Why Does Space Have Three Dimensions?

Warum hat der Raum drei Dimensionen? Warum nicht zwei? Oder vier? Oder sieben? Ganz einfach: Die Physik würde sonst nicht mehr richtig funktionieren. Dafür gibt es mehrere Gründe.

Erstens wären Sonnensysteme in mehr als drei Dimensionen nicht stabil.

Das lässt sich folgendermaßen veranschaulichen, und ich muss Sie warnen: Jetzt wird es etwas mathematisch. Keine Sorge, es ist nicht schlimm. Es sei denn, Sie haben eine Abneigung gegen Exponenten – dann schauen Sie sich lieber die Make-up-Kanäle an.

schlimm. Es sei denn, Sie haben eine Abneigung gegen Exponenten – dann schauen Sie sich lieber die Make-up-Kanäle an.

Erinnern Sie sich: Newtons Gravitationskraft ist proportional zu 1/R², wobei R der Radius ist. Warum? Weil sich die Kraftlinien mit der Oberfläche der Kugel verdünnen,

Radius ist. Warum? Weil sich die Kraftlinien mit der Oberfläche der Kugel verdünnen, und die Oberfläche der Kugel in drei Dimensionen proportional zu r² ist. Hätten wir mehr als drei Raumdimensionen, dann wäre die Kraft proportional zu 1/r hoch (d-1), wobei d die Anzahl der Dimensionen ist. Denn die Oberfläche der Kugel in d Dimensionen ist proportional zu r hoch (d-1).

Die Gravitationskraft hängt natürlich auch von der Gravitationskonstante G und den Massen der beiden Körper ab, in diesem Fall von der kleinen und großen Masse M des Planeten bzw. der Sonne.

Angenommen, Sie möchten wissen, wie ein Planet um die Sonne kreist. Für eine stabile Umlaufbahn muss die Gravitationsanziehung durch die Zentripetalkraft ausgeglichen werden.

Diese Zentripetalkraft ist eine Scheinkraft, die beschreibt, wie stark die Gravitation die Bewegung des Planeten von einer geraden Linie ablenken muss. Ihr Beitrag ist proportional zur dritten Potenz des Radius. Dies ist unabhängig von der Anzahl der Dimensionen, da die Umlaufbahn des Planeten

Radius. Dies ist unabhängig von der Anzahl der Dimensionen, da die Umlaufbahn des Planeten immer in einer Ebene liegt. Aber auch dies hängt von Konstanten ab, hier vom Drehimpuls und der Masse. Um den Radius der Umlaufbahn zu bestimmen, müssen diese beiden Kräfte also gleich groß sein.

Masse. Um den Radius der Umlaufbahn zu bestimmen, müssen diese beiden Kräfte also gleich groß sein.

Die Frage ist nun, ob diese Umlaufbahnen stabil sind. Dazu bildet man die Ableitung der Gesamtkraft nach r und prüft, ob sie größer oder kleiner als null ist. Ist sie kleiner als null, bedeutet das, dass der Planet nach einer leichten Abweichung von seiner Umlaufbahn wieder in diese zurückkehrt.

Ist sie größer als null, gerät er außer Kontrolle, und die Umlaufbahn ist instabil.

Bilden wir nun die Ableitung, erhalten wir -3 und -(1-d). Auf einer stabilen Umlaufbahn müssen diese Terme gleich sein. Wir erhalten also (-3 + d - 1), also (d - 4). Dieser Wert muss kleiner als null sein. Das bedeutet: Ist d eine ganze Zahl,

muss d 3 oder kleiner sein. In höheren Dimensionen stürzen die Planeten in die Sonne.

Zwei Dimensionen sind jedoch nicht ausgeschlossen. Auch in zwei Dimensionen sind stabile Umlaufbahnen möglich. So

funktioniert die Modifizierte Newtonsche Dynamik. In der modifizierten Newtonschen Dynamik verhält sich die Gravitationskraft proportional zu 1/r anstatt zu 1/r², was einem zweidimensionalen Raum entspricht.

Das zweite Problem bei der Betrachtung einer höheren Dimensionalität ist die Instabilität von Atomen. Atome sind bekanntlich keine kleinen Sonnensysteme, aber das Problem bleibt im Prinzip dasselbe.

In einem Atom umkreist ein negativ geladenes Elektron den positiv geladenen Atomkern. Diese beiden werden durch die Coulomb-Kraft angezogen. Die Coulomb-Kraft

Atomkern. Diese beiden werden durch die Coulomb-Kraft angezogen. Die Coulomb-Kraft

verhält sich, wie die Gravitationskraft, in drei Dimensionen proportional zu 1/r², da sich die Kraftlinien an der Oberfläche der Kugel abschwächen.

In einer höheren Dimensionalität verhält sich die Coulomb-Kraft proportional zu 1/r hoch d-1.

Da die Elektronen nicht um den Atomkern kreisen, gibt es keine Zentripetalkraft. Allerdings stellt die Quantenunschärfe ein Problem dar. Das Unschärfeprinzip

Zentripetalkraft. Allerdings stellt die Quantenunschärfe ein Problem dar. Das Unschärfeprinzip

besagt, dass die Unschärfe des Impulses und der Ausdehnung des Elektrons immer größer als ħ/2 sein muss. Das bedeutet, wenn man versucht, das Elektron zusammenzudrücken, kann sein Impuls groß werden. Aber was bewirkt ein

großer Impuls? Er erzeugt eine Art Kraft. Das Elektron widersetzt sich der Kompression.

großer Impuls? Er erzeugt eine Art Kraft. Das Elektron widersetzt sich der Kompression.

