【漫士】游戏背后的数学，如何在游戏中必胜?

你知道如何用数学在游戏中必胜吗 作为一名 毕业于清华姚班的人工智能博士生 今天我将会用半个小时 带你深刻了解游戏背后的数学——博弈论 并了解必胜策略 和神之一手背后的奥秘 有一天 人类终于造出了终极的围棋之神 并且复制两份 想要观赏他们精彩的搏杀和对局

但是情况似乎和人类预想的很不一样 双方对着空白的棋盘沉思 但就是没有落子 你怎么不落子呀 两百手之后 我的大龙做不活 我认输 接着黑棋投子认父 不死心的人类又换成了象棋 结果象棋之神也陷入沉思 久久没有落子 你怎么又不下棋

结果红棋稍作沉思之后 提出和棋 黑棋同意 好，和了 自始至终 双方都从来没有动过一下棋子 这绝对不是我的杜撰 入学上可以证明 像围棋和象棋这种棋类游戏 实质上一定在开局的时候就胜负已分 为什么会这样呢 理论上该怎么找到这些游戏

神之一手的必胜策略呢 既然都必胜了 为什么人类还一直在下着这些棋呢 今天我就将带你走进数学中 研究游戏的 一个非常有趣的分支组合博弈论 点赞收藏 数学启动 我们先来看一个简单的例子 想象有50个糖果 a 和b 两个人轮流从这包糖果中拿 每次呢可以拿1到3个

但不能不拿 拿最最后一枚糖果的人 胜利奖励一个零食大礼包 两个人都想要最后的这个大礼包 那谁可以保证自己一定能赢呢 标准答案是 不管上一个人拿了几个糖果 你总以拿一个互补的数量 使得两个人这一轮刚好加在一块儿 拿四个糖果 那么先拿的人只需要先拿两个

那么就剩下48个是4的倍数 那么接着呢 别人拿一个你拿三个 别人拿两个 你拿两个 把留给对方的数量 一直控在四的倍数上 那么拿到最后一定剩下四个糖 对方一次拿不完 而对方拿过之后 剩下的自己能一次拿完 于是就必胜 这个解法固然精妙 但是好奇的同学一定会觉得不满意

你看看又来了 这个四的倍数是怎么注意到的 我注意力太涣散了 有没有什么方法可以系统性的分析 让四的倍数这个关键的胜负性质 自然的浮现出来呢 有的兄弟有的 我们可以从糖果数量少的情况 开始分析 如果只剩下1到3个糖果 那么这个时候 先拿的人只需要全部拿走就可以获胜

所以我们可以记一下 当剩下至多三个糖果的时候 先拿的人必胜 后拿的人必败 接下来我们重点看四颗糖的情况 此时无论先拿的人拿几个 都一定拿不完 而剩下的糖果数量只会是一个两个或者三个 根据前面的推导 这种局面一定是先拿的人必胜

因此在剩下四颗糖的时候 先拿必败而后拿必胜 正因此当剩下五颗糖的时候 先拿的人就可以动心思了 他只拿一颗 从而把先手必败的局面 也就是四个糖果留给对方 此时游戏的本质就是四个糖果 对方先手，而先手必败 只需要继续按照之前的策略

对方拿几个 自己把剩下的拿完就能获胜 因此五颗糖果的局面也是先手必胜的 值得注意的是 必胜局面并不代表怎么来都一定必胜 比如说五个糖果时 如果只拿两个或者三颗 那么剩下的三颗或者两颗 都是先手必胜的局面 对方一次就拿完了 用棋类的术语来说

在剩下五个糖果的时候 只拿一个是这个局面紧要的胜负手 同理在剩下六颗或者七颗糖的时候 先拿的人只需要拿两颗或者三颗 那么剩下四颗糖给对方先手 我们就可以保证必胜 第二次有趣的情况出现 在剩八颗糖的时候 跟四颗糖的情况类似啊 先拿的人

无论是拿一颗两颗还是三颗糖 那么剩下的就都是七颗六颗和五颗糖 而我们刚才说过 这些局面都是先拿的人必胜 因为对方可以控制局面 把只剩四颗的先手必败局面 再留给我们 所以相应的当剩下八颗糖的时候 无论先拿的人怎么拿 后续局面都是先手必胜的 因此八颗糖先手必败

