टर। वो तो चाह रहे थे कि बच्चे रोएं।

2 मार्च को बैठ के रोए रात को 9:00 बजे 10:00 बजे। उषा से पढ़े। इनवर्स ट्रिग्नोमेट्री बनाना ही बनाना है। आगे नहीं बढ़ पाऊंगा मैं। बच्चों को रौंदना है

विचारों को। तो उन्होंने कहा जबरदस्ती इसका फंक्शन इस फंक्शन को इन्वर्टिबल बनाते हैं। बनाओ भाई जैसे मर्जी बनाओ। हमें लेना देना नहीं। तो उन्होंने क्या

किया? इसकी डोमेन अभी आप कुछ भी पुट कर पा

किया? इसकी डोमेन अभी आप कुछ भी पुट कर पा रहे हो। कह रहे यार अगर मैं कुछ भी पुट कर पा रहा हूं तो ये वन वन नहीं है ना। अगर मैं इसको रिस्ट्रिक्ट कर दूं तो उन्होंने

डोमेन को ना रिस्ट्रिक्ट कर दिया। वो कहते हैं डोमेन को हम पुट करेंगे -π / 2 से π / 2 के बीच में। इसके बीच में अगर आप कुछ भी पुट करते हो

ना तो ये फंक्शन इनवरर्टिबल होना शुरू हो जाएगा क्योंकि ये बजेक्टिव हो जाएगा। कह रहे डोमेन ये रख दो। रेंज यही रख दो। अब

जो हमारा fx = sin x हो जाएगा ना वो बजेक्टिव हो जाएगा। चलो जी जब रन काम हो गया। अब ये इनवरर्टेबल फंक्शन बन गया। अब

फंक्शन का इनवर्स क्या होता है भैया?

फंक्शन का इनवर्स ये होता है?

हां जी। फंक्शन का इनवर्स क्या होता है कि जब डोमेन रेंज बन जाती है और रेंज डोमेन बन जाती है उसको बोलते हैं फंक्शन

का इनवर्स। यानी अभी क्या है? y की वैल्यू इन टर्म्स ऑफ़ x है। तो x की वैल्यू इन टर्म्स ऑफ़ y निकाल लो। sin इनवर y ये बन

जाएगा इनवर्स। जो डोमेन जो रेंज है वो डोमेन बन जाएगी। डोमेन जो है वो रेंज बन जाएगी। अब सर इतनी डेप्थ की नीड नहीं है क्योंकि हमारे पेपर हफ्ते बाद पेपर है।

अगर आप मेरा इनवर्स ट्रिग्नोमेट्री फंक्शन का वन शॉट देखोगे तो पहले 20-25 मिनट तो मैंने इसी बात को समझाया है ग्राफ बनाकर। आज मैं उसको स्किप कर रहा हूं। मैं आता

हूं सीधा इस पर जो आपको याद करना है जो आपको रट लेना है। अभी फिलहाल सबके पीछे कारण होता है मेरे प्यारे बच्चों। लेकिन अभी हम कारण देने तो नहीं बैठे यहां पर।

तो डोमेन एंड रेंज ऑफ इनवरर्टेबल जो इनवर्स होता है। तो जैसे एक sin इनवर्स फंक्शन है तो उसकी डोमेन ये हो जाएगी और रेंज ये हो जाएगी।

इसको हम प्रिंसिपल ब्रांच भी कहते हैं। क्या कहते हैं बेटा? प्रिंसिपल ब्रांच।

इसको याद रख लो। एक नंबर का क्वेश्चन तो आपको यहीं से मिल जाएगा। एजशन हो, रीजन हो या एमसीक्यू हो। हां जी।

कह रहे हैं sin इनवर्स x है -π/2 के π / 2 के बीच में आंसर आना चाहिए। cos का 0 से π के बीच में आंसर आना चाहिए। cosec का ये आंसर आना चाहिए। ज़ीरो कभी भी नहीं आ सकता। ऐसे इसको आपको याद रखना है। ज्यादातर याद

रखना है आपको प्रिंसिपल ब्रांच कि जो हमारा उत्तर आएगा वो कैसे आएगा। बात समझ में आ गई? बात समझ में आ गई? चलो। तो अब कहानी यहां पर ये है मेरे प्यारे बच्चों।

हम कहानी यहां पर ये है मेरे प्यारे बच्चों। क्या कह रहे हैं? आगे देखेंगे। आगे देखेंगे। अच्छा इसके ग्राफ पे बाद में

आएंगे। तो अब क्या है कि एक फ़ूला होता है sin इनवर x sin इनवर sin x या sin sin इन1 x ये किसी भी ट्रिग्नोमेट्रिक फंक्शन पर

अप्लाई करेगा। तो ये sin से sin इनवर्स कैंसिल हो जाता है। काटना नहीं है। तो हमारा x आ जाएगा। मतलब जो एंगल होगा ना वो हमारा आंसर आ जाएगा। मतलब ऐसा है। कहीं

लिखा है sin ^ (-1) sin(pi) / 2 तो हमारा आंसर आ जाएगा p (pi) / 2. कहीं

लिखा है sin ^ (-1) sin π / 6 तो मेरा आंसर आ जाएगा π / 6. कहीं पर लिखा है sin

ब्रैकेट में sin इनवर 2π / 3 तो मेरा आंसर 2π / 3 नहीं आ सकता। क्यों? ये 2π/ 3 मेरी प्रिंसिपल ब्रांच के बीच में लाई नहीं कर

रहा। मैं तभी sin से sin इनवर्स काट सकता हूं। tan से tan इनवर्स काट सकता हूं। sec से sec इनवर्स काट सकता हूं। जब मेरा आंसर

इन्हीं के बीच में आएगा। यानी अभी क्या है कि ये जो है ना π / 2 ये बिलोंग कर रहा है -π / 2 से π / 2 क्लोज ब्रैकेट में। ये

बिलॉन्ग कर रहा है -π / 2 से π / 2 के क्लोज ब्रैकेट में। लेकिन ये बिलोंग नहीं कर रहा -π/2 से π / 2 के क्लोज ब्रैकेट

में। तो मतलब ये फार्मूला या ये कांसेप्ट आप तभी लगा सकते हो जब x अपनी प्रिंसिपल ब्रांच में हो। ठीक है जी? चलो इसको हटा

देता हूं। फिर ये कुछ फ़ूले हैं। अगर हमारा sin इनवर्स का एंगल नेगेटिव आ गया तो माइनस बाहर आ जाएगा। सेम tan का सेम cosec का माइनस बाहर आ जाएगा। लेकिन अगर मैं

cos, cot और sec की बात करूं एंगल माइनस में तो बाहर पाई माइनस लग जाएगा। इसको याद रखना है। फिर कुछ पॉइंट टू रिमेंबर है। जब क्वेश्चन आएंगे मैं तब आता हूं इसके ऊपर।

और ये वाले कुछ चीजें हैं जो याद कर लो जो कभी-कभी काम आ जाएंगी। खास करके चैप्टर नंबर फाइव में काम आएंगी। तो ये चैप्टर ऑलरेडी फार्मूला बेस्ड है। कुछ फ़ूले और जो होंगे मैं यहां लगा दूंगा। जो पुराने

फॉर्मूले हैं। चांसेस कम है इसके ऊपर क्वेश्चन बनने के। लेकिन मैं क्वेश्चन लेकर आया हूं कि अगर बन गया क्वेश्चन तो आपको फार्मूला आना चाहिए क्योंकि ओल्ड एनसीईआरटी और न्यू एनसीईआरटी में कंफ्यूजन है। मैंने बच्चों के प्री बोर्ड के

क्वेश्चन देखे हैं। वहां पर न्यू एनसीईआरटी से क्वेश्चन तो है ही है। पुरानी एनसीईआरटी को भी कंसीडर किया गया है। तो यहां पर ये तीन आपको आइडेंटिटीज

याद कर लेनी है। सही है जी? ओके। ओके।

मेरी बात समझ में आ गई है ना मेरे प्यारे बच्चों?

मेरी बात समझ में आ गई है ना? एक बारी

इसको भी देख लेते हैं। यह हमारा sin x का ग्राफ होता है। मेरा मन कह रहा है कि ग्राफ का क्वेश्चन एक बन सकता है। तो आप अपनी एनसीआरटी से ना आप एनसीईआरटी से सारे

के सारे ग्राफ को एक बारी वॉच करके जरूर जाना। सारे के सारे ग्राफ को ना एक बारी वॉच करके जरूर जाना। क्योंकि मैं पिछले कई प्री बोर्ड्स में देखा है कि कुछ प्री

बोर्ड्स के अंदर ये क्वेश्चन पूछा गया है। तो मेरा मानना और केवी के स्कूल के अंदर भी टीचर्स ने बोला है कि ग्राफ इजेंट। तो भैया बार-बारी एक तवज्जो जब दे रहे हैं

केवी के कुछ टीचर्स जो हमारे ज़ोन में है। बच्चे बता रहे थे ग्राफ बार-बार मैम एक ही बात बोल रही हैं। इंपॉर्टेंट है। बनाने को नहीं आएगा। इससे रिलेटेड वन मार्कर टू मार्कर क्वेश्चन बनेगा। तो जैसे क्या होता

है? sin x का ग्राफ ये होता है। इसको ऐसे

है? sin x का ग्राफ ये होता है। इसको ऐसे उठा के यूं कर दो। तो ये sin इनवर्स का बन जाएगा। डोमेन रेंज बन जाएगी। रेंज डोमेन जो अभी आप x पे लिख रहे हो वो y पे लिख

देना। जो आप y पे लिख रहे हो वो x पे लिख देना और ऐसे बना लेना। सेम काम हां जी। हां जी। बोलो बोलो बोलो। जो सेम काम है

यही आपको हर ये sin का है और ये sin इनवर्स का है। ठीक है ना मेरे प्यारे बच्चों? ऐसे ही बाकियों के भी एक बारी वॉच

बच्चों? ऐसे ही बाकियों के भी एक बारी वॉच करके जाओगे। करके जाओगे कि नहीं जाओगे?

बोलो भैया। तीन हर्ट दे दो। करके जाओगे कि नहीं जाओगे? फिर मैं क्वेश्चन शुरू कर रहा

नहीं जाओगे? फिर मैं क्वेश्चन शुरू कर रहा हूं अपने। सीधा ताबड़तोड़ क्वेश्चन है। बीच में कोई कांसेप्ट नहीं आएगा इससे रिलेटेड। और जितने भी 11th स्टैंडर्ड के बेसिक फॉर्मूलेज़ हैं वो आने चाहिए। आफ्टर

स्कूल टू कॉलेज का गेम आना चाहिए। ऑब्वियस सी बात है। मैं सब कुछ 11th तो यार ट्रिगो की रिवाइज कैसे करा दूंगा यार? हां जी।

कह रहे हैं देखो प्री बोर्ड जबलपुर जबलपुर रीजन में भी यह आया था। तो मैं कह रहा हूं हमारे पास इतनी इंसाइट्स होती हैं। ऑफलाइन सेंटर पढ़ाने का एक फायदा यही होता है कि

हमको इतनी इंसाइट्स पहले ही मिल जाती हैं टीचर्स द्वारा स्टूडेंट्स द्वारा कि ये एक्सपेक्टेड है। ठीक है ना? ये एक

एडवांटेज तो मैं लेकर जी रहा हूं क्योंकि मैं ऑफलाइन पढ़ा रहा हूं। ये एडवांटेज तो है मेरे पास। तो वो एडवांटेज का फायदा आप भी उठा लो। तो मुझे ऐसा लग रहा है कि ग्राफ ना आ जाए। अब आएगा तो ये रील काट

देना वरना छोड़ देना। ठीक है? ओके। डन है ना? डन है ना? चलो।

ना? डन है ना? चलो।

बहुत ही बढ़िया। आगे बढ़ेंगे। तो सीधा-सीधा क्वेश्चन पर आते हैं। ऐसे क्वेश्चन जो हमारे वो टेबल वाले जो आपको याद होने चाहिए। जैसे ये क्वेश्चन है। बहुत सिंपल क्वेश्चन है। कह रहे हैं tan

इनवर्स वन है। अब tan में वैल्यू वन कब होती है? बेटा tan में वैल्यू वन होती है।

होती है? बेटा tan में वैल्यू वन होती है। tan π / 4 पर होती है। cos का एंगल नेगेटिव आ गया। तो π - cos ^ -1 cos में

वैल्यू 1/2 कब होती है? π/3 पर होती है। sin का एंगल नेगेटिव आ गया। तो sin इनवर्स

यह आ जाएगा बेटा sinπ/6 पर आ जाएगा। हां जी। ठीक है जी। तो यहां पर आ गया π /

4 यहां पर आ गया π - π / 3 यहां पर आ गया -π / 6. अब एक एलसीएम ले लो। बढ़िया सा 12

यह आ गया भैया 3π यह आ गया भैया 12π यह आ गया 4π और यह आ गया 2i तो 15 में से छ

जाएंगे 9π 9π / 12 यानी 3π / 4 सही है जी बेटा ग्राफ कराने वाली चीज नहीं है आपको ऑब्जर्व करने वाली चीज है मैं हजार बारी भी कराऊंगा आपको समझ नहीं आएगा

आप ऑब्जर्व करो एनसीईआरटी के अंदर बेटा मैं खुद इंपॉर्टेंट कह रहा हूं और मैं खुद नहीं करा रहा तो मैं कंट्राडिक्ट कर रहा हूं ना लेकिन लेकिन मुझे पता है कि ग्राफ देखने वाली चीज है। आप देखोगे एक बारी पेंसिल स्केल से बनाओगे तो हो जाएगा।

ट्रस्ट तो करो अभी तो चारप दिन है। नहीं होगा तो दोबारा बता देना बेटा। 7 तारीख को बता देना। ठीक है ना? चलो इसका जवाब बताएंगे मेरे प्यारे बच्चों। तब तक मैं इस मच्छर का ना थोड़ा सा अंतिम संस्कार करके

आता हूं। कहां गया? देखा सुन के भाग गया। चलो जल्दी

कहां गया? देखा सुन के भाग गया। चलो जल्दी बताएंगे मेरे प्यारे बच्चों। हां जी। केस स्टडी कब कराओगे? अरे बेटा

पहले ये तो कर ले जो सामने है तेरे ये तो कर ले तुमने तो इंक्वायरी डेस्क बना दिया इसको

π / 3 2sin sin π / 6 आ गया तो ये आ गया π / 3 और ये

आ गया 2π / 6 यानी π / 3 तो आंसर आ गया भैया 2π / 3 बहुत ही बढ़िया है। अब ये क्वेश्चन है। अब देखो मैं इसको ना डायरेक्ट नहीं काट सकता। क्या है? अभी तक

आप इसको ना डायरेक्ट काट रहे थे। चेक करो। आपने cos से cos इनवर्स काट दिया था। क्यों? क्योंकि π/3 इसके ही प्रिंसिपल

क्यों? क्योंकि π/3 इसके ही प्रिंसिपल ब्रांच में आ रहा है। चाहिए सर। हां सर। आप चाहिए ना सर। सर आपने वादा किया था। जो वादा किया वो निभाना पड़ेगा

सर। सर आए थे भाई देखने के लिए। अरे सर अकेले बड़े यहां तो नमस्कार बच्चों। क्या हाल-चाल है? आई होप आप सबकी मैथ्स की तैयारी बढ़िया चल रही हो यार। लव यू। और सबकी तरफ से

शुक्रिया सर और केमिस्ट्री का पेपर मैं केमिस्ट्री के पेपर में डिस्कशन के लिए इसलिए नहीं आया क्योंकि मैंने देखा था कि पेपर बहुत ही एवरेज आया था और मैंने कहा कि यार ये भी फ्लेक्स करना बहुत बेवकूफी

हो गई कि अगर मैं आके बोलूं कि मैंने जो पढ़ाया वही आया क्योंकि अगर आपने ढंग से एनसीईआरटी भी की होती तो भी पेपर बहुत ही रद्दी आया था। तो बहुत अच्छी बात है कि

आपके दोनों फिजिक्स और केमिस्ट्री दोनों के पेपर अच्छे आए। फिजिक्स का थोड़ा सा ज्यादा मुश्किल था एज़ कंपेयर टू केमिस्ट्री। बट ठीक है। आई होप मैथ्स का पेपर भी आप सबका ऐसा ही है। बाकी मेहनत तो सर कर ही रहे हैं। क्या बात है भाई। ठीक

है। तो बहुत दिल और दिमाग से सर भी यही कह रहे हैं कि मेहनत तो सर कर रहे हैं। बच्चे नहीं कर रहे हैं। नहीं मतलब बच्चे बच्चे लैग लैग ही लैग ही कह रहे हैं।

सर लैग वालों के ऊपर खैर कोई नहीं। मैं कह तो रहा हूं कि सर ने तो अपनी लिमिट क्रॉस नहीं की। लेकिन मैं लिमिट क्रॉस कर दूंगा। तो अभी तक तो सर मीम पेजेस पे चल रहे हैं। मैं न्यूज़ में चलूंगा फिर। तो इसलिए बार-बार लैग मत बोलो।

बाकी चलिए बेटा आपको मैथ्स के लिए बेस्ट ऑफ लक और 7 तारीख को मिलते हैं साइंस एंड फंड डे 4.0 पे आप सभी बच्चों को आना है ध्यान रखना ठीक है चलो मिलते हैं लव यू ठीक है भाई

नहीं सर कुछ नहीं चाहिए खानावाना कुछ नहीं नहीं सर अभी तो ब्रेक हुई थी तो आ गया भैया 2π / 3 आगे बढ़ रहे हैं तो हम क्या कह रहे थे जस्टिफिकेशन आगे शुरू करते

हैं भैया क्या कह रहे थे हम कि मैंने इसको यहां से काट दिया तो π / 3 आया और π / 3 अपनी प्रिंसिपल ब्रांच में आ रहा था लेकिन अगर अगर मैं यहां करता हूं। tan से tan इनवर्स काटता हूं। tan की प्रिंसिपल

ब्रांच क्या होती है? ये मेरे को याद होनी चाहिए। देखो अब tan की प्रिंसिपल ब्रांच जो होती है ये रही वो आती है -π/2 से π / 2 ओपन ब्रैकेट होती है। तो अब ये तो -π /

2 से बड़ा है और π / 2 से भी बड़ा है। तो ये तो डायरेक्ट नहीं काट सकता। अब देखो अब इसको करने के कई तरीके हैं। आप पहले देखो 3π /

4 कहां पर लाई कर रहा है? 3π / 4 लाई कर रहा है सेकंड क्वाड्रेंट में और सेकंड क्वाड्रेंट में tan का आंसर नेगेटिव होता है। पहला पॉइंट। तो सेकंड क्वाड्रेंट की ट्रिक एक छोटी सी मैंने आपको बताई थी। वो

थी π - थीटा। यही थी ना बेटा? तो यहां आया tan इनवर्स tan यहां आ गया π - π / 4 ये मैंने आपको ट्रिक

कल भी बताई थी बेटा। ठीक है ना? तो अब

यहां पे देखो tan 180 - थीटा क्या होता है? tan 180 - थीटा होता है - tan थीटा

है? tan 180 - थीटा होता है - tan थीटा क्यों? क्योंकि यह सेकंड क्वाड्रेंट में

क्यों? क्योंकि यह सेकंड क्वाड्रेंट में लाई कर रहा है। अब कई बच्चे कहते हैं कि भैया हमको ना यह बात समझ में नहीं आती। वो क्यों नहीं आती? क्योंकि आपकी 11वीं वीक रह गई है।

अब ये तो एक प्रॉब्लम रहेगी बेटा। मैं फिर भी आपको ट्रिक दे रहा हूं। tan 180 - थीटा क्या होता है? - tan थीटा। अब tan का हमने आपको फार्मूला दिया था बेटा। साथ-साथ बताते हुए चल रहा हूं। tan का हमने आपको

फार्मूला दिया था। माइनस हो तो माइनस बाहर आ जाता है। तो इसका माइनस बाहर ले लो। इस तरीके से आप सारे क्वेश्चंस क्रैक कर

सकते हो। ये कट जाएगा तो आंसर आ गया -π/4 जो हमारा -π/2 से π / 2 के भीतर बिलॉन्ग कर रहा है। अब मेरा आंसर एकदम ठीक आया। तो

ये था कांसेप्ट। अब ऐसे ही sin 2π / 3 की बात करेंगे तो यहां पर भी अगर मैं गौर से देखता हूं तो ये अपने प्रिंसिपल ब्रांच में नहीं आ रहा है। और 2π / 3 इटसेल्फ कहां पर है? π - थीटा। सेकंड क्वाड्रेंट

में ही है बाय चांस। ऐसा नहीं है। अभी और क्वेश्चन नहीं आएंगे और भी आ रहे हैं अभी। तो ये आ गया sin यहां पर भी लिख दिया π - π / 3 क्योंकि ये होता है 120° और 120°

सेकंड क्वाड्रेंट में ही लाई करेगा। तो इसकी ट्रिक फिर वही है π - थीटा। ओके जी। तो अब यहां पर क्या है? sin इनवर्स। अब लेकिन sin 180 - थीटा जो होता है वो sin

थीटा ही होता है। क्यों? क्योंकि ये तो sin का अपना ही घर है। आफ्टर स्कूल टू कॉलेज तो पता ही होगा। ये sin और cosec का घर होता है। tan और cot का घर होता है। cos और sec का घर होता है। ये सबका घर

होता है। तो अब यहां से मेरा आंसर सीधा-सीधा आ जाएगा बेटा π / 3 जो कि मेरी प्रिंसिपल ब्रांच में लाई कर रहा है। बहुत ही बढ़िया। ठीक है जी। ओके। जो कि मेरी

प्रिंसिपल ब्रांच में लाई कर रहा है। क्या कह रहे हैं भाई?

बॉट अटैक हो गया क्या?

क्या हो रहा है यह?

ठीक है। अरे बॉट वालों थोड़े लाइक भी डाल दो यार इसमें। थोड़े से लाइक्स भी डाल दो यार प्लीज। स्क्रीनशॉट ले लेता हूं।

फ्लेक्स करूंगा। 34,000। ठीक है। ठीक है। 35,000 यार। तुम लेते रहना। स्क्रीनशॉट भेजते रहना। ठीक है जी। मैं क्या कह रहा हूं तुमको यार। नहीं पढ़े।

छोड़ दो यार। मैं इस सब मोह माया से बाहर आ चुका हूं। आ जाओ। आ जाओ। आ जाओ। ठीक है जी। हां, मैं यह मां कसम खा के कहता हूं। मैं अपनी बच्ची कसम खा के कहता हूं। यह बॉट्स हमने नहीं लगाए। इतना मैं तुमको

आश्वासन दे सकता हूं। ठीक है जी। अगर लगाने होते तो फिर मैं एक 3534 नहीं लगाता। फिर फिर मैं लगाता 1335 7 लाख लगाता। समझ रहे हो? समझ रहे हो? तो मेरा

कोई फायदा नहीं है इससे। मेरा फायदा नहीं है। मेरा बिजनेस जो होगा वो जो 7 8000 बच्चे पढ़ रहे थे उतने मैंने कमाए हैं। मेरे वो कमाए हुए बच्चे हैं। हां जी। चलो यार छोड़ो। अब देखो यार तुम ये बात मत

करो। मैं तुमको एक स्टोरी सुनाता हूं इसी बात पर 1 मिनट की। एक बच्चे को बोला गया कि बेटा ना पानी एक एक

स्टोरी मैंने देखी थी। एक बच्चे को बोला गया कि बेटा तू पढ़ाई क्यों नहीं कर रहा?