Man kann das Verhalten dieser Kraft anhand der kinetischen Energie verstehen. Das Δp ergibt eine kinetische Energie von Δp²/2m. Setzt man nun ein, dass Δp ungefähr 1/r ist – das ist sozusagen die Ausdehnung des Elektrons –, und bildet die Ableitung nach r, erhält man die daraus resultierende Kraft. Man sieht also, dass die Kraft

proportional zu 1/r³ ist! Sie verhält sich genauso wie die Zentripetalkraft.

Die gleiche Schlussfolgerung gilt also für Atome wie für Sonnensysteme. In drei Dimensionen sind Atome stabil. Die Elektronen befinden sich in ihren Schalen. In vier und mehr Dimensionen fallen sie in den Atomkern. In zwei Dimensionen geht es also nur ums Arbeiten.

Es gibt jedoch noch ein weiteres Problem der Quantenphysik, das etwas schwieriger zu erklären ist: Das gesamte Standardmodell der Teilchenphysik funktioniert nur, wenn wir exakt drei Raumdimensionen haben.

In der Teilchenphysik verwenden wir die sogenannte Quantenfeldtheorie. Mit dieser Theorie berechnen wir das Verhalten von Teilchen. Und was tun sie? Sie tun alles, was ihnen möglich ist. Nehmen wir

zum Beispiel wieder das Elektron. In der Quantenfeldtheorie bewegt sich ein Elektron nicht einfach von einem Ort zum anderen. Es kann unterwegs ein Photon aussenden und dieses dann wieder absorbieren . Dieses Photon kann wiederum in ein Elektron-Positron-Paar zerfallen, das sich dann gegenseitig vernichtet.

. Dieses Photon kann wiederum in ein Elektron-Positron-Paar zerfallen, das sich dann gegenseitig vernichtet.

Und Elektron und Positron können wiederum Photonen aussenden und wieder absorbieren, und so weiter. Es gibt unendlich viele Möglichkeiten, wie das Elektron auf seinem Weg etwas tun kann!

Um zu berechnen, was ein Elektron tut, müssen wir alle möglichen Zustände addieren . Diese werden als Quantenbeiträge bezeichnet.

. Diese werden als Quantenbeiträge bezeichnet.

Genau genommen berechnet man diese Beiträge durch Integration über alle möglichen Zustände des Teilchens. Das bedeutet, dass die Quantenbeiträge von allen Richtungen abhängen, in die sich das Teilchen bewegen kann. Sie hängen von der Anzahl der Raumdimensionen ab.

Leider ist das Ergebnis meist unendlich. Daher identifiziert man den unendlichen Beitrag, subtrahiert ihn und verwirft ihn. So erhält man ein endliches Ergebnis.

Den Restwert bestimmt man, indem man beispielsweise die Masse des Elektrons misst, da diese seine Bewegung beschreibt. Physiker nennen dies „Renormierung“. (Bitte nicht bei der Steuererklärung anwenden.)

In drei Raumdimensionen funktioniert dies gut, da die unendlichen Beiträge alle gleich sind.

Man kann sie also alle zusammenfassen und nur eine Konstante messen.

Bei mehr oder weniger Raumdimensionen erhält man jedoch unendlich viele verschiedene unendliche Beiträge. Sie unterscheiden sich insofern, als die Beiträge unterschiedlich schnell anwachsen, sodass man sie nicht mit einem einzigen Faktor addieren kann.

Nehmen wir an, man hat einen Beitrag, der mit p² gegen unendlich strebt, wenn p gegen unendlich strebt, und einen anderen mit p⁴.

Diese sind unterschiedlich. Und um sie zu eliminieren, müsste man für jeden von ihnen eine Konstante messen. Man müsste also unendlich viele Konstanten messen, um die Theorie zu formulieren, was sie praktisch nutzlos macht. Physiker bezeichnen eine solche Theorie als „nicht renormierbar“.

Das Standardmodell hingegen, also die elektroschwache und die starke Kraft mit dem Higgs-Boson, ist in drei Raumdimensionen renormierbar . Genau. In höheren oder niedrigeren Dimensionen funktioniert es nicht. Man sieht, dass dies

. Genau. In höheren oder niedrigeren Dimensionen funktioniert es nicht. Man sieht, dass dies ein viel stärkeres Argument ist als das mit dem Sonnensystem und der Atomstabilität. Es funktioniert

übrigens auch für nicht-ganzzahlige Dimensionen. Es ist nur etwas schwieriger zu vermitteln.

Interessanterweise ist die Gravitation nicht in drei Raumdimensionen, sondern nur in einer Raumdimension renormierbar.

Es gibt jedoch einen vierten Punkt, der bei einer geringeren oder höheren Dimensionszahl problematisch wäre : die Komplexität. In zwei oder weniger Dimensionen ist chaotische Dynamik bei einem kontinuierlichen Zeitparameter nicht möglich. Chaos kann zwar bei diskreten Systemen wie der logistischen

Abbildung auftreten, aber für kontinuierliche Zeit benötigt man mindestens drei Dimensionen. Der Lorentz-

Attraktor ist eines der einfachsten Beispiele. In höheren Dimensionen wird die Dynamik sehr leicht chaotisch. Das schließt höhere oder niedrigere Dimensionen nicht grundsätzlich aus . Es scheint lediglich schwierig, Komplexität zu erreichen,

. Es scheint lediglich schwierig, Komplexität zu erreichen, ohne vom Chaos überwältigt zu werden, wenn die Dimensionszahl zu klein oder zu groß ist.

Das sind also die vier Gründe, warum wir drei Raumdimensionen benötigen: Stabile Planetenbahnen, Atome, die drei Kräfte im Standardmodell und Komplexität am Rande des Chaos. All dies funktioniert nur in drei Dimensionen.

Warum? Ich weiß es nicht. Vielleicht mag das Universum einfach Dinge, die in Dreiergruppen auftreten.

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