而后手必胜 总结一下 剩x 颗糖时 我们只需要看x-1， x-2 x-3颗糖的这三个局面里 先手只能选择 让对方进入这三个局面之一 因此只要这三个状态里 有一个是先手必败 后手必胜的 那我们的先手就可以取到他 并交换先后手

把这个先手必败的局面留给对方 比如说五个六个都可以到四个 而反之如果说所有的后续的三个局面 都是先手必胜 那意味着无论先手怎么做 都会把必胜的局面留给对方 对方都有办法拿捏自己 这就说明后拿的人一定必胜 在有了这样一个递推关系之后

我们就可以从无可辩驳的终点 零个糖果 开始不断逆向的递推 一个先手拿完之后只剩零个 说明对方已经取完了 所以零个是先手必败的 那么123 因为都可以通过合法操作 取到只剩零个 所以123都是先手必胜的 又因为四不管取多少 他的后续局面

123都是让对方先手必胜的 因此四先手必败 五可以到234 其中四先手可以是必败的 留给对手 所以五必胜 六七同理必胜 八因为只能到567都是对方的先手必胜 所以八必败 以此类推 在这种反向推导中 我们就能看出

四的倍数必败是如何浮现出来的 以及 为什么要控制把四的倍数留给对方了 你可以很自然的想到 如果能取的糖果是1到4个 那么局面的关键就变成了要控制在五的倍数上 有兴趣的同学也可以推理一下 如果每次可以拿走一个 或者质数个糖果的时候 50颗糖

谁可以拿到最后的这个零食大礼包呢 所以说啊 如果有两个拿糖果之神玩这个游戏 他们一眼就能看出 以上所有的推理过程 而无需真的去博弈 玩这个游戏 先拿的人 会拿走零食大礼包和14颗糖 后拿的人 会拿走剩下的36颗糖 分配 就这样心照不宣的完成了

只留下不明真相的吃瓜群众一脸懵逼 我们可以再稍微变化一下规则 现在呢有两堆糖果 每堆都是100个 同样的 还是拿走最后一个糖果的人是获胜的 此时每个人都可以拿走任意多个糖果 只要他们全部来自同一堆啊 你甚至可以一次性把一堆拿完 但不能不拿

那么这个新的游戏哪一方会获胜呢 还是用之前的办法 此时所有的游戏局面 可以用两堆糖果的数量表示 就像一个二维的坐标 所以我们可以画出一张二维的表格 第x 行第y 列表示 剩下的两堆糖果 分别有x个和y 个 初始状态位于100 100

而拿糖果的操作 本质上就是相当于 单独减少当前这个局面的横坐标 或者纵坐标 你也可以由此看出 这个游戏等价于有一个只能往上 或者往左单向移动的车 双方交替移动 看谁最后将车移到最左上角的位置 接下来我们还是从结束局面开始

反向分析每个局面的胜负状态 红色是先手必胜 蓝色先手必败 第一个唯一确定的必败状态是左上角 如果局面已经到这里 变成了你先手 说明上一步对方走到了这个地方 说明对方赢了 而自己输了 所以（0,0）这个位置是先手必败的 那么由此反过来推断

任何能一步走到（0,0）的局面 都是必胜的 举个例子 （15 0）这个状态表示有一堆 有15个糖果 一堆什么都没有 那么 先手只需要一次性把15个全部取完 就赢得了游戏 所以我们得到了一个必败状态 (0 0)和一整行一整列的必胜状态 他们都能够一步到达游戏终局获胜 好接下来有意思的来了

我们来看一看(1,1)这个点 他往上和往左的两个状态 分别是(1,0)和(0,1)都是先手必胜的 而我们说过 如果无论你怎么走 留给对方的局面都是先手必胜的 那你自己就是必败的 用人话说就是你只能取某一堆的一个 然后对方取走另一堆的那一个 然后就赢了 所以你是必败的

也正因为(1,1)是必败的 所以只要有一堆是一个 而另一堆多余一个 我们就可以通过一次取糖果 来到一一这个地方 所以形如(1,n) 这样的n大于1的局面 都是先手必胜的 (n 1)同理 沿着这样的逻辑 对于每一个格子 我们只需要看

