The paradox of the derivative | Chapter 2, Essence of calculus

"طالما أن نظريات الرياضيات تصف الواقع، فهي ليست مؤكدة. وطالما هي مؤكدة، فهي لا تصف الواقع" ألبرت آينشتاين الهدف هنا بسيط: اشرح ماهي المشتقة؟ النقطة هنا هي أن هناك دقة في هذا الموضوع، وفرصة عالية للتناقضات إذا لم تكن حذراً إذا لدينا نوعاً ما هدف ثانوي هو أن يكون عندك تقدير لهذه التناقضات، وكيفية لتجنبها

من الشائع أن يقول الناس أن المشتقة هي مقياس لمعدل التغير اللحظي ..لكن عندما تفكر بها، فتلك العبارة فيها تناقض لفظي

..لكن عندما تفكر بها، فتلك العبارة فيها تناقض لفظي التغير هو شيء يحدث بين نقطتين منفصلتين في الزمن وعندما تغض الطرف عن كل شيء عدا لحظة مفردة فليس هناك مجال للتغير سترون ما أعنيه بشكل أكبر عندما نخوض فيها لكن عندما تقدر أن عبارة كـ"معدل التغير اللحظي" هي فعلاً غير منطقية أظن أن ذلك سيجعلك تقدر مدى ذكاء آباء التفاضل في تصور الفكرة التي من المفترض أن تثيرها هذه العبارة

لكن بقطعة رياضية منطقية تماماً المشتقة كمثالنا الرئيس: أريد منكم أن تتخيلوا سيارة تبدأ من نقطة A تزداد سرعتها ثم تتباطئ متوقفة عند نقطة B على بعد 100 متر ودعونا نقل أن كل ذلك يحدث في غضون 10 ثوان هذا هو النظام الذي سنجعله في أذهاننا ونحن نوضح ماهي المشتقة يمكننا أن نمثل تلك الحركة، جاعلين المحور العمودي يمثل المسافة المقطوعة والمحور الأفقي يمثل الزمن

إذاً عند كل زمن t ، ممثلاً بنقطة على مكان ما في هذا المحور الأفقي ارتفاع الرسم يخبرنا بالبعد الذي قطعته السيارة، في المجمل، بعد ذلك الزمن من الشائع أن تسمى دالة مسافة مثل هذه ( s(t أتمنى استخدام d ليمثل المسافة distance لكن ذلك الرفيق لديه عمل بوقت كامل في التفاضل :) ابتداء: يكون ذلك المنحنى سطحياً بعض الشيء؛ لأن السيارة بطيئة في البداية

خلال الثانية الأولى: المسافة التي تقطعها السيارة لا تكاد تتغير ثم في الثواني القليلة التالية، مع ازدياد سرعة السيارة المسافة المقطوعة خلال ثانية محددة تصبح أكبر ما يمثل ميلاً أكثر انحداراً على هذا الرسم ثم على مشارف النهاية، مع تباطئ سرعتها، ذلك المنحنى يتسطح مرة أخرى وإذا كنا سنرسم السرعة المتجهة للسيارة بالمتر/ثانية، كدالة للزمن فقد تبدو مثل هذا المطب في الأوقات الأولى: السرعة المتجهة صغيرة جداً

في منتصف الرحلة السيارة تشد إلى سرعة متجهة قصوى مغطية مسافة كبيرة نسبياً كل ثانية ثم تتباطأ مجدداً إلى السرعة صفر وهذان المنحنيان هنا هما قطعاً مرتبطان ببعضهما إذا غيرت الدالة الخاصة: المسافة مقابل الزمن سيكون لديك دالة مختلفة للسرعة المتجهة مقابل الزمن وما نريد أن نفهمه، هو خصوصيات تلك العلاقة كيف بالتحديد تعتمد السرعة المتجهة على دالة مسافة مقابل زمن؟