तो उसने कहा कि पापा बाहर ना बहुत ज्यादा डीजे बज रहा है। शोर बज रहा है। तो मेरा फोकस नहीं आ रहा। कंसंट्रेशन नहीं आ रहा। तो पापा ने कहा बेटा ध्यान लगा। छोड़ दे

उसको। आउट ऑफ फोकस कर दे। पढ़ाई पे फोकस करेगी तो वो तेरे को सुनाई देना बंद कर जाएगा। तो उसने कहा कि नहीं पापा नहीं आपको नहीं पता बहुत तेजते गाने बज रहे हैं। मैं डिस्ट्रैक्ट हो रही हूं। तो उसने

कहा चल जाके ना एक बारी एक गिलास पानी लेकर आ। तो वो किचन से पानी लेकर आई और गाना बज रहा था जिन्हें मेरा दिल लुटया। ओ हो जिन्हें तो वो गाते हुए आ गई। पापा ने

पूछा कौन सा गाना बज रहा? पापा ने उसने बता दिया कि भैया ये वाला गाना बज रहा था। पानी का गिलास थोड़ा खाली था। उसने कहा बेटा पानी को ना एकदम टिप तक भर के ले गया।

तो वह अंदर गई किचन में और पानी को एकदम टिप तक अप टू द ब्रिम भर लिया। और वो ऐसे फोकस से आ रही है। वो गिरना नहीं चाहिए पानी। तो वो ऐसे वो उसको एक टास्क दे

दिया। अब उसको कुछ सुनाई नहीं दे रहा कि कहने क्या बज रहे हैं। तो दिस इज़ द पावर ऑफ़ कंसंट्रेशन एंड फोकस। छोड़ दो इन सब चीजों को। पढ़ाई पे ध्यान लगाओ। इधर ध्यान

लगाओ। समझ रहे हो? समझ रहे हो? देखो मुझे

पता है। मुझे पता है तुम्हारा ध्यान वहीं होगा। तो यहां पर आ गया भैया π / 3 आ गया। यहां पर आ गया जी π / 3 चलो अब इसकी वैल्यू बताएंगे बेटा। हां जी इसकी वैल्यू

बताएंगे। cos इनवर्स cos 7π/ 6 cos इनवर्स cos 7π/ 6 की बात बताओ। तो ये डायरेक्ट तो नहीं काट सकता। अब 7π/6 कौन से घर पर आ गया?

देखो। ये आ गया यहां पर π + θ इधर वाले घर में आ गया। तो यहां आया cos इनवर cos

π + π/ 6 फोकस तो ये हो गया भैया cos इनवर्स cos 180 + थीटा फिर से - cos थीटा

ये फिर माइनस है तो यहां पर आएगा भैया - cosπ/ 6 आ गया क्या आ गया - cosπ/ 6 आ गया

बोलो भैया - cosi / 6 तो अगर cos इनवर्स -cosi / 6 है तो ये आ गया π - cosवर cosπ

/ 6 आ गया बेटा फार्मूला दिया था ना cos इनवर - x का अब

यहां पर आ गया π - π / 6 बोले तो 5π / 6 क्या आ गया बेटा π / 6 ये आ गया बेटा हम

क्या आ गया बेटा 5π / 6 आ गया 5π / 6 क्लियर है क्लियर है आगे देखेंगे ये तो कर जल्दी से कमेंट फेंक कर मारो यार जवाब। अब इसमें टाइम वेस्ट नहीं करेंगे ना हम।

लेकिन ये क्वेश्चन इंपॉर्टेंट होते हैं। ऐसे क्वेश्चन पीछे से आगे की तरफ किए जाते हैं। ये आ गया 2 cos 2sin

1 / 2 कब होता है बेटा? sin π / 6 पर होता है। कट गया। tan इनवर्स ये आया 2 cos 2π /

6 बोले तो π / 3 आ गया। अब cos में वैल्यू π / 3 कब है? 1/2 होती है। cos में π/3

cosπ/3 की वैल्यू 1/2 है। ये काट दिया। tan इनवर्स 1 कब होगा? ये बात आप जानते हो? π / 4 पर होगा। बी ऑप्शन आ गया। बहुत

हो? π / 4 पर होगा। बी ऑप्शन आ गया। बहुत बढ़िया। क्या कह रहा है जी? ये वाला

क्वेश्चन भी सेम इसी प्रकार से हो जाएगा। क्या लिखा है? sin ^ -1 π / 6 माइनस है। बाहर आ जाएगा। sin इनवर

sin π/3 sin इनवर π / 6 sin इनवर π / 6

ये ना बाहर इनवर्स नहीं होगा बेटा। बाहर इनवर्स नहीं होगा क्योंकि बाहर इनवर्स हो गया तो गलती हो जाएगी ना। बाहर इनवर्स नहीं होगा। बाहर sin ही होगा खाली तो ये

बाहर इनवर्स नहीं होने वाला क्योंकि वैल्यू नहीं निकलेगी ना। बाहर साइन होगा खाली 100% ये आ गया π / 6 और ये π / 3 विनर

सीरीज में भी मिस प्रिंटेड है। तो ये आ गया sin 2π / 3 हो गया। मतलब ऐसे कर लो ना ये आ गया हमारा π / 2 ये आ गया 60 और 90। अब sinπ / 2 की वैल्यू

क्या होती है बेटा? वन होती है। इसकी वैल्यू क्या होती है बेटा? वन होती है। तो यहां पर आ गया वन। यहां पर क्या आ गया बेटा? वन। यहां पर आ गया वन। चलिए बेटा

बेटा? वन। यहां पर आ गया वन। चलिए बेटा आगे। sin tan इनवर x sin tan इनवर x अब देखो tan को sin में कन्वर्ट करना आता है।

पंडित बद्री प्रसाद हर हर बोले सोना चांदी तोले आ जाओ मैं आपको सिखाता हूं। sin tan इनवर x की बात करोगे। बोलो भाई sin tan

इनवर्स x की बात करोगे तो आप क्या करो?

tan इनवर x को थीटा ले लो। तो मेरे x की वैल्यू क्या आ गई? tan थीटा।

x यानी x/1 तो x/1 आ गया कहीं ना कहीं p /b तो मेरा हाइपोटेन्यूज आ जाएगा p² + b²

तो अगर ये अभी अगर मेरा थीटा tan इनवर्स x था तो tan थीटा x / 1 आया लेकिन मुझे चाहिए sin तो मेरा sin थीटा क्या हो जाएगा

p / में हाइपोटेनस यानी मेरा थीटा जो हो जाएगा वो sin sin इनवर्स x/ x² + 1 आ जाएगा। चेक करो ना

बेटा। चेक करो ना बेटा। tan इनवर्स x अगर मेरा थीटा है। tan इनवर्स x अगर बच्चों मेरा थीटा है। ये समझो तो x / 1 हमारा tan

थीटा हो जाएगा। ये वहां चला गया। आपको पता है ना यह वहां जा सकता है। अगर sin इनवर x y के बराबर है

तो x आ जाएगा sin y ये इधर-उधर किया जा सकता है। ठीक है ना? तो x tan थीटा आ गया x / 1 tan क्या होता है? पंडित बद्री हर बोले p / b तो p आ गया। अगर x है b मेरा

वन है तो हाइपोटेनस ये आ जाएगा। sin थीटा p / h होता है। तो थीटा की वैल्यू ये आ जाएगी। तो अगर थीटा ये है तो थीटा ये भी है। तो मैं इसको रिप्लेस कर सकता हूं। तो

मेरा sin अंदर आ जाएगा sin इनवर्स x / y ऐसा आप कोई भी क्वेश्चन सॉल्व कर सकते हो तो मेरा आंसर ये आ जाएगा बेटा मेरा आंसर

ये आ जाएगा डी ओके बहुत बढ़िया बहुत बढ़िया बहुत बढ़िया मुझे मुझे यह जान के बहुत खुशी हुई कि आप लोगों ने उस बहुत कुछ

बच्चों ने ही उस बॉट्स पर ध्यान लगाया आपने इस पर ध्यान नहीं लगाया और आप पढ़ रहे थे थैंक यू वेरी मच थैंक यू आई लव आई लव यू ऑल। चलो अब इस क्वेश्चन पर बात करते

हैं। इस क्वेश्चन की बात करेंगे। अब इस क्वेश्चन के लिए ना देखो प्रिंसिपल ब्रांच कितना ज्यादा जरूरी हो जाता है बेटा हमारे लिए। देखो अभी हम लोगों ने प्रिंसिपल ब्रांच की बात की थी। तो इस प्रिंसिपल

ब्रांच के अंदर cos का जो प्रिंसिपल ब्रांच थी वो ज़ीरो से पाई थी। यानी कुछ भी कर लो दुनिया की कोई भी ताकत cos इनवर्स का आंसर π से ज्यादा नहीं लाएगी। पाई से

ज्यादा नहीं लाएगी। ठीक है ना? तो अगर मैं बात करूं इसका मैक्सिमम आंसर पाई हो सकता है। इसका भी मैक्सिमम आंसर π हो सकता है

और इसका भी मैक्सिमम आंसर π हो सकता है। तो देखो cos इनवर अलफा cos इनवर बीटा cos

इनवर गामा जो है वो 3π के बराबर है। यानी ये π + π + π के बराबर होगा। तो अगर मैं

बात करूं cos इनवरफा = π है तो अलफा की वैल्यू आ गई cosπ तो अलफा हो गया बेटा मेरा -1

भाई इन तीनों का जोड़ 3π कब बनेगा जब ये तीनों π होंगे π जोड़कर ही 3π बनेगा ठीक है ना तो बीटा की वैल्यू भी कितनी आ गई -1

और गामा की वैल्यू भी कितनी आ गई -1 अब आपको कुछ भी क्वेश्चन पूछ ले आप जवाब दे दोगे यहां पर आया देखो लिखो -1 -1 -1 फिर

यहां पर आया बेटा इधर भी -1 -1 -1 इधर भी आया -1 -1 -1 ये आ गया भैया हमारा टू ये कितना आ गया बेटा हमारा टू ये भी आ गया

टू और ये भी आ गया टू आंसर आ गया छह आप बच्चों ने पहले ही जवाब बता दिया था सी ऑप्शन शाबाश शाबाश मेरे प्यारे बच्चों आगे

बढ़ेंगे फाइंड द वैल्यू ऑफ़ K k की वैल्यू निकालनी है K की वैल्यू निकालनी है। sin इनवर्स दे रखा है। वहां जाकर ये हो जाएगा

sin देखो k tan 2 cos इनवर्स ये कब होता है? cos π / 6 पर होता है। और इधर जाके ये

है? cos π / 6 पर होता है। और इधर जाके ये sin वहां जाकर sin इनवर्स वहां जाकर sin

बन जाएगा। तो ये आया k ttan 2π / 6 और यहां पर आ गया sin π / 3 की वैल्यू 1/2।

sin π / 3 की वैल्यू 1/2 क्यों आई? 3/2 आई

इसको इससे काट दो तो k ttanπ / 3 k ttan π / 3 3/2 π / 3 की वैल्यू कितनी है भैया? 3/2 है।

tan π / 3 की वैल्यू क्या है भैया? 3/2

है। और यहां पर भी आ गया भैया 3/2 है। 2 से टू काट दो। क्या कर रहा है उषा? क्या

कर रहा है? यह आ गया भैया 3 आ गया। तो यहां पर यह टू तो रहेगा। इससे कट जाएगा। K की वैल्यू हाफ आ जाएगी।

बहुत बढ़िया। K की वैल्यू हाफ आ जाएगी। बहुत बढ़िया। आगे बढ़ेंगे। ओ तीन हर्ड बनते हैं भाई। इस क्वेश्चन के

तीन हर्ट बनते हैं। अब ये एमसीक्यू भाई। एम क्या लक्ष्य अभी कहां से आ जाएगा?

लक्ष्य इस समय लक्ष्य कहां होगा? लक्ष्य

इस समय कहां होगा बेटा? अभी हां जी। मैं क्या कह रहा हूं? मैं क्या कह रहा हूं? मैं क्या कह रहा हूं? यह क्वेश्चन 3

हूं? मैं क्या कह रहा हूं? यह क्वेश्चन 3 हर्ट डिमांड कर रहा है। यह क्वेश्चन है cos इनवर 5/3

/ 2 की ये क्वेश्चन है। क्या आपको tanθ / 2 का फार्मूला याद है? नहीं याद तो मेरे बच्चों

याद कर लो। ये आएगा बेटा। ये फार्मूला होता है tanθ / 2 कोई बच्चा बोले सर sinθ / 2 का भी लिख दो।

वो ये होता है मेरी जान। कोई कहेगा cosθ/2 का भी लिख दो तो वह यह लिख ले मेरी जान।

यह ऐसे आ गया। अब यहां पर हमें क्या करना है? लेट कर लो cos इनवर 5/3 को थीटा।

है? लेट कर लो cos इनवर 5/3 को थीटा। जिसका मतलब ये आ गया कि cos थीटा की वैल्यू आ गई 5/3

ठीक है ना? अब tanθ / 2 ये क्या बन गया बेटा? मेरा tan थीटा है डिवाइड बाय 2

बेटा? मेरा tan थीटा है डिवाइड बाय 2 जिसका फ़ूला वो लिख दिया 1 - cosheta 1 + cos थीटा और बाय चांस cos थीटा की वैल्यू

मुझे पता है वो है 5 / 3 ये सब्जेक्टिव भी आता है और यहां आ गया 1 + 5 / 3 बहुत ही

आनंद आ गया देखो 3 - 5 और 3 + 5 3 से थ्री कट गया एलसीएम लेने के बाद अब यहां पर अगर मैं रैशनलाइज़ करता हूं

तो यहां आंसर आता है 3 - 5 / में अपॉन में 2 आ जाता है। कैसे आया टू? ये भी बताऊं?

ये भी बताऊं। 9 - 5 4 होता है ना? फोर

बाहर आके टू हो जाएगा। तो ये मेरा आंसर आ जाएगा। ये मेरा आंसर आ जाएगा बी ऑप्शन। हां जी। हां जी।

बोलो बोलो बोलो। भाई मैंने ना इसको ना थीटा लेट कर लिया। मैंने इसको थीटा लेट कर लिया तो यह tanθ / 2 बन जाएगा ना। इसका फार्मूला ये होता है।

अगर ये थीटा है तो ये वहां जाकर cos थीटा की वैल्यू 5/3 आ गई। और इसके फ़ूले में भी cos थीटा है। तो मैंने cos थीटा की वैल्यू पुट करके सॉल्व कर लिया। अब इसको सॉल्व

करना तो तुम्हें आता है ना यार। इसके वैल्यू आ गई 3 - 5 / 2 रैशनलाइज़ेशन करने के बाद। बी ऑप्शन बी ऑप्शन कल के

असाइनमेंट में भी आपको यह एक आधा क्वेश्चन देखने को मिलेगा। चलो अभी ये वाले क्वेश्चन रुकते हैं जहां पर सिर्फ x की जगह कुछ पुट करना है। इनको हम एक साथ करेंगे। ठीक है ना? क्योंकि मैं

मुझे अभी कुछ पॉइंट टू रिमेंबर तुमको बताने हैं। रुक जाओ अभी। जैसे ये वाले क्वेश्चन में कुछ पुट नहीं करना। तो हम पहले वो वाले क्वेश्चन कर रहे हैं जिसके अंदर कुछ पुट नहीं करना। ठीक है ना? चलो

यह वाला क्वेश्चन हमारी ओल्ड एनसीआरटी का क्वेश्चन है। काफी इंपॉर्टेंट क्वेश्चन है। नथिंग टू वरी अबाउट। तो इसका एलएचएस

ले लो। आपको प्रूफ करना है ना 9π / 8 - 9π/4 sin इनवर्स 1 / 3 जैसे इसमें से 9/4 कॉमन

आ गया। क्या बचा? π / 2 - sin इनवर्स 1 / 3 बचा। आपकी आवाज नहीं आ रही। फिर आशु सर वाली

बात बेटा लीड गलत जगह लगा रखी है ना इन छेदों में डालना है थोड़ा बेसिक से करा दो लेट आए हो थोड़ा

बेसिक तो खत्म हो गया ये हो गया भैया cos इनवर 1 / 3 सर ये कैसे हो गया देखो अभी मैंने पीछे फार्मूला दिया

था sin इनवर थीटा + cos इनवर थीटा जो होता है वो π / 2 होता है। तो cos इनवर थीटा की

वैल्यू आ गई π / 2 - sin इनवर थीटा। तो मैंने उसकी जगह cos इनवर्स 1 / 3 पुट कर लिया।

इसकी जगह मैंने ये पुट कर दिया। अब मेरा आरएचएस कहता है कि भैया 9/4 9/4 मैच हो गया। लेकिन ये cos इनवर्स है और ये sin इनवर्स है। क्या मैं cos को sin में चेंज

कर सकता हूं? सर अभी तो कराया आपने पंडित बद्री प्रसाद हर हर बोले सोना चांदी तो अब आप यहां पर लेट कर लो cos इनवर 1/3 को

थीटा तो आपका cos तो यानी 1/3 हो गया बच्चों हमारा cos थीटा 1 / 3 हो गया हमारा बेस अपॉन में हाइपोटेन्यूज तो मेरा

परपेंडिकुलर कितना आ गया 9 - 1 यानी 8 बोले तो 2 2 तो भैया

तो भैया मेरा थीटा आ गया sin इनवर्स मतलब मतलब मतलब मतलब तो मेरे sin थीटा की वैल्यू पहले क्या आ गई sin थीटा

परपेंडिकुलर अपॉन में हाइपोटेनस यानी 2 2 / 3 आ गया थीटा आ गया भैया sin इनवर 2 2 / 3 देयर फॉर मेरा जो एलएचएस है ये वैल्यू

मैं यहां पुट करूंगा जो मेरा एलएचएस है वो आ जाएगा 9 / 4 sin इनवर 2 2 2 / 3 ये मेरा

आंसर है। ये मेरा आंसर है। हां जी। ये मेरा आंसर है। ये मेरा आंसर है। ओके डन। ये इसके अंदर मैंने कुछ भी नहीं

किया। बहुत आसान सा क्वेश्चन था। माइंड ब्लोइंग क्वेश्चन। तीन हर्ड दे दो भाई। तीन हर्ड दे दो। अगर टेढ़ा क्वेश्चन बनता है। इससे अगर थोड़ा सा भी टेढ़ा

क्वेश्चन बनता है ना तो यही क्वेश्चन बनेगा। देखो पहली बात तो क्वेश्चन के अंदर कुछ ना कुछ लोचा है। वह लोचा यह है कि

यहां पर tan गायब है। यहां पर tan गायब है। ये tan आए। यहां पर भी tan आएगा। ठीक है जी? यहां tan आएगा। तो tan देखो थोड़ी

है जी? यहां tan आएगा। तो tan देखो थोड़ी देर के लिए ना एक चीज कॉमन है। देखो ये और ये तंग कर रही है ना अभी। तो आप थोड़ी देर

के लिए लेट कर लो। 1/2 cos इनवर a / b को ना आप y लेट कर लो। तो मेरा क्वेश्चन बनता है tan

π/4 + y + tan π/4 - y ये बन गया बेटा मेरा एलएचएस। ठीक है जी? अब हमें 11थ स्टैंडर्ड का फार्मूला याद है। tan x + y

और tan x - y तो हमने यहां फार्मूला लगाया। देखो ये आता है tan tan x tan x + tan

1 - tan x tan 11th क्लास का फार्मूला इधर भी tan x - tan

1 + tan x tan आया 1 + tan x tan आया। आया कि नहीं आया? tan π/4 की वैल्यू वन होती है। 1 + tany

1 - tan ठीक है जी। ओके प्लस 1 - tany 1 + tany

सर एलसीएम ले लेते हैं। आ जाओ एलसीएम लेंगे। 1 - tany और 1 + tany

इधर आएगा 1 + tany का स्क्वायर इधर आएगा 1 - tany

इसका स्क्वायर होल स्क्वायर ओपन करेंगे a² + b² + 2ab प्लस इधर की बात करेंगे a²

+ b² - 2ab / a - b a + b 1 - tan²y

इससे ये कैंसिल हो गया। देखो क्या बचा?

ट्वाइस ऑफ 1 + tan²y अपॉन में 1 - tan²y अब यहां पर लगेगी तुम्हारी 11th क्लास की

सारी नॉलेज। अब देखो मैं तुमको फिर भी देखो इतनी बढ़िया तरीके से एक फार्मूला दे रहा हूं। cos 2 थीटा का फार्मूला होता था

1 - tan² थीटा / 1 + tan² थीटा यह फार्मूला याद है ना तुम्हें? cos 2 थीटा का चौथा फार्मूला होता था ये। तो यहां पर भी वही लग रहा है लेकिन उल्टा लग रहा है।

देखो यहां प्लस ऊपर है, माइनस नीचे है। जबकि मुझे माइनस ऊपर चाहिए, प्लस नीचे चाहिए। तो इसको उल्टा करना है। तो यानी ये 2 / cos 2y का फार्मूला बन गया बेटा। cos

2y का फार्मूला बन गया। चेक करो। ये बन गया cos 2y का फार्मूला। अपॉन में बन गया। तो अगर मैं बात करूं 2 cos 2y y क्या है

बेटा? अब देखो ये ये मेरा y था। ये मेरा y

बेटा? अब देखो ये ये मेरा y था। ये मेरा y था। मैं y की वैल्यू दोबारा पुट कर रहा हूं। 1/2 cos इनवर a / b

अब मैं काट सकता हूं। देखो टू से कट गया 2 / cos cos इनवर a / b cos से cos इनवर्स

भी कट गया। 2 / a / b ऊपर चला जाएगा। आंसर आ गया 2b / a या आ गया आरएचएस बोल दो ना भाई बोलो ना भाई तीन हर्ट दे दो ना भाई

तीन हर दे दो कितना प्यारा सवाल है यार ये बहुत प्यारा सवाल है जितने दिल दूं उतने कम है हां जी हम

बोलो भाई ब्रिलियंट क्वेश्चन है ब्रिलियंट क्वेश्चन है ब्रिलियंट तरीके से इसको पूरा करना है गौर से देखोगे इसके अंदर 95% जो

कंटेंट है वो 11 स्टैंडर्ड का कंटेंट है। सिर्फ इतना जो पोर्शन आया ना यह वाला पोर्शन ये 12थ स्टैंडर्ड का लगा cos से cos इनवर्स काटने वाला। बाकी स्टार्टिंग से लेकर एंड तक आई एम डूइंग 11 स्टैंडर्ड

की ट्रिग्नोमेट्री। ठीक है ना? 11थ स्टैंडर्ड की ट्रिग्नोमेट्री। बहुत ही बढ़िया। चलो अब ये वाला क्वेश्चन तुम लोग करोगे। क्या लिखा है? सॉल्व लिखा है। अब देखो ना बच्चे

लिखा है? सॉल्व लिखा है। अब देखो ना बच्चे गलती करते हैं ऐसे क्वेश्चनों में। दो प्रकार के क्वेश्चन है। एक है सॉल्व, एक है प्रूव। प्रूव में तो

सॉरी प्रूव में तो प्रूफ किया। सॉल्व में सॉल्व मतलब यू हैव टू फाइंड द वैल्यू ऑफ़ x। अब कुछ भी करो आपको। सॉल्व मतलब फाइंड x

x को फाइंड करो। करो। बच्चे कह रहे हैं हमें टाइम दो करने के लिए। लो सर। लो सर। वैसे तो बड़ा आसान था यार। अगर आपको टाइम चाहिए होता तो पीपीटी आप बस पॉज करना है

आपको। पॉज कर लो और सॉल्व कर लो और उसके बाद सॉल्यूशन देख लो 2x पर बराबर आ जाओगे और खुद से सॉल्व भी कर लोगे। थोड़ी अकल चाहिए बस।

कह रहे आशु सर आज आएंगे ना। अरे आ के निकल भी लिए तुम लेट हो गए। तुम पनीर की सब्जी खाते रह गए। क्या समझे?