他往上和往左的所有格子里 是否有必败的蓝色格子留给对方 如果有那么这一格就是红色的 其中这一步的必胜着法 就是走到蓝色格子那里去 而如果往左和往上看去全是红色 那这一个就是蓝色 我们可以用这样简单的递归逻辑 把整张图填满 观察一下

我们不难发现 模式很明显只有对角线是蓝色的 而其他地方都是红色 也就是说 只有在两堆糖果数量相同的时候 才是先手必败 否则走是先手必胜 而这些必胜策略的走法规律 也非常明显 一句话就能说明白 保持两堆石子（糖果）的数量一样 所以在我们的问题里

两堆100的糖果是后手必胜的 策略是 一直把局面控制在两堆一样的状态 对方在一堆里取多少 自己就在另一堆里取多少 这就是一个非常经典的 后手方的模仿策略 对于对称性很好的游戏而言 模仿策略往往都是窍门 而我们 再次通过这种系统性的逆向分析

得到了一个第一眼看去 很不寻常且深刻的洞察 控制 两堆相等 其实啊 只要一个游戏的局面数量是有限的 我们就总能进行这样的逆向分析 层层抽丝剥茧 比如说井字棋 在一个3×3的棋盘里 两个人轮流画圆和打叉 谁的符号三个连成一条线就获胜

小的时候我们玩过很多盘之后就会发现 几乎总是平局 没有人可以连成一条线 如何用博弈论的方法来严格证明呢 和之前类似 我们还是从终局到开局 依次给每个局面推导出胜负 由于会出现平局 所以这个时候 所有的局面有叉必胜 圆必胜和双方平局三种结果

而且这些局面之间有单向连接的边 表示上一个局面可以通过合法的落子 来到下一个局面 如此 所有的局面就构成了一个复杂的图 我们从底到上一点点拆解 首先是所有已经下满棋盘的局面 此时结果已定 只需要根据规则 判断最终的结果是谁赢谁输就可以了

于是 我们有了一个最简单的井字棋之神 只不过他只会判断 所有九个子全部落满的局面 谁胜谁负还是平局 接着我们来看剩下一个空位的局面 如果分出胜负 我们就直接判定谁输谁赢 不用管了 否则无论下一步怎么走 我们都一定会走到棋盘上 九个子全部落满的局面 那么此时

我们就可以去询问九子井字棋之神 来得到这个局面的胜负状态 再利用前面说过的逻辑 如果后续有对手输的局面 则我必胜 没有对手输 但有和棋 那么最好的结局是和棋 所有后续局面全是对手赢 则自己必败 我们就可以用这种逻辑 反向知道每一个八个子的局面中

双方按照最优策略的结果是什么样子 于是 我们就得到了一个八子井字棋之神 他可以调用九子之神的能力 来判断所有八子局面的胜负 顺着这个逻辑 我们可以调用八子井字棋之神 构建一个七子之神 六子之神可以调用七子之神 五子之神可以调用六子之神

我们不断进行这个过程 直到最后 我们回到了最一开始的 空无一子的棋盘 这个时候 我们就拥有了终极的井字棋之神 他能无可辩驳的告诉我 在双方都采取最优策略的情况下 井字棋的最终结局是什么 你可能已经猜到了 这个结局就是平局

这就是为什么我们小时候玩井字棋 一旦双方都熟悉擅长了 就几乎再也分不出胜负了 我们刚才用来分析 拿糖果和井字棋的这种方法 在数学上被称为逆向归纳法 那就是从终局状态出发 层层反推 逐一确定每一个局面胜负属性 而这个方法能够成功应用背后

依赖于一个深刻的数学定理 这就是大名鼎鼎的策梅洛定理 Zermelo theorem 策梅洛定理 由德国数学家恩斯特 策梅洛在1913年提出 他指出 在任何一个双人有限确定的完美信息 零和游戏中 以下三者必有其一 且只有其一成立

那就是先手有必胜策略 或者后手有必胜策略 或者双方都有策略 可以保证游戏平局 所以 即便是围棋和象棋这样复杂的游戏 对于每个局面 要么有一方存在必胜策略 要么双方都有策略保证自己不输 而这就是博弈论中著名的策梅洛定理 拆解一下这个定点的条件