ولنقوم بذلك: فإن الموضوع يستحق أخذ لحظة للتفكير نقدياً في ماذا تعني السرعة المتجهة بالضبط هنا؟ ..بدهياً: جميعنا ربما نعرف معنى السرعة المتجهة في لحظة محددة

..بدهياً: جميعنا ربما نعرف معنى السرعة المتجهة في لحظة محددة هو ما يظهره عداد السيارة في تلك اللحظة فحسب ..وبدهياً: ربما من المعقول أن تكون السرعة المتجهة للسيارة أعلى

..وبدهياً: ربما من المعقول أن تكون السرعة المتجهة للسيارة أعلى في الأوقات التي تكون فيها دالة المسافة هذه أكثر انحداراً عندما تقطع السيارة مسافات أكبر لكل وحدة زمن !لكن الشيء المضحك هو: السرعة المتجهة خلال لحظة واحدة؟

!لكن الشيء المضحك هو: السرعة المتجهة خلال لحظة واحدة؟ ليست منطقية أبداً ..إذا أريتك صورة سيارة، فقط لقطة في لحظة ما

..إذا أريتك صورة سيارة، فقط لقطة في لحظة ما وسألتك عن سرعتها؟ لن يكون لديك سبيل لإخباري ما تحتاجه هو نقطتان منفصلتان في الزمن لتقارن بينها بتلك الطريقة يمكنك أن تحسب ماهو التغير في المسافة خلال هذين الوقتين وتقسمه على التغير في الزمن أليس كذلك؟ أعني هذه هي السرعة المتجهة، هي المسافة المقطوعة لكل وحدة زمن

إذا كيف يمكن لنا أن ننظر إلى دالة للسرعة المتجهة تعتمد فقط على قيمة واحدة للزمن، لقطة واحدة في الزمن؟ إنه غريب، أليس كذلك؟ نريد أن نربط نقاطاً مفردة في الزمن مع سرعة متجهة لكن في الواقع حساب السرعة المتجهة يتطلب مقارنة بين نقطتين منفصلتين في الزمن ..إذا كان ذلك يبدو غريباً ومتناقضاً

..إذا كان ذلك يبدو غريباً ومتناقضاً جيد!

فأنت تتصارع مع نفسك الخلافات التي واجهها آباء التفاضل وإذا كنت تريد فهماً أعمق لمعدل التغير، ليس فقط لسيارة متحركة بل لمختلف الأشياء في العلم ..ستحتاج لأن تحل هذا التناقض الظاهري

..ستحتاج لأن تحل هذا التناقض الظاهري بداية أعتقد أن من الأفضل الحديث عن العالم الحقيقي، ثم سننطلق إلى عالم رياضي بحت دعونا نفكر فيم يفعله عداد السرعة على الأرجح..

في نقطة ما، لنقل 3 ثوان بعد انطلاق الرحلة..

عداد السرعة قد يقيس المسافة التي قطعتها السيارة في مقدار ضئيل جداً من الزمن ربما المسافة المقطوعة بين 3 ثوان و3.01 ثوان ثم بإمكانه حساب السرعة بالمتر/ثانية لتكون تلك المسافة الصغيرة المقطوعة بالمتر، مقسومة على ذلك الزمن الضئيل، 0.01 ثانية وبهذا تتجنب السيارة الفيزيائية التناقض ولا تحسب، في الواقع، السرعة في نقطة واحدة من الزمن

إنها تحسب السرعة خلال مقدار ضئيل جددداً من الزمن *ليس لحظياً* لذا دعونا نسمِ ذلك الفرق في الزمن dt والذي يمكنكم التفكير فيه في هذه الحالة كـ 0.01 ثانية ودعونا نسمِ ذلك التغير الناتج في المسافة ds إذاً السرعة المتجهة في نقطة ما في الزمن هي ds مقسومة على dt التغير الصغير في المسافة على التغير الصغير في الزمن