अब देखो। यह आया 2tan इनवर्स x आया। हां जी। 2tan इनवर x आया।

अब यहां पर 2 tan इनवर्स x का फार्मूला लगाना पड़ेगा। अब ये वो क्वेश्चन है जो हमें ओल्ड एनसीआरटी की तरफ लेके जाते हैं।

ठीक है ना? अब 2tan इनवर x जो है उसका फार्मूला होता था 2x / 1 + x² यह फार्मूला होता था।

ठीक है ना? तो

2x / 1 + x² आया। ठीक है जी। अब यहां पर क्या फार्मूला बना? सॉरी मतलब tan इनवर्स भी आएगा। ऑब्वियस सी बात है। यहां आएगा

tan इनवर्स 2x / 1 + x² आएगा। ऐसे आया। ठीक है ना? तो इधर आया tan इनवर्स

2x / 1 + x² आ गया। = 0 है। अब वैसे देखा जाए तो sin वहां जाकर यह जो sin था या वहां ले जाकर sin

इनवर्स 0 बना सकते थे। sin इनवर्स 0 भी ज़ीरो ही होता है। सही है जी? sin इनवर्स 0 भी ज़ीरो होता है। अब यहां पे बचा भैया

हमारा 2 cos इनवर ये आया cot tan को ना cot में बदलना पड़ेगा। अच्छा माइनस होता है। सॉरी हां हां sin में आता है ना वह तो

1 सेकंड। कह रहे हैं माइनस होता है। अब यह फार्मूले हम यूज़ कर सकते हैं या नहीं कर सकते या ऐसे क्वेश्चन आ सकते हैं

नहीं आ सकते ये बड़ी कंफ्यूजन है अभी भी ना मुझे भी है। ठीक है ना? तो यहां पर आया। अब देखो tan को इस tan को cot में बदलना पड़ेगा। यहां पर cot इनवर्स लेकर आना

पड़ेगा। कैसे? फिर वही बात आ गई। tan

पड़ेगा। कैसे? फिर वही बात आ गई। tan इनवर्स 2x / 1 - x² को आप थीटा ले लो। तो

2x / 1 - x² को थीटा ले लो। ठीक है जी?

मतलब ये आ गया हमारा tan थीटा आ गया। तो ये आ गया हमारा परपेंडिकुलर आ गया 2x बेस आ गया 1 - x² तो हमारा हाइपोटेन्यूज क्या

आ जाएगा? आपको पता ही है। इसका स्क्वायर

आ जाएगा? आपको पता ही है। इसका स्क्वायर हो जाएगा a² + b² - 2ab + 4x² आ गया। तो

हाइपोटेनस आ जाएगा 1 + x 4 + 2x² यानी ये आ जाएगा 1 + x² 1 + x² तो यहां पर होता है

cot cot क्या होता है देखो ये हमारा हाइपोटेनस आ गया अबे यार मैंने खामखा मेहनत कर दी ना मैंने बहुत मेहनत कर दी ना इसकी तो नीड ही नहीं

है इसकी तो नीड ही नहीं है ना यार क्योंकि cot है तो tan का तो उल्टा ही हो जाएगा अगर मुझे इसको cot बदलना है तो बस यह तो उल्टा ही करना है ना हां मैं ज्यादा मेहनत

कर दी। देखो यह 0 आ गया। tan इनवर्स cot का तो उल्टा ही हो जाएगा ना। डोमेन मतलब यह उल्टा ही हो जाएगा ना। जो जो tan

इनवर्स x होता है वही cot इनवर 1 / x होता है। सही है जी। टू वहां जाकर भी नष्ट ही कर दो। कोई फायदा नहीं है। टू वहां जाकर

भी नष्ट हो गया। ये कट गया। क्या बचा? cos

^ -1 - x² / 2x आ गया और ये आ गया ज़ीरो और ये आ गया ज़ीरो। अब 1 - x² / 2x = ये आ

जाएगा π / 2 ये आ जाएगा π / 2 ये आ जाएगा π / 2 सही है जी। सही है जी। अब अगर मैं क्रॉस

मल्टीप्लाई करता हूं टू से टू तो काट ही दो। 1 - x² = πx आ गया। x² + πx

+ 1 = 0 यही भाई इसी प्रकार का आंसर आ रहा है क्या? हां जी इसी प्रकार का आंसर आ रहा

है क्या? हां जी इसी प्रकार का आंसर आ रहा है क्या? + - 1 कैसे आ रहा है? cos में

है क्या? + - 1 कैसे आ रहा है? cos में

वैल्यू ज़ीरो तो कब होती है? cos में

वैल्यू 0 तो π / 2 पर होती है। cos ही है ना? हां।

ना? हां। 2tan 1 x का फार्मूला डाला। tan को उल्टा किया cot हुआ। sin इनवर्स 0 पर होता है। 2 वहां चला गया वो नष्ट हो गया। cos इनवर्स

वहां जाकर cos 0 cos 0 की वैल्यू। अबे यार क्या कर रहा हो शंक? ब्रेक चाहिए मेरे को। है ये cos 0 बनेगा ना भाई। cos 0 बनेगा

ना? cos 0 बनेगा। cos 0 बनेगा ना। मैं cos

ना? cos 0 बनेगा। cos 0 बनेगा ना। मैं cos इनवर्स 0 बना रहा था। ये आया 2x cos 0 की वैल्यू हमारे देश में क्या होती है? वन

होती है। ठीक है जी? cos 0 1 आ गया। तो यहां पर आ गया 1 - x² = 2x आ गया। x² + 2x

- 1 = 0 आ गया। x² + 2x - 1 यहां से आपको d का फार्मूला लगाना ही पड़ेगा। b² - 4ac आ गया। तो d की वैल्यू आ गई 2 2 आ गया।

मतलब आठ आ गई। आठ आ गई। तो हमारा x का आंसर आ जाएगा -2 + - 2 2 / 2 तो हमारे x

की वैल्यू आ गई -1। तुम्हारा + - 1 कैसे आ रहा है बे? तुम्हारा आंसर + - 1 कैसे आ रहा है? मेरा तो नहीं आ रहा।

रहा है? मेरा तो नहीं आ रहा। x = tanπ/8 कैसे हो रहा है? हां, मेरा तो आंसर ये आ रहा है। वही तो वही तो मेरा

आंसर तो ये आएगा। -1 + - 2 ये मेरा आंसर आएगा। इसका तो बोलो बोलो बोलो भाई। -1 कैसे आ रहा है यार? -1 कैसे आ रहा है?

देखो देखो देखो यह टू है। यह वहां जाकर नष्ट हो गया। cos इनवर्स बचा वहां जाके cos हो गया। cos 0 की वैल्यू वन होती है। तो ये तो क्वाड्रेटिक इक्वेशन को जन दे रहा है। भाई

टू वहां जा के नष्ट हो जाएगा ना। 0 / 2 इज 0 होता है ना यार। हां। तो ये हमारा आंसर आएगा बेटा। ये हमारा आंसर। ठीक है ना? आगे

बढ़ेंगे। इसको सॉल्व करेंगे। ये भी सॉल्व पर है। ये भी किस पर है? सॉल्वर है। आपको x की वैल्यू निकालनी है। बहुत उम्दा क्वेश्चन है। हमारी एनसीईआरटी का लास्ट

क्वेश्चन है जिसमें ऑप्शंस दिए हुए हैं। ठीक है ना? इसमें ऑप्शन दिए हुए हैं। आओ करेंगे। आओ करेंगे। sin इनवर्स

= इसको मान ले जाओ। π / 2 + 2sin 1 x ऐसे ही आ गया। सही है जी? अब देखो sin इनवर्स वहां जाकर

sin हो जाएगा। चलो जल्दी से बताओ। sin 90 + थीटा क्या होता है?

देखिए पता है नहीं पता। sin sin 90 + थीटा क्या होता है? sin 90 + थीटा क्या होता है? sin 90 + थीटा क्या होता है?

है? sin 90 + थीटा क्या होता है?

sin 90 + थीटा क्या होता है? cos थीटा

क्या आएगा? cos

थीटा यह आ गया भैया सही है जी अच्छा इसको इधर ले आओ x को इधर ले आओ 1 - cos 2

sin इनवर x = x आ गया अब देखो ये फार्मूला तुम जानते हो कि नहीं जानते हो 1 - cos 2 थीटा जो होता है वो 2sin²

थीटा के बराबर होता है। ठीक है ना? तो 1 - cos2 थीटा जो होता है वह 2sin²

थीटा के बराबर होता है। यह थीटा है हमारा साथ में x आ गया। 2sin² ये रहा हमारा थीटा। अब इससे मैं इसको काट दूंगा या एक

स्टेप तुम्हारे लिए मैं और कर दूं तो थैंक यू बोल देना। ये ऊपर स्क्वायर आ गया और = x आ गया। sin से sin इनवर्स काट

दो। 2x² आ गया। = x आ गया। तो भैया यहां पर वह बच्चे बच जाए कि जो सीधा इसको इससे काट

देते हैं। नहीं काटना। ठीक है ना बेटा?

क्वाड्रेटिक है दो आंसर आएंगे। 2x² - x = 0 तो x कॉमन लिया 2x - 1 = 0 x की वैल्यू

0 आ गई और 1/2 आ गई। अब ऐसे क्वेश्चनों में दोनों आंसर लगभग वैलिड होते नहीं है। ठीक है ना? तो यहां पर 0 और 1/2 आप पुट करके देखोगे। अगर मैं यहां पर 0 पुट कर

रहा हूं तो मेरा आंसर 1/2 आ रहा है। तो ये तो पॉसिबल है। लेकिन अगर मैं 1/2 पुट कर रहा हूं तो मेरा आंसर π / 2 नहीं आ रहा है। तो ये आंसर नहीं होगा। देयर फॉर मेरा

x का आंसर ज़ीरो ही आएगा खाली। ठीक है जी। मेरा x का आंसर हां दो आंसर नहीं है। दो आंसर नहीं है। आंसर एक ही होने वाला है।

आंसर एक ही होने वाला है। दोनों भी हो सकते हैं। लेकिन इस क्वेश्चन की बात करूंगा तो मैं अगर ज़ीरो पुट कर रहा हूं तो sin इनवर्स 1 π / 2 और ये ज़ीरो हो गया।

मैं यहां 1/2 पुट कर रहा हूं। तो यहां पर 1/2 और यहां पर 1/2 पुट करने पर मेरा आंसर π / 2 नहीं आ रहा। आप चेक कर लेना। मुझे याद है। तो इसलिए आंसर क्या आ गया? ज़ीरो आ

गया। बहुत ही बढ़िया। अभी याद रहे हमने वो पुट करने वाले पुट करने वाले जो क्वेश्चन है वो छोड़ रखे हैं। बहुत ही बढ़िया।

होमवर्क दे दूं? होमवर्क दे दूं?

बोलो। होमवर्क दे दूं? होमवर्क दे दूं ना? ये तो

वैल्यू पुट करने वाला ही सीधा वैल्यू वाला क्वेश्चन है। इसका आंसर कमेंट सेक्शन में बता देना। यह मेरी उस मैराथन में नहीं आएगा। ठीक है ना? इसका जवाब आप कमेंट

सेक्शन में बता देना। चलो। cos π/2 + यह आ गया। cosπ/2 + दिस आ गया। तो cos 90 + देखो कुछ भी नहीं है। वैसे देखा जाए देखा जाए तो

कुछ नहीं है ये क्वेश्चन। बहुत आसान सा क्वेश्चन है। cos 90 + θ इज़ देखो cos 90 + sin इनवर्स ये आया। अब देखो

या तो ऐसे सॉल्व कर लो या पहले अंदर वाला सॉल्व कर लो। sin इनवर्स में वैल्यू 1/ 3 तो सॉल्व नहीं कर पाओगे आप। बोलो बोलो बोलो।

बोलो बोलो बोलो सही कह रहा हूं गलत कह रहा हूं सही कह रहा हूं गलत कह रहा हूं देखो

sin में वैल्यू 1/ 3 नहीं होती है भाई ठीक है cos 90 + थीटा जो है क्या हो गया - sin

थीटा हो गया तो आप माइनस की मिस्टेक कर रहे हो कि नहीं कर रहे हो आप बोलो। हां। कुछ बच्चे सिर्फ 1/ 3 आंसर बता

रहे थे। अब मैंने आपको समय दिया करने के लिए। cos 90 + थीटा सेकंड क्वाड्रेंट होता है और सेकंड क्वाड्रेंट में

cos नेगेटिव होता है। ठीक है ना? चलो

नेक्स्ट क्वेश्चन पर आते हैं। ये क्वेश्चन भी कर लोगे। कौन सा क्वाड्रेंट है? चलो

क्वाड्रेंट बता दो। क्वाड्रेंट बता दो। 13π / 7 कौन सा घर है?

देखो डायरेक्ट तो नहीं काट सकता। 13π / 7 कौन सा क्वाड्रेंट है इन चारों में से?

कौन सा क्वाड्रेंट है इन चारों में से?

बोलो भैया। बच्चे कह रहे हैं थर्ड। नहीं नहीं भाई यहां पे लग रही है। यहां पर लग रही है। थर्ड क्वाड्रेंट कैसे आ गया? ये फोर्थ

क्वाड्रेंट है। ये फोर्थ क्वाड्रेंट है। सर आप चेक कैसे कर रहे हो? पाई की जगह 180 पुट कर लिया करो मन में और आपको समझ में आ जाएगा। ठीक है जी। वैसे देखा जाए सिर्फ एक

π /7 जोड़ने पर यह 2π हो जाएगा। जैसे ही मैं इसमें π /7 जोडूंगा ये 2π हो जाएगा। यानी यहां पर लाई कर रहा है। तो फोर्थ क्वाड्रेंट की जो कंडीशन मैंने आपको कल बताई थी 2π - थीटा। तो ये ट्रिक्स मैं

ऑलरेडी आपको कल की क्लास में दे चुका हूं। आज भी वैसे लगभग पूरी हो ही गई हैं। ये आ गया sin 2π -π / 7 आ गया।

अब sin 2π - θ जो होता है वो -sinθ होता है। क्योंकि आप फोर्थ क्वाड्रेंट में हो। यह आपका घर नहीं है और ये बाहर आ जाएगा।

-sin इनवर sinπ / 7 जो आ गया हमारा आंसर आ गया -π / 7 बहुत ही बढ़िया। क्लियर है ये?

tan इनवर्स k अब देखो ये ये यहां पर ना ओल्ड एनसीआरटी का फार्मूला लगेगा बेटा। ओल्ड यहां पर लगेगा ओल्ड एनसीआरटी का फार्मूला।

इसके बिना मैं नहीं कर पाऊंगा। उसका एक फार्मूला होता था tan इनवर्स x अब ये लगाने के लिए अब ये हमारी एनसीईआरटी में नहीं है। कई टीचर कहते हैं जब है ही नहीं

तो आप अप्लाई कैसे कर रहे हो? तो भैया ये क्वेश्चन भी नहीं आएंगे। फिर अगर मैं ये अप्लाई नहीं कर सकता तो मैं ये क्वेश्चन भी नहीं लगा सकता।

तो अब कहानी क्या है? इसको आप इधर ले जाओ। इसमें एक प्लस का फार्मूला भी होता है।

tan इनवर x + tan इनवर y यह होता है tan इनवर x + y / 1 - xy

ये फार्मूला होता है बेटा। ठीक है जी। अब मैं इसको यहां पर लेके जाता हूं। tan ^ -

k = tan ^ - 1 / 13 + tan ^ -1 3 या तो इधर ही माइनस का लगा दो या इधर ही प्लस का

लगा दो। तो यहां पर आया tan इनवर्स k चलता रहेगा और यहां आ गया tan इनवर्स 1 / 13 + 3

ऐसे आ गया बेटा। ठीक?

एलसीएम लगाया। यह आया 40/13 और 1 - मतलब ये ऐसे आ गया। 10 - 3/13 ये

कट जाएगा और सॉरी सॉरी 13 - 3/13 तो ये 10 से कट जाएगा। तो आंसर फोर आ जाएगा। 40 / 10 यानी यह तो फोर आ गया। तो k की

वैल्यू कितनी आ गई प्यारे बच्चों? चार।

बहुत ही बढ़िया। बहुत ही बढ़िया। आगे देखेंगे। होमवर्क सर। होमवर्क सर। बहुत थक गए अब तो। कई क्वेश्चंस कर लिए सर अब हम लोगों ने इसके ना। हां।

बढ़िया मजेदार। देखो सिंपलेस्ट फॉर्म। अब ये कल भी काम आएगा ये हमारे। इसको सिंपलीफाई कर दूं।

कई तरीकों से होगा ये क्वेश्चन। मैं cos x की जगह क्या लिख सकता हूं? cos² x / 2 - sin² x / 2

cos 2x का फ़ॉर्मूला। इसके बाद वन की जगह लिख सकता हूं cos² x/2

+ sin² x/2 और sin x की जगह लिख सकता हूं 2sin x/2 cos x/2

बोलो। सर होली का दहन है। बिल्कुल है भाई। बिल्कुल है। हम भी तो यहीं खड़े हैं आपके

सामने। यहां पर है भगवान। ठीक है ना? तो

cos x क्या हो गया? cos भाई cos 2 थीटा का फार्मूला लगा दिया। cos² एंगल का आधा sin² एंगल का आधा। वन की जगह आइडेंटिटी sin x की जगह फिर वही वाली आइडेंटिटी sin 2x की

कि ताकि नीचे फार्मूला बन जाए और ऊपर भी एक फार्मूला बन जाए। ऊपर आ गया cos x/2 + sin x/2

cos x/2 - sin x/2 सही है जी और नीचे बन गया cos x/2 - sin x/2²

a² + b² - 2ab देखोगे तो ये वाला इससे पूरा का पूरा कैंसिल हो गया। क्या बचा? देखो अब दो क्वेश्चन अब आगे आने

क्या बचा? देखो अब दो क्वेश्चन अब आगे आने वाले दो क्वेश्चन सेम हो जाएंगे। अब जब भी ये स्टेज आती है तो मैं क्या करूंगा। आप एक बारी कमेंट में बता दो। देखते हैं

मेजॉरिटी बच्चों को पता है या नहीं पता। जिस बच्चे को यह बात नहीं पता कि आगे क्या करूं वो क्रॉस दे दे कि ताकि मैं समझ जाऊं कि आगे आने वाले क्वेश्चन में मुझे कितनी

मेहनत करनी है। बेटा। हां जी। इसके आगे मुझे क्या करना चाहिए?

cosx + sinx cos x - sin x है बेटा ये इसके आगे मुझे क्या करना चाहिए? शाबाश

वेरी गुड। जब भी ऐसा क्वेश्चन आ जाए देखो आगे जाके ना क्वेश्चन भी आने वाला है। मैं आपको दिखाता हूं। आगे जाकर ये क्वेश्चन भी बनेगा। मैं दिखाता हूं। ये रहा देखो। ये

भी बनेगा। तो ये सेम वही वाला गेम आ गया बेटा। ठीक है ना? तो वो होमवर्क में चला जाएगा। अब यहां पर क्या है कि मुझे cos x/2 से डिवाइड करना है।

तो ये वन आ जाएगा और ये हो जाएगा tan x/2 ये आ जाएगा वन और ये हो जाएगा भैया - tan x/2

अब मैं वन को क्या करना है बेटा? डिवाइड

करना है cos x/2 से। डिवाइड करना है बाय cos x/2 से न्यूमैरेटर की ताकि देखो मकसद क्या होता है? पूरे चैप्टर का एक ही तो

मकसद है। बाहर tan है। अंदर भी tan बनाओ। बाहर tan है। अंदर भी tan बनाओ। और क्या मकसद है? यही एक मकसद में जी रहे हैं इस

मकसद है? यही एक मकसद में जी रहे हैं इस चैप्टर में। क्या आया? देखो वन की जगह आई कैन राइट π / 4 tan π / 4

फार्मूला क्रिएशन। ये आ गया tan x/2 ये वन को वन ही रहने दूंगा। और ध्यान से देखना। क्या मैं इंटू में वन लिख सकता

हूं? बिल्कुल लिख सकता हूं सर। क्यों नहीं

हूं? बिल्कुल लिख सकता हूं सर। क्यों नहीं लिख सकता? तो मैं यहां पर लिख रहा हूं tan

लिख सकता? तो मैं यहां पर लिख रहा हूं tan π/4 कि ताकि मैं फार्मूला क्रिएट कर पाऊं। अब ये फार्मूला बन गया। tan x + tany / 1

- tan x tan 11वीं कक्षा। तो ये आ गया tan इनवर 1 ये आ गया tan

x + y ये फार्मूला बन गया बेटा। tan x + y का फार्मूला क्या होता है? tan x + tany / 1 - tan x tan अब ये दोनों आपस में निपट

लेंगे। आंसर आ गया π / 4 + x/2 सही है जी। π / 4 + x/2 डन।

नेक्स्ट होमवर्क बनता है। होमवर्क बनता है ये भी क्वेश्चन। बोलो बोलो। tan में बाहर माइनस आ जाएगा। tan इनवर्स tanπ/6

cot इनवर cot π/3 tan इनवर्स tan में वैल्यू -1 / 2 क्या

होती है बेटा? -1 होती है। ये आ गया -π/ 6 ये आ गया भैया π / 3 और ये आ गया -π/4

एलसीएम ले लेना। कमेंट में आंसर बता देना। डन है जी। आगे आ जाओ। इसको फाइंड द वैल्यू ऑफ़ x। आई एम गिविंग यू 2 मिनट्स। चलो। मैंने बहुत

से क्वेश्चन कर दिए बच्चों। मैंने बहुत से क्वेश्चन कर दिए। आपको x की वैल्यू निकालनी है। यू नीड टू सॉल्व दिस इक्वेशन। सॉल्व करनी है। x की वैल्यू बताओ मेरे

प्यारे बच्चों। निकालो। कैसे निकालोगे?

हां जी। x की वैल्यू निकालो। लगाओ थोड़ा सा दिमाग। देखते हैं कैसे निकाल पाओगे। हम

कह रहे हैं इसको tan में कन्वर्ट करना पड़ेगा और भी तरीके हैं। अगर मैं इसको हिंट दे रहा हूं। हिंट sin वहां ले जाऊं

तो क्या यहां पर तुम sin a + b का फार्मूला लगा दोगे?

sin a + b का फार्मूला लगा सकते हो? क्या

होता है? sin a cosb + cos sinb यह होता है कि नहीं होता?

तो sin a cosb + cos a sinb

यह आया बेटा। यह आया बेटा। अब इससे यह तो निपट गया। यह कितना आया? 1/a यह नहीं निपटा। यह कब निपटेगा? जब sin cos बन

जाएगा। जब sin cos बन जाएगा। बोलो भाई जब sin cos बन जाएगा। ऐसा ही होगा कि नहीं होगा?

ये कब निपटेगा? जब sin को मैं cos में बदललूूंगा। और पंडित बदीप साह हरहर बोले से मैं निपटा लूंगा। अभी मैं अगर डायरेक्ट करूं तो मेरा sin होता है परपेंडिकुलर अपॉन में हाइपोटेन्यूज। तो मेरा

परपेंडिकुलर वन है। हाइपोटेन्यूज b है। तो मेरा बेस क्या हो जाएगा? b² - 1 हो जाएगा। तो मैं यहां पर cos

cos इनवर b² - 1 / b आ जाएगा। और यहां पर अगर मैं इसको ही चेंज करूं। देखो बेटा cos

यह आया cos इनवर्स फिर वही देखो क्या आया?