一共有三点 第一双人有限 这个游戏只有两个人玩 而且总步数和局面数是有限的 不会无限进行下去 第二 这是一个确定的完美的信息游戏 在有的游戏里有骰子这样的随机因素 但是在棋类游戏中 双方都完全了解所有信息 没有隐藏手牌 也没有任何随机因素

第三个是零和游戏 一方的胜利就是另一方的失败 或者双方完全打平 总之没有双赢 现在回头看看我们所熟悉的棋类游戏 井字棋中国象棋国际象棋围棋五子棋等 加入了禁止相同局面循环的规则后 他们全都满足策梅洛定理的条件 也就是说

一定是在开局就胜负已分 而策梅洛定理成立的原因也近乎显然 因为 我们总可以像之前的逆向归纳那样 把这棵树从底向上捋一遍 从而确定每一个局面 对先手来说究竟是胜还是负 正因此在视频的开头 围棋之神根本不必落子 这棵局面的大树虽然极其庞大

节点数甚至超越了宇宙的原子个数 但终究是有限的 理论上从空棋盘开始 双方用最完美的下法结局到底是黑胜白胜或者平局 这个结果就已经被唯一确定了 那两个围棋之神拥有无穷的算力 他们在下第一手之前 就已经遍历了所有的可能 因此在他们眼里

下棋本质上 变成了一个谁抽到黑 或者白就赢的游戏 这就不得不提一个段子 传闻当年不贴目的时代 日本有一位本格派高手执白棋 输棋之后 复盘时发现没有找到后面明确的问题 手于是一步一步倒腾回来 结论是白棋的第一步白2就是败招 大家当成了段子 但其实这个段子 无意间触及到了策梅洛定理的真谛

运用策梅洛定理 我们可以推断出一些复杂游戏的结果 甚至可以 根本不需要像分析井字棋那样硬算 那是因为有一个至关重要 又极其精妙的技巧 叫做策略窃取 strategy stealing 我们可以从这个例子里 体会一下策略窃取的巧妙 想象一下有一块m 乘n 的巧克力 左下角的那一块是有毒的

吃到的人就会输 玩家会轮流选择一块 还没有被吃掉的巧克力 xy 并吃掉他以及他右上方所有的巧克力 直到吃到最后一块的人输 首先我们知道这个游戏不可能平局 因为总会有一个人吃掉最后这一块 所以我们知道逆向归纳之后 先手一定要么必胜 要么必败

而我们可以证明先手一定是必胜的 为什么呢 仔细想一想 假设先手必败 那就是后手必胜 翻译一下就是无论先手怎么操作 选择哪一块巧克力 后手都一定有一个精妙的办法 将必败的局面留给先手 而我们将会证明这是不可能的

证明的方法非常简单 你说你后手必有必胜策略是吧 好 那我就只取最右上角的一个巧克力 请B开始你的表演 根据必胜策略的性质 意思是此时后手B一定有一个精妙的位置可以选择 之后把必败的局面还给先手A 但是ai

你仔细看看这个精妙操作之后 所谓的必败局面发现了什么 因为先手a 只拿了一个 所以后手无论选哪里 都一定构成了一个矩形的缺口 这意味着 这个局面 是先手a 也能一步直接选到的 好，那不好意思 现在我们重开一局游戏

我第一次a 就选你的这个位置 此时你会发现完全一样的局面 按照刚才的说法 此时先拿的人是必败的 所以让a 必败了 但现在两极反转 同样的局面 先拿的人变成了后手b 你既然说这个局面先手必败 那一定后续有一系列精妙操作 对吧

我从此刻开始偷窃你所有的后续策略 于是 先手就通过第一步抢夺和后续的偷窃 精妙的交换了先后手 从而证明了先手a 也有必胜的操作 这是原本a 必败 b 必胜所相矛盾的结论 而归根结底之所以会有这样的矛盾 就是因为我们一开始假设

后手必有必胜策略 因此 反证法告诉我们这个问题的真相就是 后手B没有必胜策略 那么必胜的就一定是先手a 了 值得注意的是啊 这套推理 并没有像之前的逆向归纳那样 给出精确的必胜策略 和每个局面的必胜下法是什么 但借助这一步的凭空 借用交换先后手的方法

