Inverse matrices, column space and null space | Chapter 7, Essence of linear algebra

كما يمكنك أن تقول الآن ، الجزء الأكبر من هذه السلسلة هو على فهم المصفوفة وعمليات ناقلات من خلال هذه العدسة البصرية أكثر من التحولات الخطية. هذا الفيديو ليس استثناء ، واصفا مفاهيم المصفوفات العكسية ، الفضاء العمود ، رتبة ، والفضاء من خلال تلك العدسة. تحذير مسبق: لن أتحدث حول طرق حوسبة هذه بالفعل الأشياء، وقد يجادل البعض بأن هذا مهم جدًا. هناك الكثير من الموارد الجيدة جدا تعلم هذه الأساليب خارج هذه السلسلة. الكلمات الرئيسية: "القضاء الغاوسي" و "الصف شكل القيادة ".

أعتقد أن معظم القيمة أنني في الواقع يجب أن تضيف هنا في النصف الحدس. بالإضافة إلى ذلك ، من الناحية العملية ، عادةً ما نحصل على برامج لحساب هذه الاشياء بالنسبة لنا على أي حال. أولا ، بضع كلمات حول فائدة الخطية الجبر. الآن ، لديك بالفعل تلميحًا لكيفية حدوث ذلك تستخدم في وصف التلاعب الفراغ، وهو أمر مفيد لأشياء مثل رسومات الحاسوب والروبوتات ، لكن أحد الأسباب الرئيسية للجبر الخطي هو أكثر قابلية للتطبيق على نطاق واسع ، ومطلوبة فقط عن أي تقنية تهذيب، هو أنه يتيح لنا حل بعض أنظمة المعادلات.

عندما أقول "نظام المعادلات" ، أعني أنت لديك قائمة من المتغيرات ، الأشياء التي لا تفعلها أعرف، وقائمة بالمعادلات المتعلقة بها. في كثير من الحالات ، يمكن لهذه المعادلات معقد للغاية ، ولكن ، إذا كنت محظوظا ، قد يأخذون على شكل خاص معين. داخل كل معادلة ، الشيء الوحيد الذي يحدث لكل متغير هو أنه يتم قياسه من قبل البعض ثابت، والشيء الوحيد الذي يحدث لكل واحد من هؤلاء المتغيرات التي تم قياسها هي تلك التي تمت إضافتها إليها بعضهم البعض.

لذلك ، لا دعاة أو وظائف الهوى ، أو ضرب اثنين من المتغيرات معا ؛ أشياء من هذا القبيل. الطريقة النموذجية لتنظيم هذا النوع من الخاص نظام المعادلات هو رمي كل المتغيرات على اليسار ، ووضع أي ثوابت باقية على اليمين. من الجميل أيضًا أن يصطف رأسيًا بشكل عام المتغيرات، للقيام بذلك قد تحتاج لرمي بعض معاملات الصفر كلما المتغير لا تظهر في واحدة من المعادلات. وهذا ما يسمى "نظام خطي من المعادلات". قد تلاحظ أن هذا يشبه إلى حد كبير مصفوفة ناقلات الضرب.

في الواقع ، يمكنك حزم جميع المعادلات معا في معادلة متجه واحد ، حيث لديك مصفوفة تحتوي على كل من معاملات ثابتة ، وناقل يحتوي كل المتغيرات ومنتج ناقلاتهم المصفوفة يساوي بعض ناقل ثابت مختلف. دعونا اسم ذلك المصفوفة المستمرة A ، يدل على المتجه عقد المتغيرات مع a boldface x ، واستدعاء المتجه المستمر على اليمين الجانب الخامس. هذا أكثر من مجرد خدعة للحصول على نظام المعادلات المكتوبة خط واحد. يلقي الضوء على هندسية رائعة تفسير لهذه المشكلة.

تتطابق المصفوفة A مع بعض الخطوط الخطية التحول ، لذلك حل الفأس = الخامس يعني أننا نبحث عن ناقل X الذي بعد تطبيق التحول ، والارض الخامس. فكر فيما يحدث هنا للحظة. يمكنك أن تعقد في رأسك هذا معقد حقا فكرة المتغيرات المتعددة عن الاختلاط مع بعض فقط من خلال التفكير في السحق والتحول الفضاء ومحاولة معرفة أي ناقل يهبط على آخر. رائع ، صحيح؟ لتبدأ بسيطًا ، لنفترض أن لديك نظامًا مع معادلتين ومجهولين. هذا يعني أن المصفوفة A هي مصفوفة 2 × 2 ، و v و x كل ناقلات ثنائية الأبعاد.