हाइपोटेन्यूज - 1 / a आया और ये डायरेक्ट 1 / b आ गया।

अब ये मैं काट सकता हूं। 1 / x 1 / a b² -1 / b

a² - 1 / a 1 / b तो 1 / x आया

b² - 1 + a² - 1 / ab आ गया। तो मेरे x की

वैल्यू आ गई ab / b² - 1 + a² - 1 नमक स्वाद अनुसार सिंपलीफिकेशन औकात अनुसार आसान क्वेश्चन है। कोई मुश्किल क्वेश्चन

नहीं है बेटा ये। हां जी बेटा कोई मुश्किल क्वेश्चन ये नहीं है। कह रहा है ये साइन आपने मिस कर दिया। मिस

नहीं किया बेटा। ये साइन वहां चला गया। तभी तो यहां आया बेटा ये। साइन मिस क्यों कर दिया?

हां जी। ये आंसर आएगा बेटा मेरे। और बच्चे कह रहे हैं कि सर फार्मूला ही गलत लगाया आपने। कौन सा फार्मूला है? sin a + b का फार्मूला तो sin a + sin b होता है। क्या

बोलूं? क्या बोलूं भाई इन बच्चों को? क्या

बोलूं? क्या बोलूं भाई इन बच्चों को? क्या

है? रैशनलाइज हां वो आप कर लेना। वो आप कर लेना अगर आप चाहते हो तो। चलो जी, आगे बढ़ेंगे। ये वाला क्वेश्चन भी मैं होमवर्क में दे सकता हूं। बड़ा प्यारा आसान सा

क्वेश्चन है। यहां पर फाइंड द वैल्यू ऑफ़ x। अब देखो, मैंने दो ऐसे क्वेश्चन कराए जहां पर आपको x की वैल्यू निकालनी है। यह वाला क्वेश्चन मेरी मैराथॉन में आएगा। मैं अभी होमवर्क में दे दूं। अच्छा तुम बताओ

क्या यह दूं या अभी कराऊं? मैं करा भी सकता हूं। मेरे लिए कोई मुश्किल क्वेश्चन नहीं है। क्या मैं ये अभी सॉल्व कराऊं या होमवर्क के लिए दे दूं? जल्दी बोलो।

होमवर्क या सॉल्व? बताओ बेटा। मैं करा दूंगा। मेरे को 1:00 बज जाए मुझे कोई टेंशन नहीं है यार। मैं घर जाके सोऊंगा। सुबह आराम से उठूंगा। तुम्हें जल्दी उठना है। तुम्हें पढ़ाई करनी है।

खैर मेरे सुबह आराम से उठा भी नहीं जाता यार। आराम से ना नींद जल्दी खुली ही जाती है मेरी। मतलब मैं लगभग लगभग 7:30 के आसपास उठ ही जाता हूं। रात को कितने बजे

भी सोऊं? 2 2:30 बजे भी सोऊं। 7 सवा5 7:30

भी सोऊं? 2 2:30 बजे भी सोऊं। 7 सवा5 7:30 नींद खुली जाती है। हां जी। होमवर्क सॉल्व कर लो। चलो देखो यार कोई बात नहीं। जिसको लगता है होमवर्क मैं दे दूं पॉज

करके शुरू हो जाओ। चलो अब फंस गए तुम। ये सीएम फंस गया। ठीक है ना? अब देखो या तो इसको इधर ले लेके जाओगे या इसको इधर लेके जाओगे। ठीक है? किसी को भी ले जाओ। जैसे

मैं यहां पर sin इनवर्स x² + x + 1 आया। π/2 - tan इनवर x² बेटा फिर लाइक करना

पड़ेगा ना आपको इवेंट लाइक करना पड़ेगा सॉल्व करूंगा तो इवेंट लाइक करना पड़ेगा बढ़िया तरीके से हां जी ये वहां चला जाएगा

1 - मतलब 1 + x + x² ये आ गया sin

π / 2 - tan ^ (-1) x क्या होता है बेटा?

cot ^ -1 x इधर ही हो गया ना? cot 1 x और अब cot को मकसद क्या है? बाहर sin है अंदर cot है। तो cot को बदल दो। फिर वही

देखो cot इनवर x² + x को थीटा लिया। फिर वही बेटा मेरा cot थीटा ये आ गया। cot क्या होता है

बेटा? बेस अपॉन में परपेंडिकुलर। तो मेरा

बेटा? बेस अपॉन में परपेंडिकुलर। तो मेरा बेस ये रहा परपेंडिकुलर ये रहा। बेस आ गया परपेंडिकुलर आ गया। हाइपोटेन्यूज निकाल लो। तो इसका स्क्वायर हो गया और इसका

स्क्वायर हो गया। तो बेस अपॉन में परपेंडिकुलर। तो अगर मुझे इसको sin में चेंज करना है तो cot को sin में चेंज करने के लिए बेस

अपॉन में परपेंडिकुलर नहीं परपेंडिकुलर अपॉन में हाइपोटेन्यूज। तो ये रहा परपेंडिकुलर और ये रहा हाइपोटेन्यूज। परपेंडिकुलर अपॉन में हाइपोटेन्यूज।

अब ये कट गया। अब बचा क्या? देखो टुच्चा

सा क्वेश्चन था। मुझे पता बहुत आसान था बेटा। तभी तो मैं तुम मुझ पे ट्रस्ट कर सकते हो बेटा। मुझे पता है तुमने बहुत धोखे खाए हुए हैं। समझ रहे हो? लेकिन तुम

मुझ पे ट्रस्ट करके तो देखो। ये वहां गया। मैं उनमें से नहीं हूं। मैं उनमें से नहीं हूं।

ये आ गया। देखो बेटा। x + x² = 0 आ गया। फिर वही दो ऑप्शन है। 1 + x = 0 इधर x की वैल्यू 0 है और x की वैल्यू -1 है। दोनों

को चेक करना पड़ेगा। अगर मैं 0 पुट करता हूं तो tan इनवर्स 0 हो जाता है और sin इनवर्स 1 π / 2 हो जाता है। ये बात तो

एकदम ठीक है। और अगर मैं -1 पुट करता हूं तो -1² ये भी ज़ीरो हो गया। -1 पुट करता हूं तो

ये आ गया π / 2 बिल्कुल। तो ये भी आंसर वैलिड है। दोनों आंसर वैलिड है। -1 भी तो वैलिड है। हां जी। कह रहे हैं पहले इस्तेमाल करें फिर विश्वास करें। हां ये

बात भी ठीक है भाई। बोलो भैया। जिसने 11th में ट्रिगो नहीं पढ़ी वो क्या करें? वो होली का दहन चले जाओ।

करें? वो होली का दहन चले जाओ। ब्लेसिंग्स लो क्योंकि तुमको कल का लेक्चर भी दिक्कत देगा। तुमको इंटीग्रेशन भी

दिक्कत देगा। तुमको इंटीग्रेशन में तो पूरा एक मेथड है वो दिक्कत देगा। उसके बाद डिफरेंशियल बहुत सारे चैप्टर वहां दिक्कत देंगे। वो होली का ध्यान चले जाओ। हां जी।

तो ये बहुत प्यारे-प्यारे एग्जांपलर क्वेश्चन है। मेरा मोटिव यह रहता है कि मैं अच्छी क्वालिटी के क्वेश्चंस आपको कराऊं। ठीक है ना बेटा? अच्छी क्वालिटी के क्वेश्चंस आपको कराऊं। हां जी। कहां पर हैं हम? कहां पर हैं अभी

हम? कहां स्टैंड कर रहे हैं हम लोग? यहां

हम? कहां स्टैंड कर रहे हैं हम लोग? यहां

पर स्टैंड कर रहे हैं। अभी मैंने x वाले नहीं कराए ना। मैंने x वाले क्वेश्चंस नहीं कराए अभी आपको। अभी वो वो कराऊंगा। बस मुश्किल से 15 20 मिनट में ये चैप्टर खत्म होने वाला है। फिर मैं आपको 5 मिनट

की एक ब्रेक दूंगा और फिर हम आधे पौने घंटा 1 घंटा एलपीपी पढ़ेंगे। ठीक है जी। अभी क्या टाइम हो रहा है? अभी तो 10 ही बजे हैं। चार ही घंटे तो हुए हैं पढ़ते

हुए। मैं आपको सवा 11 11:20 तक फ्री कर दूंगा। देखो t sin इनवर्स अब क्या है?

सॉल्व करना है। सॉल्व करना है। तो देखो या तो मैं सीधा फार्मूला डाल दूं। अभी ये तो पुट करने वाला है। रुक जाओ अभी। पुट करने वाला अभी रुक जाएंगे। पुट करने वाला अभी

रुक जाएंगे। ये वाला देखो। ये आया 2sin² एंगल का आधा। टैटू वाले फ़ूले कल बताए थे। 2 cos² एंगल का आधा। ये तो

बहुत ही टूक क्वेश्चन है भाई। 2 से 2 कट जाएगा। यह आया sin x/2 और यह आया cos x/2

कट गया। tan इनवर्स यहां पर आ गया tan x/2 तो आंसर आ गया भैया x/2

आंसर आ गया x/2 सही है जी। सिंपल क्वेश्चन है। आते हैं अभी इस पर। होमवर्क दे सकता हूं। अब देख लो ना पीपीटी

एकदम वैसी है कि जैसे पहले मैं करा रहा हूं। फिर आप बच्चा खुद कर लेगा। समझ रहे हो? तो इस तरीके से हम ये डिजाइन कर लेते

हो? तो इस तरीके से हम ये डिजाइन कर लेते हैं। अब देखो प्रूफ करना है। प्यारा क्वेश्चन है। आप लोग करोगे। आप लोग करोगे। मुझे यकीन है आप लोग कर लोगे। मुझे यकीन

है आप लोग कर लोगे। अब इसके अंदर वैसे देखा जाए तो ओल्ड एनसीईआरटी लगती है। ये वाला क्वेश्चन नई एनसीईआरटी से नहीं हो सकता। तो मैं यहां पर लिखता रह रहा हूं। जिस बच्चे को स्किप करना चाहे स्किप कर

सकता है। ऐसे क्वेश्चन जो ओल्ड एनसीआरटी बेस्ड है। आपको इसको प्रूफ करना है। तो देखो मैं इसको एलएचएस टू आरएचएस भी जा सकता हूं। आरएचएस टू एलएचएस भी मैं ऐसे

गया। cos इनवर्स ध्यान से देखना। 1 - x² लिख सकता हूं। और इसको 1 +

x² लिख सकता हूं। ये नई एनसीआरटी से भी हो जाएगा। ऐसी कोई दिक्कत नहीं है। हां जी। तो कह रहे हैं जी cos इनवर 1 - x क्या है?

x² हो गया। 1 + x² हो गया। एक ही तो बात है। ये अंदर फार्मूला बनता है बेटा 2 tan इनवर x का।

ये अंदर फार्मूला बनता है 2 tan इनवर्स x का। ठीक है जी। या आप चाहो तो x की जगह कुछ पुट भी कर सकते हो। आप x की जगह कुछ

पुट भी कर सकते हो। क्या पुट कर सकते हो?

tan² थीटा चलो हम वो वाले तरीके से भी आपको करा देते हैं तो ये नई एनसीआरटी का क्वेश्चन बन जाएगा। आ जाओ तो आरएचएस में

अब ये चलो हमने शुरू कर ही दिया तो इसी से श्री गणेश कर लेते हैं। कुछ पुट करना पड़ेगा। तो हमने x की जगह tan² थीटा पुट

कर दिया बेटा। 1 - tan² थीटा 1 + tan² थीटा और बच्चों यह आपको पता है ना यह फार्मूला किसका होता है? ये

फार्मूला होता है cos 2 थीटा कट जाएगा 1/2 और यहां आ गया 2 थीटा। टू से टू कट गया। क्या आ गया? थीटा। अब भैया मेरा थीटा क्या

है? थीटा क्या है? देखो स्क्वायर वहां

है? थीटा क्या है? देखो स्क्वायर वहां जाएगा तो x = tan थीटा आएगा। और tan वहां जाकर इनवर्स बन जाएगा। तो tan इनवर्स x

थीटा हो जाएगा। यही वैल्यू इधर डाल दी। तो ये आ गया tan इनवर्स x यही बच्चों मेरा क्या है? एलएचएस है। तो ये नई एनसीआरटी से

क्या है? एलएचएस है। तो ये नई एनसीआरटी से भी सॉल्व हो रहा है। सही है? सही है?

सही है? सही है?

सही है। कह रहे हैं एलपीपी में 11th के कांसेप्ट लगेंगे। हां लगेंगे लेकिन वो मैं सिखाऊंगा। छोटा सा कांसेप्ट है वो मैं सिखाऊंगा। सही है जी। तो मैंने x की जगह tan² थीटा

पुट कर दिया। आप tan थीटा से भी कर सकते हो। अब तो यह कर लोगे ना एक क्वेश्चन सॉल्व वाला तो होमवर्क में दे दूं। जितने आ रहे हैं अभी तक मैंने आपको करा दिए। देखो

सॉल्व वाला क्वेश्चन है। ये मैं होमवर्क में दे रहा हूं बेटा। अब मत रोकना मुझे। ओए होए होए 2014 में आया हुआ क्वेश्चन। 2014-15 के बैच में आया हुआ क्वेश्चन है

बेटा। 2014-15 ये वो वाला खौफनाक मंजर वाला पेपर था जहां बच्चे बहुत दिक्कत में थे। अब ये वाला क्वेश्चन देख रहे हो हमारा एलपीपी

कितनी स्लाइड का है ये देख लो। ये देख लो। सिर्फ 20 स्लाइड का एलपीपी है। आओ ये दो क्वेश्चन करते हैं। फिर पुट वाला करेंगे। 15 20 मिनट का काम और है और फिर ये बहुत जेन्युइन क्वेश्चन है। तुम सॉल्व कर सकते

हो क्या इसको? इसमें भी x की वैल्यू ही निकालनी है आपको। x की वैल्यू निकालनी है इसमें भी बेटा।

इसमें भी x की वैल्यू निकालनी है। आओ देखो क्या कह रहा है जी tan ये देखो देखो देखो क्या तुमको ये फार्मूला मालूम है ये वाला

फार्मूला कि a² + b² का भी कोई फार्मूला होता है ये फार्मूला पढ़ा है नहीं पढ़ा जीवन में

बोलो बोलो बोलो बोलो बोलो हां जी क्या कह रहा है a² + b² आया a + b² - 2ab तो ये फार्मूला

लगाएंगे तो ये आया a + b का स्क्वायर - 2ab

5² / 8 आया और ये होता है π / 2 उसका स्क्वायर कर दो π² / 4 आया

- 2tan इनवर्स x cot इनवर्स की जगह cot इनवर्स की जगह मैंने फिर लिख दिया π / 2 -

π / 2 - tan ^ -1 x आ गया। इसकी जगह मैंने फिर लिख दिया। मैं पूरा क्वेश्चन एक ही वेरिएबल में कन्वर्ट करना

चाह रहा था। ठीक है जी? अब सुनना सुनना। पहले तो इसको वहां ले जाओ। तो -2 tan इनवर्स अभी मैं इसको मल्टीप्लाई नहीं

कर रहा हूं। एक स्टेप और कर लेंगे। यहां x है। ठीक है ना? ऐसे आया। 5π² / 8 - π²/4 आ

गया। ये इधर चला। समझो मल्टीप्लाई करोगे। इसको इससे मल्टीप्लाई करोगे। मल्टीप्लाई करो। क्या आया? -π

tan इनवर x आया। इसको इससे मल्टीप्लाई करोगे + 2 tan इनवर x² आया। आया कि नहीं

आया? और ये आया मेरे प्यारे बच्चों 3π² /

आया? और ये आया मेरे प्यारे बच्चों 3π² / 8 आ गया। हां जी। यह आ गया ना बेटा मेरा? यह आ गया ना बेटा

मेरा। इसको थोड़ा और सिंपलीफाई कर लो। देखो अब ना देखो थोड़ी देर के लिए ना आप लेट कर लो tan इनवर्स x को y क्योंकि आप परेशान हो जाओगे बार-बार एक ही चीज लिखकर। ये

देखो ये आया 2y² - πy = 3π² / 8 16y²

- 8πy - 3π² = 0 अब देखो सोचो उन बच्चों ने जो

2014-15 में बैठे थे एग्जाम में उन्होंने कैसा ही दिमाग लगाया होगा। ये बड़ा खौफनाक क्वेश्चन था। एक प्रोबेबिलिटी का क्वेश्चन भी आया था दोस्त। अभी क्या है ना तुमको ये

आसान लग रहे हैं क्योंकि हमने ना ऐसे तीन-चार क्वेश्चन अभी कर लिए। लेकिन उस समय ऐसे क्वेश्चन का बिल्कुल भी ट्रेंड नहीं था। अचानक 2014-15 में ऐसा वियर्ड

क्वेश्चन आया ना पेपर आया। इस साल मेरे मामा जी का बेटा भी पढ़ रहा था। वो मुझसे ही ट्यूशन पढ़ता था। ठीक है। तो मामा जी को लगा क्या ही पढ़ाता है मेरा भाई। भांजा

भाई बच्चे तो खराब पेपर करके आए। लेकिन जब न्यूज़ देखी तो न्यूज़ में जैसे अभी मंजर चल रहा है ना 10थ के पेपर का तो वैसे ही मंजर था। सेम मंजर था। बहुत बच्चों ने धरने

दिए। वो ऐसा किया कि भैया पेपर बड़ा अनप्रिडिक्टेबल था। तो ये देखो सोचो बच्चे ने कैसे सॉल्व किया होगा। तो अब ये आ गई क्वाड्रेटिक इक्वेशन। अब इसको हम d के

मेथड से सॉल्व करेंगे। d निकालेंगे। b² - 4ac देखो आज तीन क्वेश्चनों में लग चुकी है। b²

64π² आ गया - 4a a कितना आ गया? 16 और C कितना आ गया? -3i² आ गया। तो, यह आ गया 64π²

यह 48 * 3 कितना आ गया भैया? 48 * 3 144 + 144π² आ गया। कितना आ गया भैया? 144 + 64 208 आ

गया। ऐसे ही कुछ है। यह आ गया b² 4ac

16 * 4 = 64 64 * 3 = 100 ओहो 64 * 3 100 प्लस आ गया यह आ गया बेटा यह गलत है यह गलत है यह गलत है यह 192 कुछ आएगा

हम यह आएगा 192 p (pi)² यह आ गया 256π² अब मैं यहां से y की फ़ॉर्मूला लगाऊंगा -b

यानी 8π प्लस माइनस 256π² का रूट कर लूंगा अपॉन में 2a कर लूंगा। 2a का मतलब 32 आ गया। y आ गया 8π

256 किसका होता है बेटा हमारा? 16 का होता है। तो ये आ गया 16π / 32 दो ऑप्शन आ गए।

एक आ गया इन दोनों का जोड़ 24π/ 32 एक आ गया दोनों का डिफरेंस - 8π / 32 अब बेटा ध्यान से देखो हमारा y क्या था हमारा y था

tan इनवर्स x था वो आया कहीं ना कहीं ये टू पे कट गया और ये थ्री पे कट गया किसके टेबल से काट दो इसको चार के टेबल से

काट दो चार मतलब 12 के टेबल से भी कट सकता है मतलब चार के टेबल से काट दो ये तीन पर आ गया

4 * 6 4 * 8 यह आ गया अगर मैं दो के टेबल से काटता हूं 3 और 4 तो ये आ गया 3π / 4

तो x की वैल्यू आ गई tan 3π / 4 हां जी आपके मामा का लड़का हां भाई लगा बिल्कुल भाई है मेरा वो बोलो बोलो बोलो tan इनवर्स

क्या आ गया भैया यहां पे tan 3pi / 4 जिसकी वैल्यू आपको निकालनी आती है और यहां से अगर आप देखोगे तो यह 32 है तो tan

इनवर्स x = -π/4 तो x की वैल्यू आ गई tan -π/4

बोलो बोलो बोलो सर एक दिन के लिए अपना दिमाग दे दो घर जाएगा तेरा हां जी तो इसकी वैल्यू आ गई -1 और इसकी वैल्यू भी शायद आ

गई -1 तो दोनों से वैल्यू -1 क्लियर है जी बोलो। तो यह कहीं ना कहीं कहीं ना कहीं ऐसा

क्वेश्चन है जो दो बारी करना है। तब जाके थोड़ी मोहब्बत होनी शुरू होती है ऐसे क्वेश्चनों से। ठीक है जी। आधे बच्चे तो देखकर भाग गए होंगे। उनको आदत डाल रखी है आसान-आसान क्वेश्चन करने की। मैं हमेशा से

कहता आया हूं। तुम्हारे 10 से निकलने के बाद मैं कहता आया हूं कि भैया ऑलवेज प्रिपेयर फॉर द वर्स्ट। अब देख लो। मैं तो हर एक लॉजिक का क्वेश्चन कराने की कोशिश कर रहा हूं। इसलिए थोड़ी देर भी लग रही

है। इसलिए थोड़ी देर भी लग रही है मेरे प्यारे बच्चों। ठीक है ना? बट प्लीज ठीक है। अब इसको दो बारी कर लेना यार। रिपीट मत करवाना। आप खुद भी कर सकते हो दो बारी।

चलो अब आते हैं ये वाले क्वेश्चंस पर। आ जाओ। अब जो हमने स्टार्टिंग में जो क्वेश्चन छोड़े थे जहां पर हमें कुछ ना कुछ पुट कर देना चाहिए था।

जहां पर कुछ ना कुछ पुट कर देना चाहिए था। तो यहां पर हम पुट कर सकते हैं। अब देखो मेरे पास कुछ पॉइंट टू रिमेंबर्स हैं। यह पॉइंट टू रिमेंबर अक्सर काम आएंगे

तुम्हारे। अक्सर काम आएंगे। जब तुमको a² - x² दिखेगा तो तुम a sin थीटा और a cos थीटा पुट कर सकते हो। a² + ये कल काम आएंगे। आज बहुत कम काम आएंगे। लेकिन ये

चैप्टर नंबर फाइव में मैंने पीपीटी बनाई है ना मुझे पता है। ये बहुत काम आएंगे। ठीक है ना? a² + x² ये पुट करोगे और x² - a² में ये पुट करोगे। दोनों में से कुछ

पुट करोगे। बाकी मकसद मत भूलना। बाहर जो है वो अंदर बनना चाहिए। ठीक है ना? तो अब

जैसे हम जो क्वेश्चन छोड़े थे उनको कर लेते हैं। सिंपल सी बात है। 5-7 मिनट लगेंगे फिर ब्रेक देता हूं फिर एलपीपी करेंगे। चलो अब ऐसे क्वेश्चनों में आप मुझे बताओ x की जगह क्या पुट करना चाहिए?

cos 2 थीटा पुट करना चाहिए ना। क्योंकि यहां पर कह रहे आपके असाइनमेंट की वीडियो नहीं आती। अरे नहीं भाई आपकी एक्सपेरिमेंट की वीडियो ये कौन सी है मैं मैं कौन से

एक्सपेरिमेंट करूंगा? इधर देखो। कोई भी

एक्सपेरिमेंट करूंगा? इधर देखो। कोई भी चीज कहीं पूछ रहे हो। मुझे लगा कि असाइनमेंट की बात हो रही है।

यहां पर टैटू वाले फ़ूले क्रिएट कर लेंगे। बेटा देखो ये आया 1 + cos 2 थीटा। ये आया

1 - cos 2 थीटा। डिवाइड कर लो। 1 + cos 2 थीटा और ये आ गया नीचे प्लस 1 - cos 2

थीटा। समझ रहे हो ना? समझ रहे हो ना? समझ

रहे हो ना? यह आ गया tan इनवर्स। यह आ गया 2 sin नहीं नहीं नहीं नहीं नहीं t2 वाले फॉर्मूले याद है ना? ये आया 2 cos² थीटा।

मुझे पता है 2 मिनट बाद तुम बोलोगे सर ये क्वेश्चन हम खुद कर लेंगे। 2 मिनट बाद तुम बोलोगे होमवर्क। होमवर्क होमवर्क होमवर्क। यह स्पैमिंग शुरू हो

जाएगी। अभी 2 मिनट दे दो बस। यह हमारे फार्मूले हैं कि नहीं है?