我们就能严谨推理出 究竟是先手必胜 还是先手必败 这个方法 还可以用在一些真实的游戏中 例如这个棋叫做六贯棋 双方轮流在棋盘中 放入自己颜色的棋子 黑棋想要搭起左右两岸 一条连通的路径 叫做桥而白棋同样的 想要构建起一个搭建上下两岸的桥

你会发现 一旦一方不能搭桥 那么就可以找到他的棋子 所有连通的边缘 这一定是一条对方的桥 而反过来 一旦一方成功搭桥 就把对方的两岸拦中 划分成了不可能连通的两块 因此 这个游戏一定不存在平局的可能 而且你很容易想到 先手总是多

下一个子对于搭桥有优势 那么我们能否简单证明 这个游戏先手必胜呢 这里我们还是用反证法 假设先手不是必胜 那么后手必胜 此时先手方在开局随便下一个子 并在脑海中假设这个子根本不存在 这样 先手就可以在心里把自己当成后手

并在之后的对弈中 模拟后手必胜的策略 特别的如果后手的必胜下法 刚好要我们走到那个第一步 那我们就找一个新的空地下一步棋 并把这个新的棋子当成是第一步 我们先手会总把局面变成 把自己当成后手的情况下 多出了一个棋子 现在让我们来看看局面的胜负关系

白棋作为后手 一直在按必胜策略对弈 那么根据必胜策略的定义 它最后应该是必胜的 可是在我们黑棋的先手看来 我们也觉得自己应该是必胜的 因为相较于 我们把自己当成后手的必胜局面 唯一的区别不过是多了一枚黑子而已 可是在六贯棋这样的棋里 我们想要搭桥多出一个黑子

总是有百利而无一害的 因此我们不可能因为多出一个黑子 而从必胜变成必败 因此双方都觉得这是必胜 而最终结果只有一方胜利矛盾 因此只可能是先手必胜 而不是后手必胜 这套推理逻辑 可以同样应用于 没有禁手限制的五子棋 任何一方必胜的局面 多加一个子

只可能更加必胜 所以五子棋只要不是一定和棋 那一定是先手必胜 然而这套规则 不能应用于中国象棋和国际象棋 或者围棋 虽然大家感觉啊 大概多走一步棋不会差 但严格来说是不对的 因为我们可以在象棋中 构造出一些无论哪方先走 都是必败的局面

比如说中国象棋里的这个局面里 双方的窝心马都锁死了 不能动只有炮能动 炮也不能左右移开 因为被对方的炮牵着 所以只能在中路前后顶牛 这个局面就是谁先动谁输 比如说如果黑棋先动就只能 往后退那么退一步 红棋就往前进一步 直到最后顶结实了 黑棋就输了 但如果红棋先走 红棋就只能退

然后就反过来被黑棋顶结实 最终困毙 这就是象棋里多给你走一步 不一定好的例子 所以象棋当中 并非所有的局面都是一方 多走一步棋一定会更好 国际象棋和围棋同理 可不要小看这些刁钻的例子 正是这些局面 使得我们不能简单断定 象棋和不贴目的围棋是先手必胜 讲到这里

你可能会产生一个巨大的疑惑 那既然这些游戏在一开始的时候 胜负就已经注定 那为什么我们人类 还要乐此不疲的对弈呢 我们比拼的到底是什么 答案是组合爆炸 combinatorial explosion 和有限理性Bounded rationality 正如人类已经发明了 能够脱离第一宇宙速度的火箭

但并不代表人类的赛跑没有意义 策梅洛定理只是证明了必胜必败 平局策略的存在性 但它并没有告诉我们 如何找到这个策略 对于井字棋 总共的局面数 不考虑对称性 只有几千个人类的大脑可以轻松算透 所以它很快就变成了无聊的平局游戏 而对于国际象棋 其游戏数的复杂度

就到了十的120次方这个量级 这个数字 比可观测的宇宙中的原子总数还要多 而对于围棋 这个数字 更是达到了令人绝望的十的300次方 甚至更高 除了计算的难度之外 还有一个非常棘手的问题 那就是就算围棋之神现在在你的身边 他怎么传授你这个必胜策略的功法呢 必胜策略的本质