بيانياً: يمكنك تخيل تكبير لنقطة معينة على هذا الرسم للمسافة مقابل الزمن، فوق t=3 تلك الـ dt هي خطوة صغيرة لليمين، بما أن الزمن هو المحور الأفقي وتلك الـ ds هي التغير الناتج في ارتفاع الرسم، لأن المحور العمودي يمثل المسافة المقطوعة ds مقسومة على dt

هو شيء يمكنك التفكير فيه كميل الارتفاع على الامتداد ، بين نقطتين متقاربتين جداً على هذا الرسم بالطبع.. ليس هناك شيء مميز في القيمة t=3 يمكننا أن نطبق ذلك على أي نقطة أخرى في الزمن

بالطبع.. ليس هناك شيء مميز في القيمة t=3 يمكننا أن نطبق ذلك على أي نقطة أخرى في الزمن لذا نعتبر هذه العبارة لـds مقسومة على dt دالةً في t .. شيء يمكن معه أن أعطيكم زمنا ما t ..ويمكنكم أن تعيدوا لي قيمة لتلك النسبة عند ذلك الزمن

.. شيء يمكن معه أن أعطيكم زمنا ما t ..ويمكنكم أن تعيدوا لي قيمة لتلك النسبة عند ذلك الزمن السرعة المتجهة كدالة للزمن إذاً على سبيل المثال: عندما جعلت الحاسوب يرسم منحنى المطب هذا الذي يمثل دالة السرعة المتجهة ..هذا ما جعلت الحاسوب يفعله بالفعل

..هذا ما جعلت الحاسوب يفعله بالفعل أولاً: اخترت قيمة صغيرة لـdt، أعتقد أنها كانت في هذه الحالة 0.01 ثم جعلت الحاسوب ينظر إلى مجموعة كاملة من الأزمنة t بين 0 و 10 ويحسب دالة المسافة s عند t+dt ثم يطرح قيمة تلك الدالة s عند t

وبكلمات أخر: ذلك هو الفرق في المسافة المقطوعة بين الزمن المعطى t وزمن 0.01 ثانية بعده ثم يمكنك أن تقسم ذلك الفرق على التغير في الزمن dt وذلك يعطيك السرعة المتجهة بالمتر/ثانية حول كل نقطة من الزمن إذاً مع معادلة كهذه، يمكنك أن تعطي الحاسوب أي منحنى يمثل أي دالة مسافة (s(t ويمكنه إيجاد المنحنى الذي يمثل السرعة المتجهة

الآن هو وقت مناسب للتوقف مؤقتاً، التفكر .. والتأكد من هذه الفكرة التي تربط المسافة بالزمن بالنظر إلى التغيرات الصغيرة - تبدو معقولة لأن ما سنقوم به هو معالجة تناقض المشتقة، مباشرة! ^_*

هذه الفكرة لـds مقسومة على dt تغير صغير في قيمة الدالة s ، مقسوماً على -مسببه- التغير الصغير في المُدخل هذه تـقـرريـبـاً هي المشتقة ورغم أن عداد السرعة للسيارة سينظر فعلاً إلى تغير واقعي في الزمن، مثل 0.01 ورغم أن برنامج الرسم هنا ينظر إلى تغير واقعي وحقيقي في الزمن

في الرياضيات البحتة المشتقة ليست هي النسبة ds على dt، باختيار محدد لـ dt عوضاً عن ذلك.. هي ما تؤول إليه تلك النسبة عندما يقترب اختيارك لـ dt من الصفر :لحسن الحظ.. هناك مفهوم بصري جميل جداً لمعنى السؤال "ما الذي تؤول إليه هذه النسبة"

:لحسن الحظ.. هناك مفهوم بصري جميل جداً لمعنى السؤال "ما الذي تؤول إليه هذه النسبة" تذكروا: لأي اختيار محدد لـ dt، هذه النسبة ds على dt هي ميل مستقيم يمر بنقطتين منفصلتين على الرسم، أليس كذلك؟ ومع اقتراب dt من الصفر، ومع اقتراب هاتين النقطتين من بعضهما