2 कॉमन ले काट दो और स्क्वायर बाहर आ जाएगा। 2 कॉमन ले कट जाएगा। ये आ गया cos थीटा। ये आ गया sin थीटा। या बेेज्जती मत कराना

बेटा। कहीं लिखो ही मत तुम। हैं? जान के

ना लिखो तुम। बोलो। हां जी। सर ये टैटू वाले फॉर्मूले कहां मिलेंगे? टैटू वाले

फॉर्मूले बेटा वैसे तो पिछली क्लास में भी मिल जाते। लेकिन मैं यहां भी दे देता हूं। तेरे को चिंता क्यों कर रहा है तू? ठीक है

ना? लेकिन फार्मूले इकट्ठा ही करता आ जाए। इसको याद ना करियो। पूरे साल हो गया फार्मूले इकट्ठे करते जा रहे हो बस तुम। क्या समझे? अब बोलो भाई ये होमवर्क नहीं

क्या समझे? अब बोलो भाई ये होमवर्क नहीं है क्या?

ये होमवर्क नहीं है क्या? करा चुका हूं ना ऐसा क्वेश्चन। मैंने कहा था मल्टीपल टाइम आएगा। देखो यह चलो जी। आगे देखेंगे। अब यहां पर सोचो क्या पुट कर सकता हूं x की

जगह। अब यह सेम क्वेश्चन कल आएगा तुम्हारे पास। डिट्टो सेम क्वेश्चन आएगा। बस बोला जाएगा इसका डेरिवेटिव निकालो। कल भी आने वाला है। कल क्या पढ़ रहे हैं?

सिर्फ एक चैप्टर कंटिन्यू डिफरेंशिएबिलिटी लेकिन वो भी चार 4 1/2 घंटे पढ़ाऊंगा लगभग। क्योंकि वो एक बेस है। वो अगर वीक रह गया तो भैया आगे जाके बहुत गाली पड़ेगी मुझे।

देखो x की जगह मैं यहां पर देखो मकसद क्या है बेटा? मकसद एक ही है कि बाहर cos

है बेटा? मकसद एक ही है कि बाहर cos इनवर्स है तो अंदर भी cos बनाना है। इसका निपट लेंगे तो यह आया cos इनवर अंदर आ गया cos थीटा

ये आ गया cos थीटा / 2 3 - 3 cos² थीटा / 2 ये तो बच गया थीटा cos इनवर

cos थीटा साथ में आ गया बाय 2

3 कॉमन ले लो 1 - cos² थीटा / 2 ये होता है sin थीटा थोड़ी चालाकी करनी है। ये आया

cos थीटा * में 1/2 ये आया sin थीटा * में 3/2 बाहर cos इनवर्स है। अंदर भी cos का फार्मूला बनाना है। ठीक है जी? ध्यान से

देखना। तो टा + cos इनवर cosटा था। 1/2 की जगह क्या लिख सकता हूं?

cos π / 3 cos a cosb sin a sinb

आया कि नहीं आया?

cos a cosb sin a sinb तो यह फार्मूला बन गया अंदर

cos θ + π / 3 बना कि नहीं बना cos θ + π / 3 अब cos से cos इनवर्स कट सकता है तो

ये आ गया भैया हमारा आंसर आंसर क्या आ गया भैया बताओ सिंपलीफाई करने को बोला है ओ सॉरी अब देखो देखो देखो थीटा प्लस नहीं आएगा थीटा माइनस होता है ना

θ - π/3 अब देखो यहां पर ना हमको रेंज नहीं दे रखी कि x क्या होगा। हमको नहीं बता रखा x क्या होगा। तो अब इसके दो उत्तर निकल सकते हैं।

देखो एक आया थीटा + cos इनवर cos π / 3 - θ भी तो हो सकता है ना बेटा। यही वेकअप में आई थी प्रॉब्लम आपको। तो हमारा

आंसर आया 2θ - π/3 एक तो ये ऑप्शन आया या थीटा से थीटा कट जाएगा। खाली क्या बचा? π

/ 3 2 थीटा ये हो गया। देखो एक आंसर हमारा ये भी बनता है और एक आंसर हमारा ये भी बनता है। क्यों? क्योंकि मुझे x के बारे

में कोई ज्ञान यहां पर नहीं है कि एक्चुअल में x है क्या? बोलो भैया।

2 कहां गया? वह तो रूट टू वो तो मैं मस्त तेल में फ्राई करके खा गया। कट जाएगा ना बेटा। कट जाएगा ना बेटा।

हां जी। बहुत बढ़िया। बहुत बढ़िया। बहुत बढ़िया। बहुत बढ़िया। बढ़िया बढ़िया। बढ़िया। बढ़िया। बढ़िया। बढ़िया। यह हमने सब कर

लिए। ठीक है ना? यह हमने होमवर्क दिया है। यह हमने कर लिया। यहां पर देखो। अब जैसे मैं a की जगह tanटा पुट कर देता हूं और b

की जगह मैं tan पुट कर देता हूं। तो ये आया sin इनवर्स। यह आया 2tanθ

/ 1 + tan² थीटा और यहां पर आया 2tan / 1 + tan²

इक्व ये है। बोलो भैया। सही है ना? अब अंदर जो फार्मूला बना मेरी जान

ये बना sin 2 थीटा का। और अंदर जो फार्मूला बना मेरी जान यह बना फिर से sin 2 थीटा का।

कट जाएगा। यह आया 2 थीटा। यह आया 2 2 = 2tan इनवर x

सही है ना? अब ये काट दो। 2 से लेकर 2 तो काट दो। थीटा की वैल्यू क्या है? थीटा की

वैल्यू है tan इनवर्स a इसकी वैल्यू क्या है? tan इनवर्स

है? tan इनवर्स tan इनवर्स b और ये आ गया tan इनवर x ओल्ड फ़ूले यूज़ कर सकते हो तो डायरेक्ट हो जाएगा।

ओल्ड फार्मूले यूज नहीं कर सकते हो तो tan इनवर्स वहां ले जाओ। मना कर रही है आपकी टीचर या आपके सर तो आप उधर ले जाओ। मेरे हिसाब से भी मत ही लगाओ।

क्यों पंगे ले रहे हो यार? tan इनवर्स ये आ गया। ऐसे आ गया। बाहर क्या आ गया? x आ

गया। सही है जी। बाहर आ गया x आ गया। ये आ गया tan देखो। tan x + y ये तो 11th का

फार्मूला है ना? क्या होता है भैया? tanx

tan tan अपॉन में 1 - 1 - tanx tan

tan x tany = x आ गया। यह आ गया बेटा हमारा a यह आ गया b 1 - ab यह आ गई वैल्यू x थोड़ा लंबा

इसलिए पढ़ा है यहां पर क्योंकि मैंने ओल्ड फार्मूले का इस्तेमाल नहीं किया। कई बच्चे कह रहे हैं कि सर ये तो डायरेक्ट 2 tan इनवर्स a होता है। होता है लेकिन बेटा वो पुरानी किताब में होता था। नई किताब में

ऐसे कोई फ़ूले नहीं दे रखे हैं। शाबाश। हां जी। सर ये चैप्टर इतना गंदा क्यों है?

बेटा यह तो हमारी निगाहें हैं जो किसी चैप्टर को गंदा या अच्छा बनाती हैं। कर लिया ना ऑलरेडी? यह ऑलरेडी हो गया। इसको तो हटा ही दो यार। ये तो अभी-अभी हमने कर लिया ना। दो बारी आ गया ये क्वेश्चन। खाम

आए का एक क्वेश्चन बढ़ रखा है तुम्हारा। हटा दो भैया। ठीक है जी। यह वाला होमवर्क में था। डन है जी। डन है जी। यह तुम कर ही लोगे। यह तुम कर ही लोगे। रैशनलाइजेशन से

हो जाएगा। या फार्मूला लगा देना। डन हो गया जी। डन हो गया जी। मार्क्स कटेगा वह करने से बेटा चांसेस तो हैं पुराने एनसीआरटी का इस्तेमाल कर रहे

हो तो मार्क्स तो कटेगा चांसेस तो है अच्छा चलो मुझे बताओ मैं अपनी ब्रेक पहले स्टार्ट कर देता हूं ना पहले तुम इवेंट लाइक करो बेटा दो

चैप्टर हो गए जल्दी से तालियां हो जाए तीन हर्ट हो जाए ग्रुप पे ये जो भी है चैट पे तीन हर्ट दे दो फटाफट से फटाफट से तीन हर्ट दे दो

हां सेव यस एक बंदा तो इसलिए बैठा रखा है हमने कि बाबा बता रहे हैं सर पीपीटी सेव कर लो। वेरी गुड। शाबाश। तीन और दो यार

के वरपा बनाना की सेल बढ़ गई। अभी तो नवरात्रि शुरू नहीं हुए। बनाना की सेल महंगी कर दी। आशु सर ने।

बड़े महंगे आ रहे हैं भाई के आजकल। मैंने क्या कहा? देखो अब ब्रेक को छोड़ के ना 45 मिनट लगेंगे। पूरा ये 20 स्लाइड करा दूंगा। 19 स्लाइड बची हैं।

समझ रहे हो? दो क्वेश्चन और बाकी एमसीक्यू खत्म। काम गेम ओवर। स्टार्टिंग के 15 20 मिनट 11th का सारा रिवाइज करा के दो क्वेश्चन करा के और फिर एमसीक्यू पर आ

जाऊंगा। काम खत्म हो जाएगा। पूरे बेटा पूरे नंबर एलपीबी में गारंटी तुम्हारे भाई की। चलो अब ब्रेक कितनी देर की चाहिए? अब यार

अब देखो 10 मिनट तो मत बोलना। 10:00 बज चुके हैं। 10:30 हो गए हैं। तो अब तुम क्या ही खाना खाओगे? बाद में ही खाना खाओगे। मैंने अकेला खा लिया। अब मैं आधे

पौने घंटे बाद ही खाना खाऊंगा। तो ब्रेक ज्यादा देर की नहीं है। वैसे तो बनती नहीं है ब्रेक। अब लेकिन तुम कह रहे हो इतना इंसिस्ट कर रहे हो।

तो ना तुम्हारी ना मेरी थाला फॉर अ रीजन 7 मिनट की ब्रेक देते हैं। थाला फॉर अ रीज़ 7 मिनट्स की ब्रेक है। उसके बाद फिर

मिलेंगे। देखो देखो देखो देखो ब्रेक पे जाने से पहले एक बात सुन लो। देखो सीयूईटी सारे बच्चे देंगे ना। तो ब्रेक पे जैसे ही जाओगे सीयूईटी वाला चैनल

को सीयूईटी एंड फन को जाके सब्सक्राइब कर लो। जल्दी जाकर सब्सक्राइब कर लो। साथ देखो तुम्हारे तुम सब्सक्राइब कर रहे हो। इसी बात पे ना मैंने 8 मिनट की ब्रेक दे

दी। जाओ फटाफट। कुछ बातें ही कर लें। बोलो भाई क्या हालचाल?

बोर हो रहा था यार छत पे अब तो कोई लोग भी नहीं है बाहर। तो मैंने कहा भाई तुमसे बतिया ही ले। 4 मिनट पड़े हैं। बातें ही कर ले। हां जी।

सांवले दी रंग दी मैं तेनु गोरे रंगा चा सर सुपर चैट मिस कर दी यार मैं ना सिर्फ डैशबोर्ड पे मैं आपको बताता हूं मैं यहां

सिर्फ और सिर्फ कमेंट्स खोल के बैठता हूं। मुझे खुद भी नहीं पता होता कितने बच्चे बैठे हैं। क्या सुपर चैट आ रही है, क्या नहीं आ रही है। वैसे तो हमने अपनी टीम को बोल रखा है यार सुपर चैट बंद ही कर दिया करो। पता नहीं क्या सिस्टम है। ये बच्चे

क्यों मां-बाप का पैसा खराब करते हैं। बट टीम को लगता है पैसा आ रहा है। आने दो। ठीक है। पता नहीं क्या करते हैं। क्या हाल

है? हां जी। खाना खा लिया। अबे कहां खाना

है? हां जी। खाना खा लिया। अबे कहां खाना खा लिया मेरी जान। अभी तो घर जाऊंगा। अभी वाइफ का फोन आया था कि राजमा चावल बने हैं। दे जाऊं क्या? तो मैंने कहा नहीं।

एक्चुअली मेरा ऑफिस और मेरा घर ना बड़ा पासपास है। बस एक गली मतलब गली के सामने ही मेरा घर है। तो बस एक बिल्डिंग पार जाओगे तो मेरा घर आ जाएगा। तो वाइफ ने कहा

कि मैं तुम्हें आएगा नहीं नहीं ऐसे तो आधी भूख मरेगा। घर आऊंगा आराम से बैठ के खाऊंगा। 1 घंटा सवा घंटे बाद हम

डर बहुत डर लग रहा है। जायज भी है भाई। डर लग रहा है तो अगर जिसने पूरे साल नहीं पढ़ा तो उसको डर लगना जायज भी है। लेकिन जिसने पूरा साल

पढ़ा थोड़ा-थोड़ा डर लग रहा है वो भी ठीक है। थोड़ा डर आपकी क्यूसिटी आपका थोड़ी सी एंजायटी जो होती है वो आपके मेहनत को

बढ़ाती ही है। मुझे लगता है कि जो डर है थोड़ा डर अच्छा होता है। उससे बच्चा थोड़ी मेहनत करता है। डर ना होना एक खतरनाक चीज है। यह भी ध्यान रखना। आपको डर नहीं है।

खतरनाक चीज है। हां जी। माइक ऑफ हो गया। माइक ऑफ नहीं हुआ। अबे मजे लेते हो तुम। बहुत ज्यादा। बहुत ज्यादा मजे लेते हो। सर आपका फेवरेट सिंगर कौन है? वन एंड ओनली

दिलजीत पाजी। दिलजीत पाजी, सोनू निगम, अरिजीत सिंह मतलब मैं ज्यादा दिलजीत सुनता हूं। यस। आई एम वेरी डाई हार्ड कोर फैन ऑफ जो भी अंग्रेजी होती है। दिलजीत पाजी। मैं

उनके कॉन्सर्ट्स पे दो बारी गया हूं। एक बारी तो मैंने ब्लैक में टिकट लेकर गया था। आयुष सर ने बताया होगा। बट ठीक है। वर्थ इट था यार। पैसा कहां ले? छाती पर ले

मरना है क्या?

हां जी। खत्म कितने बजे होगा? बस मैं भी अपने आप से पूछ रहा हूं कि खत्म कितने बजे होगा? खत्म कितने बजे होगा? देखते हैं। सर

होगा? खत्म कितने बजे होगा? देखते हैं। सर गाना सुनाओ। गले की हालत बहुत खराब है। और मैं वैसे भी बहुत गला बहुत खराब गाता हूं।

हां जी। चलो जी। तुम लोगों ने सीयूईटी तुम लोगों ने सीयूईटी वाला जो चैनल है वो सब्सक्राइब किया? नहीं किया ना? कहां है

सब्सक्राइब किया? नहीं किया ना? कहां है

डंडा मेरा? काहे लठ मेरी कर दो। अरे बहुत्ट तुम्हें लग रहा है ना अभी चलो अभी मत करो। मेरा क्या जा रहा है? लेकिन जब

वहां मैराथन हो रही होंगी ना फिर तुम आओगे और मैं फिर सब्सक्राइब ओनली मोड वाला चलाऊंगा फिर तुम्हें करना पड़ेगा। ठीक है?

तो इज्जत इसी में पहली कर लो। तो तुम्हें पता है कि भैया देखो हम लोग डोमेन भी पढ़ाने वाले हैं वहां पर। मतलब लाइव तो चलेगा ही चलेगा। ऐप पे कोर्स तो हमारा

स्टार्ट होने ही वाला है। 15-16 से हम लोग सीयूईटी पढ़ाना शुरू कर रहे हैं। साइंस वाले बच्चों को उनके डोमेन पार्ट से शुरू कर लेंगे। और उसके बाद हमारा जब कॉमर्स के पेपर खत्म हो जाएंगे तो हमारा फिर जीएटी

और इंग्लिश और उनके डोमेन शुरू हो जाएंगे। तो और उस डोमेन में हम लोग भी पढ़ा रहे हैं। तो 999 का कोर्स है। इंपॉर्टेंट कोर्स है तुम्हारे लिए। या फिर सीयूटी का

चैनल सब्सक्राइब करो। वहां पे लाइव पढ़ना। वहां भी मैराथों्स होंगी इन द मंथ ऑफ़ एंड ऑफ़ अप्रैल से। वहां भी मैराथॉन स्टार्ट होंगी। ठीक है ना? और रही बात इस

चीज की। ये तो हो ही गया खत्म। टाइम हमारा ये तो टाइम खत्म हो ही गया। गॉड ब्लेस।

बोलो की दे तबयत तो गेस। गॉड ब्लेस। यार मेरी असली ना रेस। गॉड ब्लेस। ये वाला गाना गाऊं। चलो शुरू करते हैं। शुरू करते हैं। तीन हर्ट दे दो। तीन हर्ट दे दो।

देखो एलपीपी स्टार्ट कर रहे हैं हम लोग। अब बाकी बातें बाद में 7 तारीख को साइंस एंड फंड है वहां जरूर आना। और एलपीपी लीनियर प्रोग्रामिंग

प्रॉब्लम नहीं लिखा। देखो मैं तुम्हारे जीवन से प्रॉब्लम हटाना चाह रहा था इसलिए मैंने नहीं लिखा। प्रॉब्लम लीनियर प्रोग्रामिंग प्रॉब्लम। तीन हर्ट अरे आए

नहीं भाई। तीन हर्ट नहीं आए। तीन हर्ट नहीं आए। तीन हर्ट नहीं आए। जल्दी जल्दी जल्दी जल्दी। चलो चलो। तो अब इसका पहला

खाली पेज खाली रह गया। ठीक है जी। कोरा कागज कोरा था कोरा ही रह गया। अब इसको हम नहीं पढ़ रहे क्योंकि हम सीधा क्वेश्चन बना रहे हैं। सर सीधा क्वेश्चन हां जी।

सीधा क्वेश्चन। अब देखो ये वाला चैप्टर सीधा क्वेश्चन से ही सॉल्व किया जाएगा और सीधा सब्जेक्टिव से सॉल्व किया जाएगा। क्योंकि इसी क्वेश्चन में छुपे हैं ढेरों

कांसेप्ट। समझो। तो अब यहां पर क्या है?

सॉल्व द फॉलोइंग लीनियर प्रोग्रामिंग प्रॉब्लम ग्राफिकली। मैक्सिमाइज करना है आपको। मैक्सिमाइज करना है आपको इसको सब्जेक्ट टू

कांस्टेंट। ये कुछ कांस्टेंट दे रखे हैं। पहला कांस्टेंट ये दे रखा है। दूसरा कांस्टेंट ये दे रखा है। और इसका मतलब क्या होता है? इसका मतलब होता है शेड इन

फर्स्ट क्वाड्रेंट। सिर्फ फर्स्ट क्वाड्रेंट के अंदर शेड करना है। सिर्फ और सिर्फ फर्स्ट क्वाड्रेंट में शेड करना है। अब समझो अब इस क्वेश्चन का

सबसे पहला काम जो होता है वो हमारी 11वीं कक्षा से स्टार्ट होता है। क्या करना है आपको? अच्छा 11वीं कक्षा में हम लोगों ने

आपको? अच्छा 11वीं कक्षा में हम लोगों ने सीखा नहीं था ये ग्राफ। तो समझ लो आप पहली बारी सीख रहे हो। यहां पर इनकलिटी का साइन था ना मैंने इक्वल्स टू का रख दिया।

और यहां पर भी मैंने इक्वल्स टू का रख दिया। अब आपको पता ही है कि आप बॉक्स बनाते हो। आपको यह बॉक्स बनाना आता होगा

बेटा। और इस बॉक्स के अंदर आप x और y की दो वैल्यूज निकालोगे। तीन की कोई जरूरत नहीं है। छोटे बच्चे तीन निकालते हैं। इतने तो कॉन्फिडेंट होगे ना

कि आपका आंसर सही आता होगा। x की जगह ज़ीरो पुट करो y तीन आएगा। y की जगह ज़ीरो पुट करो x 5 आएगा। x की जगह ज़ीरो पुट करो y 5

आएगा। y की जगह 0 पुट करो x2 आएगा। इतना काम तो तुमको आता है बेटा। हां जी। बोर्ड में ग्राफ पेपर मिलेगा। बिल्कुल मिलेगा। क्यों नहीं मिलेगा? तो x0

y3 y0 x3 घर से तो लेके जा नहीं सकते हो। x0 y5 y0 x2 अब क्या करना है आपको? एक

ग्राफ पेपर पर कार्टियन प्लेन बना लेना है। ठीक है जी? ये बना लेंगे। ऑब्वियस सी बात है मेरे प्यारे बच्चों। मैं यहां पर फ्री हैंड काम कर रहा हूं। तो मेरा थोड़ा

सा दिक्कत दे होगा काम। लेकिन मैं कोशिश करूंगा कि मैं साफ-साफ काम करूं। तो उसे थोड़ा एक्यूरेसी की मेंटेनेंस मैक्सिमम पांच है तो पांच-प बना लेते हैं। यहां पे

1 2 3 4 5 अब आपके ना गैप बराबर होने चाहिए। वो ग्राफ में तो होते ही हैं। अब यहां गैप बराबर नहीं होंगे तो मेरा आंसर ठीक नहीं आएगा।

पांच। ठीक है जी। अब देखो, प्लॉट करते हैं। प्लॉट करते हैं। देखो, प्लॉट क्या कर रहा हूं? x 0 y3 प्लॉट आता है ना? x 0 y3

रहा हूं? x 0 y3 प्लॉट आता है ना? x 0 y3 यह पॉइंट आ गया। y 0 है, x5 है। y 0 है, x5 है। ये पॉइंट आ

गया। यहां से हम एक लाइन ले लेंगे और ये पास आउट हो जाएगी। ये पास आउट हो गई। देखो।

ठीक है ना? इस लाइन का ये आ गया। और यहां पर आप ये इनकलिटी डाल दोगे। 3x +

π < = 15 आ जाए। इतना काम तो तुमको आता ही है यार। बोलो भाई इतना काम तो तुम्हें आता ही है ग्राफ बनाना। अब ऐसे ही है। x 0 y5

है। x 0 है y5 है। ये रहा। और y 0 है। x2 है। ये रहा। अब यहां से लाइन खींच दो।

यह जा रही लाइन। ठीक है ना? इसका कलर भी हम ये दे देते हैं। एक ही बात है। कोईको भी कलर दे दो। पेपर में तो पेंसिल से ही बनाना पड़ेगा। ठीक है ना? और यहां पर भी

आप इसकी इक्वेशन लिख देंगे कि 5x + 2y < = 10 आ गया। अब आपको करना है एक टेस्ट जिसका नाम होता है बेटा ज़ीरो टेस्ट।

इसको हम लोग जीरो टेस्ट कहते हैं या ओरिजिन टेस्ट भी कहते हैं। आपको पहली

इनकलिटी उठानी है वह है 3x + 5y < = 15 और आपको x और y की जगह 0 पुट करना है। x की जगह ज़ीरो पुट किया तो ज़ीरो हो जाएगा। y की

जगह ज़ीरो पुट किया तो ज़ीरो हो जाएगा। आप बताओ ये बात ट्रू है या फॉल्स है? बताओ

जी। ये बात तो समझ में आती है ना कि मैंने x की जगह ज़ीरो पुट किया तो ज़ीरो हो गया। y की जगह 0 पुट किया तो जीरो हो गया। क्या 0 15 से छोटा है? क्या 0 15 से छोटा है? ये

बात बिल्कुल सत्य है। ये बात एकदम ट्रू है। ये बात एकदम ट्रू है। बहुत बढ़िया। फिर टू की बात करेंगे। सेकंड वाला जो है

वो है बच्चों 5x + 2y < = 10 आ गया। यहां पर भी 0 पुट करेंगे। तो ये बात भी सत्य आ गई। ट्रू है। देखो

कहीं लिख लो। अगर तो ट्रू है तो आपको करना है टुवर्ड्स ओरिजिन। टुवर्ड्स टुवर्ड्स ओरिजिन।

अगर तो ट्रू है तो ओरिजिन की तरफ फॉल्स होगा तो अवे फ्रॉम ओरिजिन। अवे फ्रॉम

ओरिजिन करोगे। अगर ट्रू होगा तो टुवर्ड्स ओरिजिन। फॉल्स होगा अवे फ्रॉम ओरिजिन। अभी देखो दोनों लाइन दोनों लाइन यह भी कह रही

है कि ओरिजिन की तरफ यह भी कह रही है ओरिजिन की तरफ। तो हमारा जो शेड बनता है वो ये वाला शेड बनता है।

लेकिन लेकिन ये कह रहा है खाली फर्स्ट क्वाड्रेंट में शेड होगा। तो हमारा ये शेड नहीं बनेगा। हमारा जो शेड बनेगा वो ये बनेगा।

ये वाला जो कॉमन आ रहा है और फर्स्ट क्वाड्रेंट में है। ठीक है जी। अब मैं यह तुमको ये शेयर करा देता हूं। तो

ये कितनी सेटिस्फाइंग वीडियो जो तुम देखते रहते हो। आधी सेटिस्फाइंग वीडियो चलती है। आधी कोई

ज्ञान की बात चलती है। तो ये वहां लगा दे। ठीक है ना?