الآن ، كيف نفكر في الحلول لهذا معادلة يعتمد على ما إذا كان التحول المرتبطة بها مع اسحق كل المساحة في الأسفل البعد، مثل خط أو نقطة ، أو إذا ترك كل شيء ممتلئًا بعدين حيث بدأت. في لغة الفيديو الأخير ، نحن ننقسم في الحالة التي يكون فيها A محددًا صفرًا ، والحالة التي تحتوي فيها A على محدد غير صفري. لنبدأ بالحالة الأكثر احتمالاً ، أين المحدد هو غير صفري ، لا معنى معنى الفضاء لا منطقة الصفر. في هذه الحالة ، سيكون هناك دائما واحد و ناقل واحد فقط يهبط على v ،

ويمكنك العثور عليها عن طريق لعب التحول إلى الوراء. بعد حيث v يتم إحضار الشريط مثله، ستجد المتجه س مثل هذه الأوقات س يساوي v. عندما تلعب التحول في الاتجاه المعاكس ، انها تقابل في الواقع خطي منفصل تحويل، يسمى عادة "معكوس A" تشير إلى واحد سلبي. على سبيل المثال ، إذا كان A عبارة عن دوران عكس عقارب الساعة بواسطة 90º ثم يكون معكوس A في اتجاه عقارب الساعة الدوران بمقدار 90 درجة. إذا كان A هو القص المستقيم الذي يدفع j-hat وحدة واحدة إلى اليمين ،

معكوس a سيكون a قصّ اليسار يدفع j-hat وحدة واحدة إلى اليسار. بشكل عام ، معكوس هو التحويل الفريد مع الخاصية التي إذا قمت بتطبيق لأول مرة ا، ثم متابعته مع التحول معكوس ، كنت في نهاية المطاف من حيث بدأت. تطبيق تحول واحد تلو الآخر يتم التقاطها جبريًا مع مضاعفة المصفوفة ، وبالتالي فإن الملكية الأساسية لهذا التحول معكوس هو أن A أوقات معكوسة أ يساوي المصفوفة التي تقابل القيام به لا شيئ. يسمى التحويل الذي لا يفعل شيئا "تحويل الهوية." يترك i-hat و j-hat في كل مكان هي غير متأثرة

بحيث تكون أعمدةها واحدة ، صفر ، و صفر ، واحد. بمجرد العثور على هذا معكوس ، والذي ، من الناحية العملية ، كنت تفعل مع جهاز كمبيوتر ، يمكنك حل المعادلة من خلال ضرب هذه المصفوفة العكسيّة بواسطة v. ومرة أخرى ، ما يعنيه هذا هو هندسيا أنك تلعب التحول في عكس ، وبعد ت. هذه الحالة غير محدده ، والتي ل a اختيار عشوائي للمصفوفة هو أكثر بكثير من المحتمل واحد ، يتوافق مع فكرة أنه إذا كان لديك اثنين مجهولين واثنين من المعادلات ، يكاد يكون من المؤكد أن هناك حالة حل واحد وفريد.

هذه الفكرة منطقية أيضًا في الأبعاد العالية عندما يكون عدد المعادلات مساويا للرقم من مجهولين. مرة أخرى ، يمكن ترجمة نظام المعادلات للتفسير الهندسي حيث لديك بعض التحولات ، A ، وبعض المتجه ، الخامس ، وأنت تبحث عن ناقلات x تلك الأراضي في الخامس. طالما أن التحول A لا يسحق كل المساحة في البعد السفلي ، بمعنى ، محدده غير صفري ، سيكون هناك تحول عكسي ، أ معكوس، مع الخاصية أنه إذا قمت أولاً بعمل A ، ثم تفعل معكوس ، إنه نفس عدم القيام بأي شيء.

ولحل المعادلة الخاصة بك ، لديك فقط لضرب ذلك مصفوفة التحويل العكسي من قبل المتجه ضد. ولكن عندما يكون المحدد هو صفر ، و التحول المرتبطة بهذا النظام المعادلات يسحق الفضاء في بعد أصغر ، هناك ليس معكوس. لا يمكنك إسكات خط لتحويلها إلى طائرة. على الأقل ، هذا ليس شيئا وظيفة يمكن القيام به. وهذا يتطلب تحويل كل فرد قوه موجهة في خط كامل مليئ بالنواقل. لكن يمكن للوظائف أن تأخذ مدخلاً واحدًا فقط إلى خرج واحد. بالمثل ، لثلاث معادلات في ثلاثة مجهولة ، لن يكون هناك معكوس إذا كان المقابل تحويل

يسحق الفضاء 3D على الطائرة ، أو حتى إذا كانت تسحقه على خط أو نقطة. تلك كلها تتوافق مع محدد من الصفر ، بما أن أي منطقة يتم سحقها في شيء ما مع حجم صفر. لا يزال من الممكن وجود حل حتى عندما لا يكون هناك معكوس ، إنه فقط عندما يسحق التحول الفضاء على ، على سبيل المثال ، خط ، عليك أن تكون محظوظا بما فيه الكفاية أن المتجه v يعيش في مكان ما على هذا الخط. قد تلاحظ أن بعض هذه المحددات صفر الحالات يشعر بأنها أكثر تقييدا ​​من غيرها.