ميل المستقيم يقترب من ميل مستقيمٍ مماسٍ للرسم عند أي نقطة t ننظر إليها إذاً المشتقة الصحيحة والخالصة والرياضية البحتة هي ليست ميل الارتفاع على الامتداد بين نقطتين قريبتين على الرسم هي مساوية لميل مستقيم مماس للرسم عند نقطة وحيدة :الآن لاحظوا ما لست أقوله أنا لا أقول أن المشتقة هي ما يحدث عندما تكون dt صغيرة بشكل لا نهائي، أياً ما كان معنى ذلك

ولست أقول بأن عليك التعويض بـ 0 مكان dt هذه الـ dt هي دائماً قيمة صغيرة بشكل متناهٍ، ولا تساوي الصفر كل ما في الأمر أنها تقترب من الصفر دائماً أعتقد أن ذلك ذكي جداً.. رغم أن التغير في لحظة ليس منطقياً هذه الفكرة في جعل dt تقترب من الصفر هي فعلاً طريقة مخادعة والتفافية للحديث منطقياً عن معدل التغير في لحظة واحدة من الزمن أليس أنيقاً؟ =)

إنها نوع من التلاعب مع تناقض التغير في لحظة، بلا حاجة حتى إلى لمسه ..وتأتي مع بديهة بصرية جميلة أيضاً كميل مستقيم مماس لنقطة وحيدة على الرسم

..وتأتي مع بديهة بصرية جميلة أيضاً كميل مستقيم مماس لنقطة وحيدة على الرسم ..ولأن التغير في لحظة لا يزال غير منطقي

..ولأن التغير في لحظة لا يزال غير منطقي .. أعتقد أنه من الأصح لك أن تفكر في الميل، ليس كنوع من التغير اللحظي بل عوضاً عن ذلك

.. أعتقد أنه من الأصح لك أن تفكر في الميل، ليس كنوع من التغير اللحظي بل عوضاً عن ذلك كأفضل تقريب ثابت لمعدل التغير، حول نقطة ..بالمناسبة، الموضوع جدير بأن نتحدث قليلاً عن التسمية هنا

..بالمناسبة، الموضوع جدير بأن نتحدث قليلاً عن التسمية هنا طوال هذا الفيديو كنت أستخدم dt للإشارة لتغير صغير جداً في الزمن، مع شيء من مقاس فعلي واستخدمت ds للإشارة للتغير الناتج في s والتي لها مقاس فعلي مجدداً وهذا لأنني أريد منكم أن تفكروا بهما هكذا لكن الاصطلاح في التفاضل هو أنك متى ما استخدمت الحرف d هكذا

أنت نوعاً ما تعلن أن نيتك هي أن ترى ما سيحدث عندما تقترب dt من 0 في نهاية المطاف كمثال: المشتقة الخالصة الرياضية البحتة تكتب كـ ds مقسومة على dt رغم أنها تقنياً ليست كسراً بحد ذاته، لكن ما يؤول إليه ذلك الكسر لدفعات أصغر فأصغر لـ t ..أعتقد أن مثالاً محدداً سيساعد هنا

..أعتقد أن مثالاً محدداً سيساعد هنا ..ربما تعتقد أن السؤال عما تؤول إليه هذه النسبة لقيم أصغر فأصغر

..ربما تعتقد أن السؤال عما تؤول إليه هذه النسبة لقيم أصغر فأصغر سيجعل أمر الحساب أصعب بكثير لكن، ويا للغرابة، إنها تجعل من الأمور أسهل نوعاً ما!