是对于任何一个可能的围棋局面 都告诉你最优的下法应该下在哪里 我就问你 你怎么学它 你怎么存储呢？

人类只有有限的记忆 和理性的推理能力 所以就算这里有一个庞大的必胜策略 你也很难记忆和应用它 那作为普通的人类 没有这样的下棋之神的辅助 也没有超级计算机可以用 人类下棋一般是怎么思考的呢 我们来试着分析 这样一个井字棋的局面 教你怎么样在下棋的时候去学会计算

比如说此时轮到打叉方行动 棋盘上此时有七个空位 由于对称性 实际上本质只有四种不同的可选下法 我们只需要分析清楚这四个局面 按照双方的最优策略下完的结果后 打叉一方 选择对其中最有利的一个就可以了 好我们先来看第一个局面 由于此时画圆的一方 只要不选择右下角

那我就可以立刻占领这个右下角获胜 所以在第一个局面里 画圆的人看似有六个空位可以选择 但其他五个分支都是显然必败 所以他必然要过来挡我 这样像园艺工人一样 修剪旁枝的推理逻辑 就被称作剪枝 因此按照双方的最优策略 第一个局面的后续一定是这个局面

此时打叉方又有五个格点可以选择 我们还是在这其中 选择对自己最有利的即可 那我们还是看第一个局面进行分析 这个局面有意思一点在于 打叉一方下一步有两个位置 都能连成三个一线 都能获胜 而换人的一方 在这一步只能阻止一个空位 因此这个时候打叉的一方是必胜的

那么有了这个局面作为基石 我们就可以倒推一步看上面那个空位 更多的局面在上面的这五个后续当中 打叉方找到了一个分叉 可以保证自己获胜 那么 他就无需再分析另外四个局面的结果 直接选择第一个就可以保证胜利 所以在这个局面当中 打叉的一方是必胜的

好我们再往上倒腾一步 因为在这一步画圆一方 别无选择 所以在上面的这个局面下 也是打叉方必胜的 那么再往上倒腾一步 打叉方已经知道 在最一开始的四个局面当中 会有一个后续是必胜的 那么我们也就无需再分析 另外三个局面的结果

直接选择第一个就能保证胜利 因此在刚开始的局面中 打叉方是必胜的 这个结论 不是一个简单的胜或负的零一的比特 而是说我们知道有一系列后续的手段 对方都无力招架 以上的这个过程 学名叫做alpha-beta剪枝 每次找对自己最有力的下法

并考虑对方所有的应对 再针对每一个应对 思考最有力的针对下法 看看是不是对方任何下法都无法招架 这是一种存在任意存在 任意来回嵌套的逻辑 也正是策梅洛定理 不断逆向归纳的展现 人类下棋的过程 一方面比拼的是对于这棵树 你的思考能够覆盖多大

另一方面 则是在每一步寻找最有力下法的时候 你的感觉是否准确 以及向下搜索到一定深度之后 你是否能快速判断 这个局面大概是谁输谁赢 为了做到最后这一点的快速判断 人类提出了很多的表征representation 比如象棋当中有一个经典的 就是子力的价值之和啊

你要是比别人少一个大子 多半要输 还有子力的位置好不好 在围棋当中呢 我们就在意的是实地或者外势等等 只不过 这些仍然都是不精确的近似判断方法 吊打人类的ai 都远远强于人类 只不过我们今天的ai 和真正的棋神之间的差距 恐怕比人类和ai 之间的差距

还要大很多 在围棋之神和象棋之神眼中 我们和ai 犯过的 所有人类认知的错误 压根都不算是错误 而是直接投降 从这个角度 我们还能深刻的理解什么是神之一手 那就是一个看似必败的局面 其实存在着一步能够导向胜利的妙招 它不仅是这一步啊 而且 包含了所有后续局面 逆向推倒的结果

根据定义 走出这一步 神之一手之后必胜 意味着无论对方后面走什么 自己也仍然一定有一部棋 可以牢牢把控局面 是必胜的局面 所以神之一手远远不只是一步 更是因为 有一系列刁钻又无法抵抗的后续手段 可以化腐朽为神奇

把看似必输的局面反败为胜 这也正是人类钟爱棋类游戏的原因 好的以上就是这期视频的全部内容 如果你对这样的数理 计算机科普感兴趣 一定要记得点赞关注 不迷录 这些视频制作起来非常不容易 前前后后花了有三个月的时间 稿子写了有9000字 动画也做了很久 如果你觉得对你有启发的话

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