بالنظر إلى مصفوفة 3X3 ، على سبيل المثال ، على ما يبدو أصعب بكثير للتوصل إلى حل عندما يسحق الفضاء على خط مقارنة عندما يسحق الأشياء على متن طائرة ، على الرغم من أن كلاهما محدد تمامًا. لدينا لغة أكثر تحديدًا من مجرد القول "صفر محدد". عندما يكون ناتج التحويل هو الخط ، بمعنى أنها أحادية البعد ، نقول أن التحول له "رتبة" واحدة. إذا كانت جميع ناقلات الأرض على بعض ثنائية الأبعاد طائرة، نقول أن التحول له "رتبة" اثنين. إذن كلمة "رتبة" تعني عدد الأبعاد في إخراج التحول.

على سبيل المثال ، في حالة المصفوفات 2x2 ، الترتيب 2 هو أفضل ما يمكن أن يكون. هذا يعني أن المتجهات الأساسية تستمر في الامتداد البعد الكامل للفضاء ، و المحدد هو غير صفري. ولكن بالنسبة لمصفوفات 3x3 ، فإن الترتيب 2 يعني أننا قمنا بذلك انهار، ولكن ليس بقدر ما كان يمكن أن ينهار لوضع رتبة 1. إذا كان التحويل ثلاثي الأبعاد يحتوي على محدد غير صفري ، وإخراجها يملأ كل المساحة الثلاثية الأبعاد ، لديها رتبة 3. هذه المجموعة من جميع المخرجات الممكنة لجهودكم مصفوفة، سواء كان خطًا أو طائرة أو مساحة ثلاثية الأبعاد

يسمى "مساحة العمود" من المصفوفة الخاصة بك. ربما يمكنك تخمين مكان هذا الاسم من عند. أعمدة المصفوفة الخاصة بك اقول لكم أين أرض ناقلات أساس ، وامتداد تلك القاعدة المحولة ناقلات يعطيك كل المخرجات الممكنة. وبعبارة أخرى ، فإن مساحة العمود هي تمتد من أعمدة المصفوفة الخاصة بك. لذلك ، هناك تعريف أكثر دقة للرتبة سيكون ذلك إنه عدد الأبعاد في العمود الفراغ. عندما تكون هذه الرتبة عالية قدر الإمكان ، بمعنى أنه يساوي عدد الأعمدة ، نحن استدعاء المصفوفة "مرتبة كاملة".

لاحظ ، وسوف يكون ناقل الصفر دائما المدرجة في مساحة العمود ، منذ التحولات الخطية يجب أن تحافظ على أصل ثابت في المكان. لتحويل كامل الرتبة ، المتجه الوحيد أن الأراضي في الأصل هي ناقلات الصفر بحد ذاتها، ولكن بالنسبة إلى المصفوفات غير الكاملة ، التي تسحق إلى بعد أصغر يمكنك الحصول على مجموعة كاملة من المتجهات الأرض على الصفر. إذا أدى التحول الثنائي الأبعاد إلى إسحق الفضاء خط ، على سبيل المثال ، هناك خط منفصل في اتجاه مختلف ، مليئة من المتجهات التي تحصل على سحق على الأصل.

إذا كان التحويل ثلاثي الأبعاد يسحق الفضاء طائرة، هناك أيضا مجموعة كاملة من المتجهات الأرض على الأصل. إذا كان هناك تحوّل ثلاثي الأبعاد يقوم بتدوير كل المساحة على خط ثم هناك طائرة كاملة مليئة بالنواقل تلك الأرض على الأصل. هذه المجموعة من المتجهات التي تهبط على يسمى الأصل "الفضاء الفارغ" أو "النواة" من المصفوفة الخاصة بك. إنها مساحة جميع المتجهات التي تصبح لا شيء، بمعنى أنها تهبط على ناقلات الصفر. من حيث النظام الخطي ل المعادلات ، عندما يحدث الخامس ليكون المتجه صفر ،

المساحة الفارغة يمنحك كل من الحلول الممكنة للمعادلة. هذه نظرة عامة على مستوى عالٍ جدًا عن كيفية التفكير في أنظمة خطية من المعادلات هندسيا. كل نظام لديه نوع من التحول الخطي المرتبطة مع ذلك ، ومتى التحول لديه معكوس ، يمكنك استخدام هذا معكوس في حل نظامك. خلاف ذلك ، فإن فكرة مساحة العمود يتيح نفهم عند وجود حل حتى ، وفكرة الفضاء فارغة يساعدنا على فهم ما هي مجموعة يمكن أن تبدو جميع الحلول الممكنة. مرة أخرى ، هناك الكثير الذي لم أفعله غطينا هنا ، أبرزها كيفية حساب هذه الأشياء.

واضطررت أيضاً إلى قصر نطاقي على أمثلة حيث عدد المعادلات يساوي عدد المجهول. لكن الهدف هنا ليس محاولة تعليم كل شيء. انها تأتي مع حدس قوي للمصفوفات العكسية ، العمود الفضاء ، والفضاء لاغية ، وأن تلك البديهيات تجعل أي مستقبل تعلم أن تفعل أكثر مثمرة. الفيديو التالي ، حسب الطلب الشائع ، سيكون حاشية موجزة حول مصفوفات nonsquare. ثم ، بعد ذلك ، سأقدم لك تأخذ على منتجات نقطة ، وشيء رائع يحدث عند عرضها تحت ضوء التحولات الخطية. اراك لاحقا!