دعونا نقل أن لديكم دالة معطاة للمسافة مقابل الزمن يصادف أنها بالضبط s = t^3 لذا بعد ثانية واحدة، السيارة قطعت 1 تكعيب = متر واحد بعد ثانيتين، قطعت 2 تكعيب = 8 أمتار ..إلى آخره

..إلى آخره

ما سأقوم به الآن قد يبدو معقداً بعض الشيء، لكن ما أن ينقشع الغبار سيكون فعلاً أسهل والأهم من ذلك أنه من الأشياء التي ينبغي أن تقوم بها فقط مرة واحدة في التفاضل لنقل أنك أردت أن تحسب السرعة المتجهة ds/dt عند زمن محدد، t=2 مثلاً وفي الوقت الحاضر.. دعونا نفكر في dt على أن لها مقاساً فعلياً ..شيء من دَفعة ملموسة سيصبح ذلك صفراً ،، بعد قليل

التغير الصغير في المسافة بين 2 و 2+dt ثانية ذاك هو (s(2+dt) - s(2 ونقسم ذلك على dt وبما أن دالتنا هي t^3 ذلك البسط سيبدو كـ (2+dt)^3 - (2)^3 وهذا.. هذا شيء يمكننا التعامل معه جبرياً

وهذا.. هذا شيء يمكننا التعامل معه جبرياً مجدداً، تحملوني، هناك سبب يدفعني لأريكم التفاصيل هنا عندما تفكك ذاك الجزء العلوي، ما تحصل عليه هو 2^3 + 3(2^2)(dt) + 3(2)(dt^2) + (dt^3) - (2^3)

هناك الكثير من الحدود، وأريد منكم أن تتذكروا أنها تبدو فوضى، لكنها تتبسط هذان الحدان.. يلغيان بعضهما

هذان الحدان.. يلغيان بعضهما

.. وكل شيء بقي هنا، يحتوي dt وبما أن هناك dt في الأسفل، الكثير من هذه تلغى أيضاً ما يعنيه هذا هو أن النسبة ds/dt ..استوَت لتصبح

3(2)^2 + ...

حدان مختلفان يحتوي كل منهما على dt لذا إذا سألنا ما الذي يحدث عندما تقترب dt من الصفر ممثلة فكرة النظر إلى تغيرات أصغر فأصغر في الزمن يمكننا فحسب أن نتجاهل تماماً هذين الحدين *dt صغيرة جداً، بمثابة الصفر* باستبعاد الحاجة إلى التفكير بقيمة محددة لـ dt فقد استبعدنا في الواقع الكثير من التعقيد في العبارة الكاملة إذا ما بقي لدينا هو هذا الحد الجميل والنظيف: 3 ضرب 2 تربيع

يمكنك التفكير في ذلك بأنه يعني: ميل مستقيم مماس للنقطة الموافقة لـ t=2 على الرسم هو بالضبط 3 * 2^2 .. أو 12

وبالطبع ليس هناك شيء مميز في الزمن t = 2 يمكننا أن نقول بشكل أعم أن مشتقة t^3 كدالة لـ t هي 3 ضرب t تربيع فلنأخذ خطوة للوراء .. لأن ذلك جميل! =)

.. المشتقة هي تلك الفكرة المجنونة والمعقدة لدينا تغيرات صغيرة في المسافة على تغيرات صغيرة في الزمن لكن عوضاً عن النظر إلى أي شيء محدد من ذلك، نتحدث عما يقترب إليه الشيء !أعني .. هناك الكثير للتفكير به

!أعني .. هناك الكثير للتفكير به ومع ذلك، ما انتهينا إليه كان عبارة بسيطة جداً 3*t^2 .. وعملياً: لن تخوض في هذا الجبر كل مرة

.. وعملياً: لن تخوض في هذا الجبر كل مرة معرفة أن مشتقة t^3 هي 3t^2 هو من ضمن الأشياء التي على يتعلم طلاب التفاضل كيف يقومون بها مباشرة، دون الحاجة إلى إعادة اشتقاقها كل مرة وفي الفيديو القادم سأريكم طريقة جميلة للتفكير بهذا، وبعض معادلات الاشتقاق الأخرى، بطرق هندسية جميلة جداً ..لكن النقطة التي أريد الوصول إليها، بإظهار كل هذه الجرأة الجبرية