तो यह बेटा हमारा शेड पोर्शन आ गया। तो इस रीजन को बोलते हो आप फिजिएबल रीजन। क्या बोलते हो? फिजिएबल रीजन। बाउंडेड रीजन।

बोलते हो? फिजिएबल रीजन। बाउंडेड रीजन। मतलब ये बाउंडेड है। इसको बोलते हैं फिजिएबल रीजन। ठीक है ना? अब अभी तक तो जो काम किया है ना हमने वो 11थ स्टैंडर्ड तक

का किया है। अब आपको क्या करना है? एक

टेबल बनानी है। एक्चुअली सारे नाम मार्क्स जो है ना वो इस टेबल के हैं। सारे मार्क्स इस टेबल के हैं। समझना

ये टेबल बनाई बेटा। ठीक? इसके अंदर z की वैल्यू क्या है? ये

ठीक? इसके अंदर z की वैल्यू क्या है? ये

रही। 5x + 3y अब आपको क्या करना है?

आपको ना कॉर्नर पॉइंट्स ढूंढने हैं। कॉर्नर पॉइंट्स देखो हमारा जो पहला कॉर्नर पॉइंट है वो 0 है। और ये वाला जो कॉर्नर

पॉइंट है ये 2 0 है। ये वाला कॉर्नर पॉइंट जो है वो 0 3 है। ये वाला कॉर्नर पॉइंट तुम बता सकते हो। सर अगर ग्राफ पेपर होता

तो तो बता देता। लेकिन ऐसे तो मैं नहीं बता पा रहा हूं। बेटा मेरी बात सुन। ग्राफ पेपर होगा भी ना तो भी डायरेक्ट नहीं

बताएगा। रफ में जाकर सॉल्व करेगा तू इसको। इन दोनों इक्वेशंस को सॉल्व करो एलिमिनेशन

सब्सीट्यूशन से। 3x + 2y = 15 है। 3x + 5y = 15 है और 5x + 2y = 10 है। इसको सॉल्व

करके x और y की वैल्यू दो बच्चों मुझे। बोलो बोलो पेपर में जीरो ये सब कुछ शो करना है

बेटा यह सब कुछ शो कर देना बेटा ये सब कुछ शो कर देना मैं क्या कह रहा हूं इन दोनों को सॉल्व

करके x और y की वैल्यू दो तो बच्चा कह रहा है x की वैल्यू 20/19 आ रही है और y की वैल्यू क्या आ रही है? 45/19 आ रही है।

45/19 आ रही है। 60/19 45 * 5

+ 60 / 19 15 आ गई। ठीक है जी। तो यानी ये जो पॉइंट हो गया ये 20 /1 19 और 45 /1 मैं

क्या कह रहा हूं? शक्तिमान भी हो गया ना तो भी ये पॉइंट ग्राफ में देखकर तो नहीं बता पाओगे। तो जब भी इंटरसेक्शन पॉइंट होगा वो ग्राफ में देखकर नहीं सॉल्व करके

निकालना है। यह आज प्लेज लेकर जाओगे तो अब अब क्या करना है? अब क्या करना है? ये

पॉइंट पुट करने हैं। चार कॉर्नर पॉइंट है ना इन चारों को पुट करो। ओरिजिन पुट किया।

फिर 2 0 पुट किया। 20 /1 19 45 /1 पुट किया और 0 3 पुट किया। O पर, A पर, B पर,

C पर ऐसे आ गया। इसका नाम O हो गया। यह A हो गया। यह हो गया हमारा B और ये हो गया हमारा C।

सही है जी। अब आप वैल्यू पुट करो। Z की वैल्यू पुट करो तो ज़ीरो आ गया। देखो ज़ीरो ज़ीरो पुट करूंगा ज़ीरो आ गया। टू पुट करूंगा तो 10 आ गया। यहां पर पुट करो।

कितना आ गया? 100 / 19 100 / 19 45 * 3

235 / 19 इसको सॉल्व किया 235 / 19 आ गया। 0 3 किया तो ये आ गया भैया हमारा नाइन। अब देखो क्वेश्चन में क्या कह रहा है?

मैक्सिमम या मिनिमम? तो आपको इनमें से सबसे बड़ी वैल्यू कौन सी लगी? ये लगी।

235 को अगर मैं 19 से डिवाइड करूंगा तो वो 10 से बड़ा जा रहा है। 12.36 जा रहा है। तो तो देयरफ़ देयरफ़ देयरफ़

Z इज़ मैक्सिमम एट जो Z है वह मैक्सिमम है एट B 20 / 19 और 45 / 19 ये हमारा आंसर

आएगा। ठीक है जी। बोलो भैया बोलो भैया। 20/19 और 45 / 19 ये हमारा आंसर आ जाएगा।

हां जी। ओके बेटा। यह जय श्री राम और अल्लाहू अकबर वाले प्लीज बेटा इवेंट लाइक कर देना बाकी जो मर्जी करो ठीक है हमें

लेना देना नहीं है जो मर्जी करो ओके ओके बच्चा कह रहा है चैप्टर बोरिंग लग रहा है अब यहां क्या मतलब कैटरीना कैफ बुलाऊं या

नोरा फतई हैं क्या होगा सिंपल सा चैप्टर है और स्कोरिंग चैप्टर है यह तो तब हो गया जब यह बाउंडेड है। यह तो तब हो गया जब यह

बाउंडेड है। इस रीजन को बोलते हैं बाउंडेड रीजन। लेकिन क्या हो कि सर जब अनबाउंडेड हो जाए, अनबाउंडेड हो जाए। आओ देखते हैं। अभी मैं आपको चैप्टर का बेस बना रहा हूं।

मैंने चैप्टर शुरू नहीं किया। क्वेश्चन करने शुरू नहीं किया। अभी बेस बन रहा है। इस क्वेश्चन से मैंने काफी कुछ बेस आपको क्लियर कर दिया। अगर इस क्वेश्चन में मिनिमाइज पूछता, तो मैं सबसे छोटा आंसर

ज़ीरो बता देता। ठीक है? ठीक है ना? चलो आगे देखें। अब

ठीक है? ठीक है ना? चलो आगे देखें। अब जैसे ये कह रहा है। अब जैसे यह क्वेश्चन है। अब देखो। इस क्वेश्चन को करेंगे। सब्जेक्ट टू कांस्टेंट में क्या-क्या है?

देखो। सब्जेक्ट टू कांस्टेंट में एक यह है, एक यह है, एक ये भी है और एक ये भी है। इसका मतलब तो फर्स्ट क्वाड्रेंट है। मैं एक क्वेश्चन और प्रैक्टिस के लिए लेकर

आया हूं। बाउंडेड इकाई। चलो जी। तो सबसे

पहले तो 3x + y = 66 x + y = 45 आ गया। तो इसका अगर मैं बक्सा बनाता हूं।

तो यह x और y x को अगर मैं 0 पुट करता हूं तो y की वैल्यू 66 आएगी और यहां पर पुट करता हूं तो ये 22 आएगी। अब यहां पर अगर

मैं पुट कर रहा हूं x और y समझो बेटा मेरी जान। अब ना मुझे यहां पर थोड़ी सी चालाकी करनी पड़ेगी। यह ध्यान रखना। अब अब मैं

यहां पर अगर वन पुट कर देता हूं तो ये 44 आ जाएगा। लेकिन वन और 44 एक ही ग्राफ में प्लॉट करना बड़ा मुश्किल काम हो जाता है। बहुत मुश्किल काम है। ठीक है ना? तो हम

यहां पर क्या करेंगे? वही ज़ीरो पुट किया 45 ज़ीरो पुट किया और 45 सर ये भी दोनों एक ग्राफ में प्लॉट करना बड़ा मुश्किल है। हां। लेकिन अगर मैं 1010 का गैप लेके

चलूंगा तो कोई मुश्किल नहीं है। देखो क्या करेंगे? क्योंकि मुझे 20 और 40 को भी

क्या करेंगे? क्योंकि मुझे 20 और 40 को भी प्लॉट करना है ना। अभी देखो समझ में आ जाएगा। स्केल इज वेरीेंट ना। एक ग्राफ का

सही बनना उसके स्केल पर भी उतना ही डिपेंड करता है जितनी इनकी वैल्यूस पर। देखो तो मैं यहां क्या करूंगा? यह आ गया

भैया कहीं ना कहीं यह आ गया हमारा 10 20

30 40 50 60 70 10 20 30 40 50 60 70 10 का गैप ले लिया x 0 y 66 तो कहीं ना

कहीं ये पॉइंट मैंने रैंडमली यहां प्लॉट कर दिया और ये 22 पर आ गया तो मैंने कहीं ना कहीं यहां प्लॉट कर ठीक है जी ठीक है जी ये आ गया

ऐसे आ गया बेटा ये रहा जी प्लॉट सही है ना क्लियर हो गया क्लियर हो गया क्लियर हो गया बहुत बढ़िया हो गया ऐसे इसको करेंगे x

45 है देखो 10 20 30 40 tan 20 30 40 45 इधर का ही आ गया बेटा मैं फिर बोल रहा हूं मैं फ्री हैंड बना रहा हूं ना 45 10 20 30

40 ये भी आ गया बच्चों 45 अब एक ग्राफ हम यहां से ले लेंगे। ये ऐसे आ गया। ठीक? सब्र का काम है बेटा ये ना सारा ना गेम सब्र का है। ये आ गया।

अब बनाना है x। ये देखो ये वाला जो है ये क्या है? x = 20 भी है और y = 40 भी है। x

क्या है? x = 20 भी है और y = 40 भी है। x = 20 का मतलब क्या हो गया? 20 से लाइन चली जाएगी। यह रही।

यह रही लाइन जो 20 से चली जाएगी। यह लाइन जो 20 से चली जाएगी। सही है ना? यह सीधा

है ना? हां जी।

ये आ गई 20 से लाइन चली गई। एक लाइन ये आ गई। और एक लाइन और आएगी बेटा। जो जाएगी y

= 40 से। ये रहा 40। ये ऐसी लाइन आ गई जो 40 से चली जाएगी। अब ये कुछ जंजाल सा बन गया बेटा हमारा। चार पांच लाइनें आ गई। चिंता नहीं करनी।

सबका जीरो टेस्ट होगा। देखो सबका जीरो टेस्ट होगा। क्या कह रहा है? x + y < = 45 है। तो 0 45 से छोटा है। तो ये बात तो

ट्रू हो गई। तो ये जो 45 वाली लाइन है वो तो ट्रू जा रही है। वो कहां जा रही है?

ट्रू जा रही है। उसके बाद उसके बाद 3x 3x + y < = 66 है। ये भी ज़ीरो से ट्रू ही जा रही है। ये भी ट्रू है। तो ये जो 66 वाली

लाइन है ये वाली लाइन ये भी ट्रू जा रही है। यहां पर पुट करोगे इधर पुट करोगे। x < < = 20 तो 0 < = 20 ये भी ट्रू जा रही है।

तो ये भी ट्रू है। और ध्यान से देखना ये ये भी ट्रू आएगी। तो यह सारी अगर ट्रू आ रही है तो बेटा मेरा शेडेड रीजन क्या बना?

मेरा शेडेड रीजन यह बना। यह देखो ये ये ये और ये आ गया। प्रीमियम क्वेश्चन ले आया हूं कि ताकि तुमको घर जाकर किसी भी क्वेश्चन में कोई दिक्कत ना आए। तो अब

यहां पर तुम वो अपने आप बना लेना। शेडेड रीजन। बना लिया। अब इसके आ गए कॉर्नर पॉइंट्स। अब इसके कॉर्नर पॉइंट ढंग से देखना। कॉमन शेडेड पोजीशन निकालना पड़ेगा।

और यह हमारा देश चाइना से जीतने की बात कर रहा है। सोच के देखो। सोच के देखो। सोच के देखो।

ये आ गया। ये आ गया। ये आ गया। ये आ गया। ये पॉइंट आ गया। और ये पॉइंट आ गया। मल्टीपल पॉइंट्स हैं। तो ये वाला पॉइंट आया जीरो ज़ीरो।

यह वाला पॉइंट मुझे पता है। यह वाला पॉइंट देखो यह O है, A है, B है, E है, D है और E है। ठीक है ना? ठीक है ना? अब जो मेरा O

पॉइंट है वो तो आ गया ओरिजिन। ओरिजिन। A जो आ गया ये वाला ये आ गया 20 0 ये वाला पॉइंट बेटा मुझे निकालना पड़े।

कैसे? जो ये वाली इक्वेशन है यह पहली वाली

कैसे? जो ये वाली इक्वेशन है यह पहली वाली इक्वेशन। यह वाला पॉइंट b पॉइंट कैसे

निकलेगा? 3x + y = 66 को यह वाली इक्वेशन

निकलेगा? 3x + y = 66 को यह वाली इक्वेशन जो x = 20 वाली इक्वेशन है इसके साथ सॉल्व

करना पड़ेगा। तो अगर x बेटा मेरा 20 है तो y मेरा छ आ जाएगा। x 20 है तो y बेटा मेरा कितना आ जाएगा? छ आ जाएगा। देखो x को 20

पुट करोगे तो y छ तो 20 6 मेरा b पॉइंट आएगा। तो b पॉइंट आ गया। 20 6 आ गया। बहुत ही बढ़िया। ये रहा देखो। अब ये वाला पॉइंट

देखते हैं। ये वाला पॉइंट। ये वाला पॉइंट आएगा इन दोनों इक्वेशंस को सॉल्व करके। c पॉइंट कैसे निकालूंगा? c पॉइंट आएगा 3x +

y = 66 और x + y = 45 को सॉल्व करके सॉल्व करो। सॉल्व कर लो भैया इसको। 3x + y = 66

है। x + y = 45 है। ये कट जाएगा और ये आ गया 2x = 21 आ गया। ठीक है जी। तो मेरे x

की वैल्यू कहीं ना कहीं आ गई 21 / 2। बोलो भैया। मेरे x की वैल्यू क्या आ गई? कहीं

ना कहीं 21 / 2 आ गई। अब मैं y की वैल्यू अगर निकालूंगा तो मेरे y की वैल्यू आ जाएगी 45 - 21 / 2 तो 90 में से 21 चला

जाएगा तो 69/ 2 आ जाएगी। y की वैल्यू आ गई 69/ 2 तो मेरा जो C पॉइंट आ गया मेरा जो C पॉइंट

आ गया वो क्या आ गया बेटा? वो क्या आ गया?

C पॉइंट। C पॉइंट आ गया 21/2 और 69/2। अब मैं अपने D पॉइंट पे चलूंगा। अब ये जो मेरा D पॉइंट है इसके अंदर Y मेरा 45 है

और ये वाली जो लाइन है हमारी 45 वाली ये वाला देखो ये वाला। यहां पर मेरा Y 40 था। तो Y की जगह 40 पुट करूंगा तो X पांच आ

जाएगा। तो ये 5 40 आ गया बेटा ये पॉइंट। और अगर मैं E पॉइंट की बात करूं वो तो 0 40 है ही है। E की बात करूंगा तो 0 40 आ

गया। अब ये सारी की सारी वैल्यूज़ आप यहां पर पुट करोगे। सारी की सारी वैल्यूज़ आप z = 8x + 7y पे पुट करोगे। जैसे यहां पर पुट

किया तो z की वैल्यू ज़ीरो आ गई। यहां से z की वैल्यू 160 आ गई। ये पूरा आप सॉल्व कर लोगे और फिर आप मैक्सिमाइज़ या मिनिमाइज़ आप बता दोगे। इसके आगे का काम आप होमवर्क में

कर लेना या कमेंट सेक्शन में आंसर बता देना कर लोगे कर लोगे बेटा बताओ जी कर लोगे 3 हर्ट्ज दे दीजिए मेरे प्यारे बच्चों

3 हर्ट्ज दे दीजिए मेरे प्यारे बच्चों अगर आप इसको घर पे ईजीली सॉल्व कर लोगे मेरे प्यारे बच्चों हां जी अगर आप इसको ईजीली घर पर सॉल्व कर लोगे

मेरे प्यारे बच्चों बोलो भैया हां जी 3 हर्ट्ज दे दीजिए कर लेंगे ना कर लेंगे ना

बहुत बढ़िया चलो जी लेकिन कुछ क्वेश्चन ऐसे भी होते हैं जो अनबाउंडेड होते हैं। उसके अंदर एक स्टेप और आगे जाना होता है। यह क्वेश्चन के बाद बेटा हम फिर ऐसे

छोटे-छोटे क्वेश्चंस पर आ जाएंगे। ठीक है ना? यह आखिरी हम एक बड़ा क्वेश्चन कर रहे

ना? यह आखिरी हम एक बड़ा क्वेश्चन कर रहे हैं। बाकी सारे क्वेश्चन हमारे अब छोटे रहेंगे। क्योंकि ये वाला जो क्वेश्चन आ रहा है वो अनबाउंडेड रीजन का आ रहा है। ये वाला जो क्वेश्चन आएगा वो अनबाउंडेड रीजन

का आ जाएगा। ठीक है ना? यहां पर एक मिस प्रिंटिंग है। ये x भी हां जी। चलो आगे देखो। अब सबसे पहले तो यह वाली जो लाइन है

x + y = 5 आ गया। यह आ गया बेटा। अब इसको क्या करेंगे? x को 0 पुट करेंगे। y 5 आ

क्या करेंगे? x को 0 पुट करेंगे। y 5 आ गया। y 0 x5 आ गया। एक आ गया x + 2y = 6 आ

गया। बॉक्स बनाएंगे। x को ज़ीरो पुट करेंगे। y 3 आ जाएगा। y को ज़ीरो पुट करेंगे। x 6 आ जाएगा। x जो है वो ग्रेटर दैन इक्व 3 है तो तीन

भी आ गया। अब हम ग्राफ पर इसको प्लॉट कर लेते हैं। अब आप ध्यान से देखोगे ना तो यहां पर एक अनबाउंडेड रीजन बनेगा। अभी क्या था जो भी

हमारे कॉर्नर पॉइंट्स आ रहे थे वो एक बाउंडेड रीजन के तहत आ रहे थे। अभी क्या है ना कि हमारा जो रीजन आ रहा है वो अनबाउंडेड आना शुरू हो जाएगा। देखो मैं

आपको दिखाता हूं। पहले हम क्या करते हैं?

ये आ गया ना? 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 सही है बेटा? ये आ गए।

है बेटा? ये आ गए। ओके जी। अब x 0 y5 आ गया। 1 2 3 4 5 बेटा जो जेनुइनली पढ़ने आया है ना जस्ट क्लोज

योर चैट एंड फोकस ऑन दिस। ठीक है जी। लेट देम डू दे वांट टू डू। कोई फर्क नहीं पड़ रहा। आधे से ज्यादा जो लोग हैं उनको पैसे मिलते हैं काम करने के। उनकी रोजी रोटी है

उनको करने दो। आधे से ज्यादा बच्चे वो बच्चे ही नहीं है। पहली बात तो अगर वो बच्चे हैं तो उनका जीवन बहुत अंधकार में है। मैं कुछ बोलूंगा तो बहुत बड़ा विवाद

हो जाएगा। आजकल वही सब चल रहा है। तो अपने-अपने धर्म को प्रमोट करना यह सबसे ज्यादा नीचपने वाला काम है। बाकी आप उसको बिल्कुल मत देखो। मैं मैं भी नहीं देख

रहा। आप भी मत देखो। पढ़ने वाले बच्चे यहां पर हैं। मैं नहीं मानता कि अभी 5500 जो बच्चा बैठा हुआ है वो सारे के सारे मैं कह रहा हूं 500 बच्चा ऐसा होगा जो कह रहा

है ये जाए वो जाए। ठीक है ना? बाकी 5000

बच्चा पढ़ने वाला होगा। वो अपनी चैट को क्लोज करो और फोकस देखो क्योंकि आपने एलपीपी को अगर हल्के में ले लिया ना तो दिक्कत में आ जाओगे। क्योंकि एलपीपी के बहुत प्राइम क्वेश्चन अभी बाकी हैं। मैं पहले बेस बना लूं फिर प्राइम क्वेश्चन पे

चलते हैं। चलो। ठीक है जी। चैट को बंद कर दो मेरे प्यारे बच्चों। चलो, शाबाश। अब यहां पर हम प्लॉटिंग शुरू करेंगे। प्लॉटिंग शुरू करेंगे। x फाइव आ गया और y

भी फाइव आ गया। ये आ गया जी फाइव। तो एक लाइन तो यहां से ड्रॉ कर दो। एक लाइन यहां से ड्रॉ हो गई। बहुत ही

बढ़िया ड्रॉ हो गई। फिर आया x0 y3 है। x0 y3 है। और एक x6 आ गया। y ये आ गया। x6 आ गया। एक लाइन यहां से ड्रॉ करेंगे।

ठीक है? ऐसे एक पॉइंट आ गया। ये आ गया।

ठीक है? ऐसे एक पॉइंट आ गया। ये आ गया। इसका कलर भी हम यही कर देंगे। इसके बाद x = 3 है। x = 3 है। x = 3 है तो ये लाइन आ

जाएगी। थ्री है तो यहां से चली। ये रही थ्री। ठीक? ये आ गई x = 3। अब अगर हम बात करें

ठीक? ये आ गई x = 3। अब अगर हम बात करें तीनों का जीरो टेस्ट करते हैं। तीनों का अगर मैं जीरो टेस्ट करता हूं तो x > = 3

है। तो 0 3 से बड़ा है तो फॉल्स आ गई बात। फिर आता है x + y > = 5 क्या 0 5 से बड़ा है? ये भी बात फॉल्स है। फिर आता है x +

है? ये भी बात फॉल्स है। फिर आता है x + 2y > 6 क्या 0 6 से बड़ा है भैया? ये भी

बात फॉल्स है। तो भैया अगर अगर फॉल्स है अगर फॉल्स है तो देखो तो ये भी ओरिजिन के अगेंस्ट जाएगा। ओरिजिन के अगेंस्ट जाएगा। ये भी ओरिजिन के अगेंस्ट और ये भी ओरिजिन

के अगेंस्ट। तो मेरा जो शेडेड पोर्शन निकल के आ रहा है जो मेरा शेडेड पोर्शन निकल के आ रहा है यह इधर यह इधर यह इधर। तो बेटा मेरे प्यारे बच्चों वो यह निकल के आ रहा

है। यह निकल के आ रहा है। और अगर मैं गौर से देखूं बेटा मेरे क्रिटिकल पॉइंट्स तो मेरा ये कलर नहीं दिखेगा अभी यहां पर आपको मैं

ग्रीन कलर से तो मेरे जो क्रिटिकल पॉइंट्स हैं वो ये हैं। ये है और एक ये वाला क्रिटिकल पॉइंट है। ठीक? अब ये क्रिटिकल पॉइंट में जो मुझे

ठीक? अब ये क्रिटिकल पॉइंट में जो मुझे दिखाई दे रहा है वो एक A दिखाई दे रहा है। एक B दिखाई दे रहा है और एक C दिखाई दे

रहा है। तो जो मेरा A पॉइंट है वो क्या है बेटा हमारा? 1 2 3 4 5 6 6 0 है।

बेटा हमारा? 1 2 3 4 5 6 6 0 है। अब जो मेरा B पॉइंट है, B पॉइंट क्या है?

जहां पर ये दोनों इक्वेशंस आपस में इंटरसेक्ट कर रही हैं। तो इनको अगर मैं सॉल्व करूंगा तो X से X कट जाएगा। ये आ

गया y = 1 आ गया। देखो ना x + y = 5 है और ये आया x + 2y = 6 आया। ये आ गया - y = -1

y की वैल्यू वन आ गई तो x की वैल्यू 4 आ गई। तो x4 आ गया और y 1 आ गया। x4 आ गया y 1 आ गया। ग्राफ से मत देखना। फिर यहां पर

ये हमारा x3 है और ये वाली जो लाइन है ये वाली लाइन पांच वाली x3 है तो y2 आ जाएगा। तो एक जो हमारा c पॉइंट आ रहा है x3 है तो

y2 आ जाएगा सर तो बाउंडेड और अनबाउंडेड में फर्क क्या हुआ आपने वहां पर जो ये निकाले वो बाउंडेड थे। फिर आपने उनको पुट करके मिनिमाइज मैक्सिमाइज कर लिया। यहां

पर अनबाउंडेड में भी कॉर्नर पॉइंट आपने यही निकाले और आप मिनिमाइज मैक्सिमाइज कर रहे हो। तो देखो यहां पर मैं वही काम कर रहा हूं मेरे प्यारे बच्चों। देखो

ये टेबल बना ली। क्या है बेटा मेरा? z

क्या है? -x + 2y -x + 2y है। ये आ गया बेटा। अब a -x है तो -6 आ जाएगा। इधर आया।

ये आया -4 + 2 = -2 और यहां पर ये आ गया -3 + 4 = 1 आ गया। मुझे यहां पर मैक्सिमाइज की वैल्यू निकालनी है। तो मेरा

आंसर 3 2 पर आ रहा है। मेरा आंसर 3 2 पर आ रहा है। लेकिन अब मेरी बात ध्यान से सुनना। मेरा प्रीब बोर्ड हुआ। छह नंबर का

क्वेश्चन आता था। मैडम ने मुझे चार नंबर दिए। मेरा आंसर बाकी बच्चों के आंसर से मैच कर रहा था। पीछे आंसर देखोगे 3 2 बिल्कुल आ रहा है कि

जो z है वो मैक्सिमम है 3 2 पर। मैंने सोचा जबकि आज मैं पढ़ाने वाले प्लेटफार्म पर हूं तो उन्हीं टीचर से इंस्पायर होकर ही हूं। मैं बहुत

इंस्पिरेशन लेता था नीलम साहनी मैम थी मेरी मैथमेटिक्स की। शी इज़ अ वेरी ब्रिलियंट टीचर। तो बट फिर भी उस समय बोलते हैं अबे यार ऐसे बोलते हैं ना टीचर को गलती से बोल देते हैं। उस समय तो हम

बोल भी देते हैं कि पागल है यार पता नहीं क्यों काट दिए नंबर। नहीं नहीं जाते थे टीचर के पास। फिर सेकंड प्री बोर्ड हुआ तो वहां पर हमारे टीचर ने फिर नंबर काट लिए। फिर अनबाउंडेड आया। तो इस बारी मैंने

हिम्मत करके वहां पे चला भी गया। तो मैडम ने मुझे समझाया कि बेटा यहां पर तूने अधूरा आंसर लिखा है। ये जो तूने आंसर लिखा है ये अधूरा है। ये आंसर तेरा अधूरा है।

तू कैसे कह सकता है कि सिर्फ यही एक पॉइंट है। जबकि अनबाउंडेड रीजन है। मल्टीपल और आगे भी पॉइंट हो सकते हैं। तो आपको ये साबित करना पड़ेगा कि C इज़ द ओनली पॉइंट

वेयर Z इज़ मैक्सिमम। तो उसके लिए ना आपको एक एक ओपन इनकलिटी डेवलप करनी है। हमारे z की वैल्यू क्या आई है? वन आई है। देखो तो

हमारा z जो था वो था जो हमारा z था वो था -x + 2y तो क्या x और y की कोई ऐसी वैल्यू एग्ज़िस्ट कर रही है जो वन से बड़ा आंसर

दे दे। क्या वन से बड़ा कोई ऐसी वैल्यू एग्ज़िस्ट कर रही है? तो आपने एक नई ओपन एंडेड ओपन एंडेड का मतलब क्या होता है बेटा कि यहां इक्वल्स टू का साइन नहीं

होगा। आपको एक नई इनकलिटी बना के फॉर्मेलिटी करनी है। देखो अब इसका बॉक्स बनाओगे। इसका बॉक्स बनाओ। बॉक्स बनाओ। जब

मैं इस वाली इनकलिटी का बॉक्स बनाऊंगा तो एक तो पॉइंट वही आएगा। 3 2 जो ये है। देखो 3 2 पुट करोगे तो वन आ जाएगा। एक तो

वही आएगा। और कोई अपने हिसाब से आप सोच लो। जैसे अगर मैं x की जगह वन पुट करता हूं तो मेरा y भी वन आ जाए।

एक आधा और पुट करना चाहो आप कर सकते हो। जैसे अगर मैं x की जगह मान लो माइनस मान लो x की जगह पांच पुट करता हूं तो y की

वैल्यू बेटा मेरी तीन आ जाएगी। ठीक है ना?

अब क्या करना है? आपको ये तीनों पॉइंट प्लॉट करके देखने हैं। मैं एकदम थोड़ा वियर्ड सा पेन लेकर देखता हूं जो अभी तक हमने नहीं किया। लेट दैट्स इट। यह ले लेता

हूं और थोड़ा सा मैं इसकी थिकनेस बढ़ाता हूं। तो 3 2 जो 3 2 है वो तो C पॉइंट है। एक तो पॉइंट ये आ गया। एक आ गया 1 1

पॉइंट ये आ गया। और एक आ गया 5 3 1 2 3 4 5 3 ये पॉइंट आ गया। देखो भैया ये तो बहुत ही भयंकर क्वेश्चन आ गया। अब

देखो हम क्या करेंगे? यहां से एक लाइन ड्रॉ करेंगे। ये रही ये जो लाइन जा रही है। अब यहां से जो मेरी लाइन चली गई ये तो बड़ी वियर्ड सी लाइन चली गई। देखो ना ये वाली

लाइन जो चली गई। ये तो बड़ी वियर्ड सी लाइन चली गई ये वाली लाइन। अब मेरी बात सुनो। दो पैराटर्स हैं। दो पैरामीटर है। मैं क्वेश्चन देख के जज नहीं कर पाता हूं कि

ये वही वाला पैरामीटर है कि नहीं है। अब मेरी बात सुनना बेटा। मेरी बात सुनना। पहला पैरामीटर तो ये था कि ये लाइन अंदर

घुस गई फिज़िएबल रीजन के। अगर यह अंदर घुस गई। अगर यह अंदर घुस गई फिजिएबल रीजन के तो इसका मतलब पता है क्या है? इसका मतलब

पता है क्या है? इसका मतलब यह है। इसका मतलब यह है कि नो मैक्सिमम वैल्यू

एग्जिस्ट। कोई भी मैक्सिमम वैल्यू एक्सिस्ट नहीं करेगी। तो यानी ये हमारा आंसर रॉन्ग आया है। मल्टीपल आंसर करेंगे। मल्टीपल बहुत सारे आंसर एक्सिस्ट कर रहे

होंगे। एक तो ये आया हमारा क्वेश्चन अब सॉल्व हो गया। अब दूसरी बात सुनो। अब दूसरी बात एक सुन लो। मान लो कि मैं जब ये

ग्राफ बनाता और मेरा आंसर जो आता मान लो मेरी लाइन यहीं से पास आउट होती। देखो देखो देखो देखो मान लो जो मेरी लाइन होती

वो ऐसे पास आउट होती। ये वाली ऐसे मान लो ये जो ग्रे लाइन दिख रही है तो इसका मतलब था देखो दो पैरामीटर हैं। पहला पैरामीटर कि जो मेरी इमिनरी लाइन है वो फिजिएबल

रीजन में घुस गई तो यानी कोई आंसर एक्सिस्ट नहीं करता। समझ में आ गया? साइड

में रख दिया। दूसरा एक पैरामीटर ये भी कहता है कि अगर मेरा जो इनकलिटी बनाई है इमेजिनरी वो सिर्फ उसी पॉइंट से पास आउट करे जो मेरा आंसर है।

तो इसका मतलब है सी इज द ओनली आंसर। समझ में आया? तीन हर दो हो गए। अभी फिलहाल यह अभी फिलहाल यह नहीं है। अभी फिलहाल यह

नहीं है। अभी ये फिलहाल नहीं है। लेकिन अगर अगर मेरी ये इनकलिटी मेरी ये वाली इनकलिटी सिर्फ और सिर्फ इसी पॉइंट से चली

जाए तो इसका मतलब है जो मैंने आंसर निकाला है वो सर्वोत्तम सही है। तो C32 इज द पॉइंट ऑफ मैक्सिमम।

लेकिन लेकिन लेकिन अभी जो हमारा आंसर है उसके अंदर यह इमेजिनरी लाइन फिजिएबल रीजन में घुस गई। तो यानी कोई भी आंसर एक्सिस्ट नहीं करेगा।

और ये काम सिर्फ अनबाउंडेड रीजन में ही करना है। बाउंडेड में नहीं है। देखते हैं आगे क्वेश्चन आएंगे कि नहीं आएंगे। ठीक है? इस बात को थोड़ा गौर फरमाना। ठीक है

है? इस बात को थोड़ा गौर फरमाना। ठीक है ना बेटा? आगे देखते हैं। अभी अभी देखेंगे

ना बेटा? आगे देखते हैं। अभी अभी देखेंगे आगे। ये कहीं ना कहीं दोहरा ही दूंगा इस बात को। वरना मैराथॉन वाले दिन तो मैं ले ही आऊंगा। या आज अभी आप एनसीईआरटी के ऐसे

क्वेश्चन कर लेना जहां पर ये इनकलिटी जो होती है ना ये वाली चिड़िया की चोंच X और Y की तरफ खुली होगी ना तो आप समझ जाना चिड़िया की चोंच X और Y की तरफ जब खुली

होती है तो समझ जाना अनबाउंडेड रीजन है। तो एक आधा क्वेश्चन परफॉर्म कर लेना। बहुत बढ़िया। ठीक है जी। आगे देखेंगे। अब ये ना बहुत छोटे-छोटे से क्वेश्चन शुरू हो

जाएंगे और मजेदार क्वेश्चन शुरू हो जाएंगे। ठीक है ना? चलो। अब ये क्या कह रहा है? बहुत बेसिक क्वेश्चन है। अब समझ

रहा है? बहुत बेसिक क्वेश्चन है। अब समझ लो 15 मिनट में तुम्हारा चैप्टर खत्म होने वाला है। 15 मिनट में ऑब्जेक्टिव फंक्शन ऑफ अ लीनियर प्रोग्रामिंग। देखो एक एमसीक्यू आएगा एक बड़ा क्वेश्चन आएगा। बड़ा क्वेश्चन बाउंडेड भी हो सकता है,

अनबाउंडेड भी हो सकता है। वो एनसीआरटी से आप प्रैक्टिस कर लोगे। मैं और प्रैक्टिस कराऊंगा जब मैं पार्ट टू की 8 फरवरी को 8 मार्च को क्वेश्चन कराऊंगा। उससे पहले तुम कर लेना। मैं कल असाइनमेंट भी दूंगा।

उसमें भी आ जाएंगे क्वेश्चन। कह रहे हैं द ऑब्जेक्टिव फंक्शन ऑफ अ लीनियर प्रोग्रामिंग प्रॉब्लम इज गिवन बाय दिस। a एंड b कांस्टेंट है। इन दोनों पॉइंट पर

मिनिमम आ रहा है। यानी इन दोनों पॉइंट पे z की वैल्यू सेम है। तो जो z है वो है ax

+ by तो 50 30 हो तो भी z की वैल्यू वही आ रही है। 50 पुट करो तो ये 50a और 30b आ

गया। तो इससे जो z की वैल्यू आई वही वैल्यू 20 40 से भी आ रही है। तो 20A और 40B आ गई।

तो ये दोनों आपस में बराबर हो जाएंगे क्योंकि दोनों से मिनिमम आ रहा है। दोनों से ही मिनिमम आ रहा है। तो यह आ गया भैया

30a और यह आ गया 10b तो आंसर आ गया 3a = b 3a = b सही है जी। हां बेटा बच्चा कह रहा है कि ये सिर्फ मैक्सिमम के केस में होगा। नहीं बेटा ये

मिनिमम और मैक्सिमम दोनों के केस में अनबाउंडेड होना चाहिए। बस अनबाउंडेड होना चाहिए। कह रहा है कॉर्नर पॉइंट ऑफ द फिजिएबल रीजन ऑफ़ एलपीपी आर दिस। तो आपको

मैक्सिमम प्रॉफिट निकाल आपको कॉर्नर पॉइंट्स दिए हुए हैं। ठीक है जी। तो वो जो टेबल बनती है वो वो बना लेंगे। तो एक

पॉइंट है भैया हमारा 0 एक है 0 8 एक है 2 7 एक है 5 4 और एक है 6

0 ये सारे पॉइंट यहां पर पुट कर लो 3x + 2y पर तो यहां पर z की वैल्यू ज़ीरो यहां

पर z की वैल्यू 16 यहां पर आ गई 6 और 14 20 हो गई यहां पर आ गई हमारी 15 और 8 23

हो गई यहां पर आ गई भैया हमारी 18 तो हमको मैक्सिमम वैल्यू बोली है तो वो पांच और चार पर आ जाएगी कहां पर आ जाएगी पांच और

चार पर ठीक है जी पांच और चार पर आ ऐसे क्वेश्चन बहुत ज्यादा पूछे जाएंगे तुमसे ये देखो 2024 के अंदर भी इसी प्रकार का क्वेश्चन है पूछा गया है ये आपको ऑलरेडी

कॉर्नर पॉइंट्स ढूंढ के दिए हुए हैं z रखा है ये ऑब्जेक्टिव फंक्शन है मैक्सिमम वैल्यू बतानी है आपको बता लोगे बता दो जी तो जो हमारे ये कॉर्नर पॉइंट्स

दे रखे हैं ये का ये सारे के सारे हमारे कॉर्नर पॉइंट दे रखे हैं। सेम देखो अभी जो

हमने किया यह आया भैया हमारा एक तो 0 आया

एक आया हमारा 4 0 6 5 6 8 4 10 और 0 8 ये आ गया और z की वैल्यू जो दे रखी है वो 3x

- 4y दे रखी है और यहां पर भी आपको बाय चांस मैक्सिमम ही बोला है तो जैसे यहां z की वैल्यू 0 आ गई z की वैल्यू 12 आ गई 18

- 20 18 - 20 - 2 आ जाएगी और यह आ गया

भैया 18 - 32 18 - 32 - 14 आ गई और यहां आ

गई भैया 12 - 40 - 18 आ गई 12 नहीं 28 और यहां पर z की वैल्यू आ गई - 8 * 4 32 तो

सबसे मैक्सिमम वैल्यू आ गई 4 0 पर क्या आ गई भैया? 4 0 पर बार आ जाएगी। कह रहे हैं

गई भैया? 4 0 पर बार आ जाएगी। कह रहे हैं z px + qy इज ऑब्जेक्टिव फंक्शन। कंडीशन बतानी है। जैसे अभी हमने किया था तो ये होमवर्क आ गया। अभी हमने a और b वाला किया

था ना तो ये वही वाला क्वेश्चन आ गया। बोलो ना यहां पर बस पहले आपको पुट करना है। कराऊं क्या? सेकंड पार्ट कराऊं क्या?

लो करा देता हूं। तो यहां पर पहले आपको 4 और 10 पुट करना है। तो z आ गया 4p + 10q

और यह भी मैक्सिमम है और 6p + 8q ये भी मैक्सिमम है। तो 4p + 10q जो है वो बराबर

आ गया 6p + 8q के। इधर आ जाएगा -2p इधर आ जाएगा -2q तो p जो है वो q के बराबर आ गया। p जो q के बराबर आ गया। कर लेंगे ना?

कर लेंगे ना? मैंने करा दिया लो। मैंने करा दिया लो। सही है जी। अब जैसे यह क्वेश्चन आया यह अब देखो अब ये फुल फ्लेज क्वेश्चन है जो 2025

में डायरेक्ट पूछा गया है। ऑल इंडिया 2025 में ये डायरेक्ट क्वेश्चन आया था। इसके अंदर एक अच्छा अब इसके अंदर एक खास बात है। ये देखो। अब ये क्वेश्चन तुम्हें करना

चाहिए। अभी यहीं पर बैठकर कि जो ये है अब समय को मत देखो कि कितना लेट हो गया, कितना वो हो गया। समय तुम्हारे लिए भी लेट है तो मेरे लिए भी लेट हो गया ना। तो यहां पर यह जो है ना यह बहुत ब्रिलियंट लाइन

है। यह ओरिजिन से पास आउट हो जाएगी। और इस पे जीरो टेस्ट नहीं होता। इस पे जीरो टेस्ट नहीं होता। अब मेरी बात समझो। जैसे ये क्वेश्चन आया कि x + 2y

< = 120 है। तो इसका अगर मैं बॉक्स बना लूंगा। x 0 है तो y 60 आ गया। y 0 है तो ये 120 आ

गया। x + y 60 आ गया। तो इसके तो ग्राफ बन ही गए हैं। x और y 0 पर 60 0 पर 60 और x -

2y जो है वो भी 0 के बराबर है। तो एक पॉइंट तो भैया इसका आएगा 0 और एक थोड़ा बड़ा ले लेना कि ताकि हम ये

वैल्यूज़ प्लॉट कर पाएं। हम ये वैल्यूज़ प्लॉट कर पाएं। ठीक है ना? तो जैसे अगर मैं y की जगह 20 लेता हूं तो x 40 आ जाता है। 1 2 मत ले लेना। और इसका मतलब फर्स्ट

क्वाड्रेंट होता है। आओ देखते हैं कि बाउंडेड निकलेगा या अनबाउंडेड क्योंकि बच्चे कह रहे थे बाउंडेड का तो समझ में आ गया अनबाउंडेड का एक और क्वेश्चन हो जाए तो वो देखते हैं अब ये तुम्हारी किस्मत

में है या नहीं है। ठीक है ना? वही पता चल जाएगा। तो जैसे मैंने यहां पर यह आ गया 20 40 60

80 20 40 60 80 प्लॉट कर लो। अच्छा 80 के आगे 120 भी है। 80 के आगे 120 भी है। तो

थोड़ा गैप कम करो भाई इनका। तो यहां आया 20 40 60 80 100 120

40 60 80 100 120 ऐसे आ गया। तो x 0 y 60 आ गया। y 60 ये आ गया और यह आ गया x 120 तो यह

लाइन खींच दो यहां से। यह लाइन आ गई। ठीक है जी। ओए होए होए होए कलर की तो नहीं रखूंगा। फिर ये आ गया x 60

y 60 x 60 है और y भी 60 है। तो ये लाइन तो ऐसे चली जाएगी। ठीक है ना? ऐसे चली गई।

यह लाइन यहां से चली गई। ऐसे सही है जी। और एक लाइन है हमारी x - 2y जो कि ओरिजिन से चली जाती है बेटा। जो हमारी लाइन एक

ऐसे जाएगी जो ओरिजिन से चली जाएगी। ऐसे ये रही ये लाइन ओरिजिन से जाती है बेटा। 20 पे 40 आ रहा है कहीं ना कहीं। ठीक है ना? ये वाली लाइन हमारी ओरिजिन से जाती

ना? ये वाली लाइन हमारी ओरिजिन से जाती है। अब इनके ज़ीरो टेस्ट करेंगे। इसका ज़ीरो टेस्ट करूंगा ट्रू आएगा। इसका जीरो टेस्ट करूंगा तो चेक कर सकते हो। यह फॉल्स आएगा

और यहां पर हम जीरो टेस्ट नहीं करते। जब कोई लाइन हमारी ओरिजिन से पास आउट हो जाएगी तब हम जीरो टेस्ट नहीं करेंगे। जो ओएसआर या साइंस एंड फन के पेड बैच के

स्टूडेंट है या जिसने मेरा ये वन शॉट देखा है तो वो थ्री ज़ीरो टेस्ट करता है। या आप दुनिया जान कोई भी कोऑर्डिनेट पुट कर लो। मेरी बात मानो क्योंकि हम लोग यही कर रहे

करते आ रहे हैं तो हम थ्री 0 पुट करते हैं। x की जगह थ्री और y की जगह 0 तो अगर ये तो ट्रू आ रहा है। ये ट्रू आ रहा है ना

तो 3 0 यहां होता है तो ये x एक्सिस की तरफ हो जाएगा। अगर ये फॉल्स आएगा तो ये y एक्सिस की तरफ हो जाएगा। अभी ये ट्रू आ रहा है। ट्रू आ रहा है तो ये यहां आ

जाएगा। यह वाला कहां है? यह देखो। देखो 120 वाला क्या था? 120 वाला हमारा ट्रू था और यह हमारा फॉल्स है।

यह ट्रू, यह फॉल्स और यह इधर। तो बेटा हमारा बाउंडेड रीजन आ गया है। यह हमारा बाउंडेड रीजन बन गया है। ये रहा और आगे आप

सॉल्व कर लोगे। इतना मुझे पूरा यकीन है। ये हमारा बाउंडेड रीजन। ठीक है? ठीक है?