..لكن النقطة التي أريد الوصول إليها، بإظهار كل هذه الجرأة الجبرية هو أنك إذا اعتبرت التغير الصغير في المسافة، ناتجاً من تغير صغير في الزمن لقيمة محدة لـ dt ..سيكون عندك فوضى نوعاً ما

..سيكون عندك فوضى نوعاً ما لكن إذا اعتبرت ما الذي تؤول إليه تلك النسبة عندما تقترب dt من الصفر يجعلك ذلك تتجاهل تلك الفوضى، وفعلاً تقوم بتبسيط المسألة ذاك نوعاً ما هو جوهر الفائدة من التفاضل سبب آخر لإظهار مشتقة ملموسة مثل هذه لأنها تهيئ المسرح لمثال للتناقضات التي تأتي إذا بالغت في التصديق في وهم معدل التغير اللحظي

لذا فكر في السيارة الحقيقية منطلقة وفقاً لدالة المسافة هذه: t^3 وخذ بعين الاعتبار حركتها في اللحظة t=0، في أول البداية الآن سل نفسك ما إذا كانت السيارة تتحرك أم لا في ذلك الوقت من جانب: يمكننا أن نحسب سرعتها عند تلك النقطة باستخدام المشتقة 3t^2 والتي تعطينا إذا عوّضنا بـ t=0 ، صفراً بصرياً.. ذلك يعني أن المستقيم المماس للرسم عند تلك النقطة هو مسطح تماماً

بصرياً.. ذلك يعني أن المستقيم المماس للرسم عند تلك النقطة هو مسطح تماماً إذاً تكون "السرعة المتجهة اللحظية" المزعومة .. صفراً

وذاك يوحي أنها، بوضوح، لا تتحرك ولكن من جانب آخر: إذا لم تبدأ بالتحرك عند t=0، فمتى تبدأ بالتحرك؟ حقاً.. أوقف الفيديو وفكر في ذلك للحظات

حقاً.. أوقف الفيديو وفكر في ذلك للحظات هل السيارة تتحرك عند الزمن t=0؟ هل ترون ذلك التناقض؟ المشكلة هي في أن السؤال لا معنى له إنه يُرجع فكرة التغير إلى لحظة، وهذا حقاً أمر غير موجود هذا ليس ما تقيسه المشتقة ما يعنيه أن تكون مشتقة المسافة صفراً: هو أن أفضل تقريب ثابت للسرعة المتجهة للسيارة، حول تلك النقطة، هو 0 متر/ثانية

على سبيل المثال: إذا نظرت إلى تغير حقيقي في الزمن، لنقل بين الزمن 0 و 0.1 ثانية السيارة تتحرك، إنها تتحرك 0.001 متراً وذاك مقدار صغير جداً والأهم أنه صغير جداً مقارنة بالتغير في الزمن معطياً سرعة متوسطة 0.01 متراً/ثانية وتذكروا: ما يعنيه أن تكون مشتقة هذه الحركة صفراً، هو أنه لدفعات أصغر فأصغر في الزمن

هذه النسبة بالمتر/ثانية، تؤول إلى الصفر لكن هذا لا يعني أن السيارة ساكنة تقريب حركتها إلى سرعة متجهة ثابتة تساوي صفراً، هو في نهاية المطاف، مجرد تقريب إذاً كلما سمعت الناس يشيرون إلى المشتقة بمعدل التغير اللحظي عبارة جوهرياً متناقضة لفظياً أريد منكم أن تفكروا في ذلك كاختصار مفاهيمي لـ: أفضل تقريب ثابت لمعدل التغير

في الحلقات القليلة القادمة سأتحدث أكثر عن المشتقة كيف تبدو في سياقات مختلفة، كيف تحسبها، لم هي مفيدة.. وأشياء مشابهة مركزاً على البديهة البصرية، كالعادة