तो मैं क्या कह रहा हूं कि अगर हमने अगर हमने ओरिजिन से पास आउट होती हुई लाइन में ज़ीरो ज़ीरो पुट नहीं करना। अगर आपने ज़ीरो पुट कर दिया तो ना ट्रू आएगा ना फॉल्स। और अगर आ

भी जाए तो आप कहां शिफ्ट करोगे? ओरिजिन की

तरफ या ओरिजिन के अगेंस्ट? आप तो खुद ओरिजिन पे बैठे हुए हो। तो यहां पर आप थ्री ज़ीरो टेस्ट पुट करोगे। 5 0 देखो आप x- एक्सिस पे कोई भी पॉइंट पुट कर लो। हम थ्री ज़ीरो लेते हैं। थ्री इज़ माय लकी

नंबर। तो 3 0 तभी तो 3 हर्ट्स मांगता हूं ना। 3 0 3 0 3 0 तो 3 0 पुट किया। ये ट्रू आ गया। ट्रू आ गया तो ओरिजिन की तरफ। अगर

ये मैं मान लो यहां पर ऐसा साइन आता 3स < = 0 तो ये फॉल्स आ जाता। फॉल्स आता तो मैं यहां यहां पर पुट करता यहां पर शेड कर देता।

क्लियर है जी? अब इसका आप आंसर निकाल लोगे। देखो ये वाला पॉइंट आया 60 0 ये आया 120 0 ये वाला पॉइंट आप ढूंढ लोगे। यह

वाला पॉइंट आप ढूंढ लोगे। यह चार पॉइंट ढूंढ लेना। आंसर आ जाएगा। सही है जी।

कह रहा है यह 40 कैसे आ गया? x की जब y की जगह 20 डालेगा तो x 40 आ जाएगा ना। हां जी। कह रहे अनबाउंडेड आएगा। क्यों?

क्यों? क्यों? क्यों? हां

अनबाउंडेड क्यों आएगा? बोलो। बताओ।

अनबाउंडेड क्यों आएगा?

क्या कह रहे हैं ये?

40 20 जो है अरे वो लाइन ऐसे कर लो, ऐसे कर लो, कहीं से भी कर लो यार। वो तो आप ग्राफ पे बनाओगे ना।

कह रहे हैं 40 20 की लाइन नहीं है। मतलब यह 606 है ना? तो यह 606 वाला तो यही वाली

लाइन थी तो यह फॉल्स आ गया और यह वाला आ गया इधर वाला आ गया हां और ये वाली जो लाइन है वो यही वाली है ओरिजिन

अरे भाई 40 20 है वो थोड़ा सा इधर हो जाएगा थोड़ा इधर शिफ्ट हो जाएगा उससे कोई फर्क नहीं पड़ेगा आएगा तो यह ट्रू ही ना आएगा तो यह ट्रू ही ना आएगा तो यह ट्रू ही

ना तो यह इधर शेड करने को कह रहा है यह इधर करने को कह रहा है और यह इधर करने को कह रहा है पहले वाला ट्रू है ना? यह वाला फॉल्स है। यह फॉल्स है। यह ट्रू है। यह इधर तो यह

बाउंडेड बनेगा ना बेटा। अनबाउंडेड क्यों बनेगा? मैंने कहा ना आज ये टूटेगा। अटी

बनेगा? मैंने कहा ना आज ये टूटेगा। अटी बारी गिर रहा है पूरे दिन में। बोलो भाई। हम

सही है ना बेटा? चलो आगे बढ़ेंगे। चलो इसका जवाब तो आप बता ही दोगे भाई। अब यहां पर आपको यह ग्राफ दिया होता है।

यहां पर आपको ग्राफ दिया होता है। तो अभी मैक्सिमम पॉइंट तो बता लेंगे। बता लेंगे ना? होमवर्क आ गया भैया ये भी। तो मैं बता

ना? होमवर्क आ गया भैया ये भी। तो मैं बता रहा हूं। सिंपल-सिंपल से क्वेश्चन है। कह रहे ये जो सेट ऑफ दिस सॉल्यूशन ऑफ दिस इनकलिटी है। चलो इसका क्वेश्चन पढ़ो और

जवाब बताओ। इसका पढ़ो, पढ़ो, पढ़ो और जवाब बताओ। मैं नहीं पढ़ रहा। आप लोग पढ़ो और इसका जवाब बताओ। ऑल इंडिया 2000 हां जी। ऑल इंडिया

कह रहे 40 20 आपने प्लॉट अरे मैं नहीं कर रहा प्लॉट भाई मुझे पता है ओरिजिन से जाएगी तुम कर लेना अपने ग्राफ में यही बनेगा सही है जी

कह रहे हैं देखो सॉल्यूशन सेट ऑफ दिस इनक्वेशन इनक्वेशन मतलब इनकलिटी यह दे रखी है क्या होगी पहली बात तो यह ना डॉटेड लाइन बनेगी।

डॉटेड लाइन बनेगी। तो इसको हम ना ओपन हाफ प्लेन कहते हैं। तो ये दोनों आंसर तो हमारे हो नहीं सकते। ओपन हाफ प्लेन बोला

जाता है। कंटेनिंग द ओरिजिन एक्सेप्ट द पॉइंट। कंटेनिंग द ओरिजिन। मतलब यह ओरिजिन की तरफ शेड होगी। क्यों? आप इसका ज़ीरो टेस्ट करो।

0 + 0 सात से छोटा तो ट्रू आ गया। तो यह ओरिजिन की तरफ शेड होगा। ठीक है जी। नॉट कंटेनिंग द ओरिजिन। क्यों? कंटेनिंग द

ओरिजिन होगी। अगर यह लाइन ऐसे पास आउट हो रही है और इसका जीरो टेस्ट किया जा रहा है तो इसका शेडेड पोर्शन में ओरिजिन तो आएगा ही आएगा। ये भी 11th क्लास का ही क्वेश्चन

है। तो ये सी ऑप्शन आएगा। ये नहीं आएगा। नॉट कंटेनिंग ओरिजिन का मतलब है वो यहां पर शेड हो रही है। ठीक है ना? तो ये 11th क्लास का बहुत पुराना क्वेश्चन हुआ करता

था। कह रहे ऑब्जेक्टिव फंक्शन दे रखा है। ठीक है जी? हैज़ मैक्सिमम वैल्यू 42 इस पर

मिनिमम वैल्यू 19 इस पर फॉर वि वैल्यू इज ट्रू तो ठीक है देखो अब पहले 4 सिक्स पुट करो तो 42 आ जाएगा 4 और सिक्स पुट करो 4a

और 6b समझ रहे हो ऐसे आ गया 19 पुट करोगे तो ये आ गया 3a + 2b 3a + 2b इसको सॉल्व कर लो और a और b की

वैल्यू बता जल्दी से कर लो। खत्म होने वाला है काम। बस एक आध चीजें और बच गई हैं। हां जी। खत्म होने वाला है काम।

क्या कह रहा है? जी। a आ गया हमारा ये और b आ गया हमारा ये। a इक्व सॉल्व करो। बताओ किस पर वैल्यू सेटिस्फाई करेगी? 21 2a +

3b आ गया। 2a + 3b हां जी आंसर आ गया। बच्चे कह रहे हैं A3

है। A3 है और यह फाइव है। a3 है और ये फाइव है। ठीक है जी। आंसर आगे बढ़ाएंगे। कह रहे हैं पॉइंट H के सेटिस्फाई एन इनक्वेशन

दिस देन द हाफ प्लेन रिप्रेजेंटेड बाय द इनक्वेशन इज़ हाफ प्लेन। हाफ प्लेन मतलब है ओपन नहीं होगा। तो हाफ प्लेन रिप्रेजेंटेड

बाय दिस प्लेन। देखो कह रहे हैं hk जो है ना वो इसको सेटिस्फाई कर रहा है। इसको सेटिस्फाई कर रहा है। इसको सेटिस्फाई कर रहा है। देन हाफ प्लेन रिप्रेजेंटिंग बाय

द इनक्वेशन इज़ कौन सा हाफ प्लेन होगा?

देखो अब जैसे आप HK को पुट करोगे। कह रहे हैं हाफ प्लेन कंटेनिंग द पॉइंट HK बट एक्सक्लूडिंग द पॉइंट ऑन दिस।

एक्सक्लूडिंग द पॉइंट ऑन दिस। फॉल्स है भाई। फॉल्स है ना भाई? हाफ कंटेनिंग दिस एंड द पॉइंट ऑन दिस। यस ये बात ट्रू हो गई। ये बात ट्रू हो गई। भाई इक्वल्स टू का

साइन है ना? इक्वल्स टू का साइन है तो बी ऑप्शन आ गया। वो कह रहे हैं इस लाइन के ऊपर। देखो मान लो ऐसे है। तो यहां तो डॉटेड थोड़ी ना बनेगी। इसके ऊपर जितने

आंसर आएंगे वो भी तो वैलिड होंगे ना। और h के आएगा वो भी वैलिड होगा। वो भी इसी के ऊपर है। ये कह रहा है कि भैया इसको छोड़कर इधर वाले होंगे सारे या इधर वाले होंगे।

इसको छोड़कर नहीं वो तो कब होता है जब डॉटेड लाइन होती है। ठीक है ना? वो कब

होगा? जब वो डॉटेड लाइन होगी। एलपीपी की वर्ड प्रॉब्लम नहीं है बेटा सिलेबस में ना। हां ये तो दो बारी आ गया बेटा अब ये क्वेश्चन। अब जैसे ये क्वेश्चन है। बहुत

ही माइंड ब्लोइंग क्वेश्चन है बेटा। अब ये बहुत इंपॉर्टेंट क्वेश्चन है। समझ लो ये आज का ऐसा एक आखिरी क्वेश्चन है जो आपको समझना है। बाकी सब आपको आता होगा। इसके

बाद वाला। ये आपको समझना होगा। कह रही है यह चार कॉर्नर पॉइंट्स हैं। देखो एक है 0 4 यह रहा और एक है यह वाला पॉइंट और एक है

यह वाला पॉइंट। ठीक है जी? एज शोन इन द फिगर और ये अनबाउंडेड रीजन है और ये अनबाउंडेड रीजन दिया हुआ है आपको।

मिनिमम वैल्यू ऑफ़ दिस फंक्शन कहां पर अकर करेगी? तो इसके लिए वही वाला सेम काम करना

करेगी? तो इसके लिए वही वाला सेम काम करना पड़ेगा बेटा हमको। वही वाला सेम अनबाउंडेड वाला। ठीक है ना?

तो अब देखो तो आपके किस्मत थी ये क्वेश्चन आ गया 0 4 लेकिन फिर भी यहां पर आप एक नई बात सीख के जाओगे बेटा अभी देखो सी कुछ

बच्चे तो सीख कर जाएंगे अब यहां पर हमारा जो z है वो है 4x + 6y तो यहां पर आप z पुट करोगे तो ये हमारा आ

गया कितना भैया 24 और यहां पर पुट करो 4 * 0.6 कितना होता है बेटा 4 *6 होता है 2.4

और 6 * 1.6 कितना होता है? 9.6

तो ये हुआ कितना बेटा हमारा?

ये आ गया 12। और अगर इधर भी देखोगे तो भी ये आ रहा है 12। तो यह तो दो पॉइंट पे मिनिमम पूछा है तो यह इस पर भी मिनिमम आ रहा है और इस पर

भी मिनिमम आ रहा है। पहली बात तो दो पर मिनिमम आ रहा। अभी फिलहाल अभी देखो मैंने ना ऑप्शन नहीं देख रहा। अभी मैं ऑप्शन नहीं देख रहा हूं। मुझे पता

है तुमको आंसर मालूम है। मुझे पता है तुम्हारा ध्यान वहां से हटेगा नहीं। तो मैं तुम्हें पहले ही बता देता हूं। लेकिन बेटा हमें चेक भी करना पड़ेगा

ना। ये देखो ये पॉइंट और ये पॉइंट। देखो इस पर भी हमारा मिनिमम आ रहा और इस पर भी। जब ये लगातार पॉइंट होना तो सिर्फ

इन दोनों पॉइंट पर नहीं आएगा। पूरी लाइन सेगमेंट पर आएगा। यह B पॉइंट है और यह C पॉइंट है। तो पूरी की पूरी एट एव्री पॉइंट

ऑन द लाइन सेगमेंट B और C पर आएगा। हां जी। हाफ प्लेन क्या होता है? जब डॉटेड

लाइन बनती है उसको हाफ प्लेन बोलते हैं। हाफ हाफ ओपन प्लेन बोलते हैं। हाफ प्लेन मतलब एक ग्राफ एक-एक लाइन बनेगी। जैसे अगर ग्राफ पर सिर्फ एक लाइन बनती है। उसको हाफ

प्लेन बोलते हैं। प्लेन को दो पार्ट में डिवाइड कर दिया हमने। ओरिजिन की तरफ ओरिजिन के अगेंस्ट और अगर ये डॉटेड लाइन होती तो ओपन हाफ प्लेन बोलते इसको। ठीक है

ना? तो इसका आंसर ये आएगा। लेकिन बेटा

ना? तो इसका आंसर ये आएगा। लेकिन बेटा मेरी बात सुनो। पेपर में अभी तो तुमको इसका आंसर याद है। लेकिन तुमने कभी पेपर में चेक किया है कि वो लाइन कहां से क्रॉस

आउट हो रही है? तो यानी हमें वो वाला काम करना पड़ेगा ना। 24 से यानी क्या कोई ऐसी वैल्यू एग्ज़िस्ट कर रही है? क्या कोई ऐसी

वैल्यू एग्जिस्ट कर रही है जो 24 से भी छोटा आंसर दे दे? तो आप देखोगे इसका जब बॉक्स बनाओगे ना तो लाइन यहीं से क्रॉस आउट हो जाएगी। मैंने तो किया हुआ है ना

लाइन जो होगी ना वो यहीं से क्रॉस आउट हो जाएगी। यानी ये फ्रीज़िएबल रीजन में नहीं घुसने वाली। तो हमारा आंसर तब भी यही रहेगा बी और सी। तो ये आंसर है। लेकिन पेपर में क्रॉस चेक जरूर कर लेना। क्या

पता आपकी लाइन फ्रीज़िएबल रीजन में घुस जाए और एक ऑप्शन दे रखा हो आंसर डू नॉट एग्ज़िस्ट। तो आप गलत फंस जाओगे। ठीक है ना? फिर तो आप सिर्फ ये वाला आंसर मत

ना? फिर तो आप सिर्फ ये वाला आंसर मत छोड़कर आना। क्लियर हो गई? क्लियर हो गई?

हम तो जब अनबाउंडेड आएगा तो ऐसी इनकलिटी आपको बनानी पड़ेगी। ओपन डॉटेड लाइन बनानी पड़ेगी। ठीक है जी। मुझे लगता है कि ये वाला काम भी हम कर लेंगे। अब इसको आप बता

दो भैया। मैं नहीं बता रहा। इसको आप बता दो। चलो जल्दी से। जल्दी से आप बता दो। देखो ये हमारा फिजिएबल रीजन है। तुम्हारे लिए मैं शेड कर देता हूं। यह एक पॉइंट A

है। यह पॉइंट B है। यह पॉइंट C है। यह पॉइंट D है। और यह मेरा शेडेड है। तो मेरा जो A पॉइंट है वो है 0 10। तुम्हारे लिए

लिख रहा हूं। जो B पॉइंट है दिया हुआ है 5। C पॉइंट है 15 5 और D पॉइंट है 0 20 ये

लो बच्चों। तो हमारा Z क्या है? 3X + 9Y 3X + 9Y तो यह 90 आ गया।

15 + 45 यह 60 आ गया। यहां आ गया 45 + 45 + 45 ये भी 90 आ गया।

और यहां पर आ गया भैया हमारा 180। तो हमारे दो आंसर आ रहे हैं A और C। A और C। A और C

45 और 45। तो C और D क्यों आ रहा है? मैंने

ई और डी क्यों आ रहा है तुम्हारा?

ई और डी क्यों आ रहा है भाई तुम्हारा?

मैंने कुछ गड़बड़ किया। 15 और 15 है। अच्छा 15 और 15 है भाई। ये 15 और 15 है। 15 निम 135

अच्छा ये भी 180 आ गया। ये भी 180 अब ठीक है। तो C और डी पर आ गया। तो C और डी एक लाइन सेगमेंट है। एनी पॉइंट ऑन C और डी और यहां पर हमें चेक करने की भी जरूरत नहीं

है। एनी पॉइंट ऑन CO डी। तो सिर्फ C और ओ डी अलग-अलग आंसर नहीं आएगा। CD एक लाइन सेगमेंट। बहुत ही बढ़िया। सेम यहीं पर ही है। ये भी होमवर्क जा सकता है। मैं बता

रहा हूं ना ये कुछ नया बचा ही नहीं। यह भी होमवर्क जा सकता है। मिनिमम वैल्यू बतानी है बच्चों। हां, यह तो हमने कर लिया। रिलेशन बताना है। ये भी होमवर्क है। कुछ भी नहीं है

यार। होगा तो बता दो। बताओ कराने योग्य तो करा दूंगा भाई। खत्म हो गया कि नहीं हो गया? देखो चैप्टर एलपीवी में कुछ ज्यादा

गया? देखो चैप्टर एलपीवी में कुछ ज्यादा दम नहीं है। लेकिन इसके एमसीक्यूस बहुत अच्छे आते हैं। तो इसकी एक बार विनर सीरीज वगैरह कर लेना या कल का असाइनमेंट कर लेना।

ठीक है जी। डॉटेड लाइन क्या है? कैसे पता

चले? एक तो इक्वल्स टू का निशान नहीं होता। पहली बात तो जहां इक्वल्स टू का निशान नहीं होगा लाइन डॉटेड बनेगी। दूसरा कब बनानी है डॉटेड लाइन फुल फ्लेज

क्वेश्चन में जब अनबाउंडेड रीजन आएगा। बोलो भैया मजा आया आज तुम्हें?

मजा आया तुमको आज? मजा आया तुमको आज? तीन

चैप्टर डन हो गए। तीन चैप्टर डन हो गए। ऑल थ्री चैप्टर्स आर फिनिश्ड। हां जी। यह लिखना बनता है कि नहीं बनता? तब तक तुम तीन हट दो। ऑल थ्री चैप्टर्स ऑल थ्री

चैप्टर्स फिनिश। फिनिश हो गए। डे टू

डे टू डन। डे टू डन। खत्म हो गया भैया आज डे टू। और विद प्रॉपर 3 हर्ट्ज। डे टू डन विद प्रॉपर थ्री हर्ट्स। मजा आ

गया। आज भी तीन चैप्टर हमने बहुत डेप्थ में पढ़े यार। बहुत डेप्थ में पढ़े। जहां पर जनता दुनिया तुमको पूरी-पूरी किताब करा रही है। मैं यहां पर

तुमको आराम से एक-एक चैप्टर डेवलप करा रहा हूं। तो तुम कोशिश करना कि भैया इस बात की अहमियत रखना और कल सुबह उठ के। अब तुम्हारा प्लान क्या रहेगा? अब तुम्हारा

प्लान क्या रहेगा? तुम्हारा प्लान क्या रहेगा? तुम्हारा कल का प्लान क्या रहेगा?

रहेगा? तुम्हारा कल का प्लान क्या रहेगा?

अभी रात को थोड़ी देर और पढ़ोगे तो ठीक है। वरना कल सुबह उठते ही कल सुबह उठते ही सबसे पहले एनसीआरटी कासेप्ट तुमने सीख लिए। फिर पीपीटी रिवाइज

करोगे और उसके बाद असाइनमेंट करोगे। इसके बाद क्षमता बचेगी तो सैंपल पेपर लगा लेना या प्रीवियस ईयर पेपर लगा लेना। सैंपल पेपर या प्रीवियस ईयर पेपर लगा लेना। यह

क्षमता नहीं है तो एक्स्ट्रा क्वेश्चंस कर लेना। खाली ना बैठना। कल 6:00 बजे कल 6:00 बजे हम लोग मिलने वाले हैं एक चैप्टर के

लिए एक चैप्टर के लिए जिसका नाम है कंटिन्यूटी एंड डिफरेंशिएबिलिटी आया मजा क्लियर है जी क्लियर है जी मजा आ गया मुझे

तो बहुत मजा आया और मुझे ऐसा लग रहा है कि मैं अभी क्लास में प्रवेश किया हूं मेरी एनर्जी इतनी हाई है इस समय कि मुझे लग रहा है कि बस अभी तो 6 ही बजे हैं और मुझे

क्लास स्टार्ट करनी है। बहुत ही बढ़िया। तो इतनी तेज अच्छा देखो तुमने यही हैंग कर दिया भाई इतने सारे कमेंट कर कर के चलो कोई बात नहीं तुम्हारे चैट्स नहीं दिख रही

है फिलहाल मुझे आई होप आपको मेरे इमोशंस नजर आ रहे हो ये देखो ये मेरे इमोशंस हैं और ये पीपीटी अभी Telegram पर आ जाएगी तीनों Telegram पर ये पीपीटी भेजूंगा आशु

घाई 11 12th साइंस एंड फन नाइन 10 11 12th और कॉमर्स एंड फन पर ठीक है जी जाते-जाते तीन से लेकर चार बड़ी-बड़ी अनाउंसमेंट जो हर बारी करता हूं पहला सीयूवीटी का क्रैश

कोर्स ल्च हो चुका है। कमेंट में पिन है। जाकर खरीद जाकर आप खरीद सकते हो। सीयूईटी का चैनल जाकर जरूर सब्सक्राइब कर लो क्योंकि तुम्हारे काम आएगा ही आएगा। जो

बच्चे आगे जाकर आईआईटी नीट जेई देने वाले हैं उन बच्चों के लिए प्रप चैनल है। जाकर सब्सक्राइब जरूर करना मेरे प्यारे बच्चों। जो आगे जाकर चार्टर्ड अकाउंटेंसी करने

वाले हैं। सीए एंड फन मेरी पूरी सीए जर्नी मैंने वहां पर बताई है अपनी। तो वो जाकर भी आप वीडियो चाबी मत देखना। खैर 15-20 मिनट की है देख भी सकते हो और वरना वो

चैनल सब्सक्राइब कर लेना और सीयूईटी की किताबें भी आ चुकी हैं जीएटी और इंग्लिश की वो भी Amazon से जाके खरीद सकते हो 35 डेज चैलेंज की वो किताबें हैं तुम्हें

हेल्प करेंगी करेंगी बहुत उम्दा किताबें हैं हर दिन में 60 क्वेश्चन आपको करने हैं विद इन वन ऑवर विद नेगेटिव मार्किंग प्रॉपर तरीके से शीट्स बना दी हैं जीएटी और इंग्लिश विद सैंपल पेपर सॉल्वड और

अनसॉल्वड दोनों उसी के अंदर हैं। उसी के अंदर हैं। ठीक है जी मिलेंगे आप लोगों से कल शाम को 6:00 बजे तब तक के लिए बाय-ब

टेक केयर एंड डू योर बेस्ट पांच दिन बचे हैं होली को अपने ऊपर हावी मत होने देना अगले साल फिर आ जाएगी 9 तारीख को होली मना लेना कोई टेंशन नहीं है होली को अपने ऊपर

हावी मत होने देना बस ठीक है ना पढ़ना है और हम होली वाले दिन भी उसी इंटेंशन से पढ़ाई कर रहे हैं जिस इंटेंशन से हां सुबह मनाएंगे होली लेकिन बहुत कम मनाएंगे हम होली ठीक है ना तुम भी और मैं भी देखो

मेरा तो बनता है तुम्हें भी कम मना नहीं है और अपना 12th का मैथ्स का पेपर है काफी स्ट्रांग पेपर है तो उसको वो ध्यान लगाएंगे जो बच्चे पूरे साल नहीं पढ़े ठीक

है जी मिलूंगा कल तब तक के लिए बाय-ब टेक केयर शुभ रात्रि नमस्कार